Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Odcinek. Długość odcinka o końcach w punktach $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$ dana jest wzorem: $$|AB| = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2}.$$ Współrzędne środka odcinka $AB$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right) $$

Ten wzór przyda się w rozwiązaniu zadań:

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Punkt \(A = (-3, 2)\) jest końcem odcinka \(AB\), a punkt \(M = (4, 1)\) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka \(AB\) jest równa

A. $ 2\sqrt{5} $
B. $ 4\sqrt{5} $
C. $ 5\sqrt{2} $
D. $ 10\sqrt{2} $

Rozwiązanie

I sposób

Obliczamy długość odcinka \(AM\) korzystając ze wzoru: $$|AM|=\sqrt{(x_{M}-x_{A})^2+(y_{M}-y_{A})^2} \\ |AM|=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-2)^2} \\ |AM|=\sqrt{(4+3)^2+(-1)^2} \\ |AM|=\sqrt{7^2+(-1)^2} \\ |AM|=\sqrt{49+1} \\ |AM|=\sqrt{50} \\ |AM|=\sqrt{25\cdot2} \\ |AM|=5\sqrt{2}$$ Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AB\) to znaczy, że odcinek \(AM\) stanowi połowę długości odcinka \(AB\). W związku z tym: $$|AB|=2\cdot|AM| \\ |AB|=2\cdot5\sqrt{2} \\ |AB|=10\sqrt{2}$$

II sposób

Możemy też ze wzoru na środek odcinka policzyć drugi koniec a następnie długość.

Odpowiedź

D. $ 10\sqrt{2} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Punkt \(K = (2, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM| = |LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N = (4, 3).\) Zatem

A. $ L = (5, 3) $
B. $ L = (6, 4) $
C. $ L = (3, 5) $
D. $ L = (4, 6) $

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, ze punkt $N$ jest środkiem odcinka $|KL|$. Oznaczmy $L = (x,y)$ $$ \frac{2+x}{2} = 4 , \frac{2+y}{2} = 3$$ $$ 2+x = 8 , 2+y = 6$$ $$x = 6, y = 4$$

Odpowiedź

B. $ L = (6, 4) $

f0901