Wskaż rysunek na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-4\le x-1\le 4\).

Rozwiązanie

Aby rozwiązać ten przykład wystarczy dodać \(1\) do każdej ze stron: $$-4\le x-1\le4 \\ -4+1\le x-1+1\le4+1 \\ -3\le x\le5$$ Prawidłowym graficznym przedstawieniem tej nierówności jest więc trzeci rysunek.

Odpowiedź

C.

Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), $b=\log{\frac{1}{4}}64$, $c=\log{\frac{1}{3}}27$. Iloczyn \(abc\) jest równy

Rozwiązanie

Obliczenie wartości liczb \(b\) oraz \(c\): $$b=\log_{\frac{1}{4}}64=-3 \\ c=\log_{\frac{1}{3}}27=-3$$ Obliczenie wartości wyrażenia \(abc\). $$abc=-\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac{1}{3}$$

Odpowiedź

C. $ -\frac{1}{3} $

Kwotę \(1000\) zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

Rozwiązanie

Istota lokaty polega na tym, że wpłacamy na jakiś czas kwotę np. \(1000zł\), a po upływie określonego terminu bank wypłaci nam \(1000zł\) plus odsetki, które będą pomniejszone o podatek. Odsetki w naszym przypadku będą równe \(\frac{4}{100}\cdot1000\). Musimy je jeszcze pomniejszyć o podatek \(19\%\), czyli pomnożyć je przez \(\frac{81}{100}\) (mnożymy przez \(\frac{81}{100}\), bo po odliczeniu podatku otrzymana kwota będzie stanowiła \(81\%\) kwoty wyjściowej). Po roku możemy więc wypłacić \(1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000\). Takiego zapisu nie mamy w sugerowanych odpowiedziach \(ABCD\), ale wystarczy wyłączyć wartość \(1000\) przed nawias i okaże się, że prawidłowa będzie odpowiedź trzecia, bowiem: $$1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000=1000\cdot(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})$$

Odpowiedź

A. $ 1000\cdot \left ( 1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) $

Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla

Rozwiązanie

Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia. $$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5}) \\ 5m=5^2-(\sqrt{5})^2 \\ 5m=25-5 \\ 5m=20 \\ m=4$$

Odpowiedź

C. $ m=4 $

Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases} \) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

Rozwiązanie

Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\). Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\). \begin{cases} x-y=3 \quad\bigg/-x \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} -y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} y=-3+x \\ 4x+y=8 \quad\bigg/-4x \end{cases}\begin{cases} y=x-3 \\ y=-4x+8 \end{cases} Interpretacja otrzymanego wyniku. Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.

Odpowiedź

C. dokładnie jeden punkt.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa

Rozwiązanie

Obliczenie wartości wszystkich pierwiastków równania. Nasze równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej. Aby wartość takiego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam "wyzerować" to równanie, a więc któryś z nawiasów musi być równy zero. To oznacza, że rozwiązaniami równania (a więc potocznie rzecz ujmując jego pierwiastkami) będą: $$x+3=0 \quad\lor\quad x+7=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x=-3 \quad\lor\quad x=-7 \quad\lor\quad x=11$$ Obliczenie sumy pierwiastków. $$S=-3+(-7)+11=1$$

Odpowiedź

D. $ 1 $

Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\)

Rozwiązanie

Zapisanie założeń do zadania. Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik. Rozwiązanie równania. $$\frac{x-1}{x+1}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+1) \\ x-1=(x-1)\cdot(x+1) \\ x-1=x^2-1^2 \\ x-1=x^2-1 \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x=1$$ To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).

Odpowiedź

A. ma dokładnie dwa rozwiązania $ x=0 $, $x=1$

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

Rozwiązanie

To zadanie jest wbrew pozorom bardzo podchwytliwe. Patrząc na wykres odruchowo chcielibyśmy zaznaczyć przedział \((-2,2)\), bo mamy niezamalowane kropki, które sugerowałyby nawiasy otwarte. Niestety jest to błędna odpowiedź, a prawidłowym przedziałem jest \((-2,2\rangle\). Dlaczego, skoro kropka przy wartości \(y=2\) jest niezamalowana? A to dlatego, że funkcja owszem nie przyjmuje wartości \(y=2\) dla \(x=0\), ale przyjmuje wartość \(y=2\) dla np. \(x=1\) lub \(x=\frac{1}{2}\).

Odpowiedź

A. $ (-2,2\rangle $

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem

Rozwiązanie

Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\). $$-2=(m-1)\cdot5+3 \\ -2=5m-5+3 \\ -2=5m-2 \\ 5m=0 \\ m=0$$

Odpowiedź

D. $ m=0 $

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że

Rozwiązanie

Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\). Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli: $$-3x+4=0 \\ -3x=-4 \\ x=\frac{4}{3}$$ Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\). Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem: $$2x+b=0 \\ 2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\ \frac{8}{3}+b=0 \\ b=-\frac{8}{3}$$

Odpowiedź

A. $ b=-\frac{8}{3} $

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeśli \(f(3)=4\), to

Rozwiązanie

Obliczenie wartości współczynnika \(c\). Skoro \(f(3)=4\), to znaczy że po podstawieniu \(x=3\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(4\). To z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika \(c\). $$3^2+3+c=4 \\ 9+3+c=4 \\ 12+c=4 \\ c=-8$$ To oznacza, że nasza funkcja przybiera postać \(f(x)=x^2+x-8\). Obliczenie wartości \(f(1)\). Znamy już pełny wzór funkcji, więc sprawdźmy która z odpowiedzi będzie prawidłowa, podstawiając \(x=1\). $$1^2+1-8=1+1-8=-6$$ Czyli \(f(1)=-6\).

Odpowiedź

D. $ f(1)=-6 $

Ile liczb całkowitych \(x\) spełnia nierówność \(\frac{2}{7}\lt \frac{x}{14}\lt \frac{4}{3}\)?

Rozwiązanie

Najprościej jest wymnożyć wszystkie liczby przez \(14\), otrzymując w ten sposób wartość \(x\) wewnątrz zapisu. To pozwoli szybko sprawdzić ile liczb całkowitych spełni wskazaną nierówność: $$\frac{2}{7}\lt\frac{x}{14}\lt\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot14 \\ 4\lt x\lt18\frac{2}{3}$$ Liczb całkowitych, które spełnią tą nierówność (czyli \(5, 6, 7...16, 17, 18\)) jest więc \(14\).

Odpowiedź

D. $ 14 $

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

Rozwiązanie

Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie: $$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \\ q^3=3 \\ q=\sqrt[3]{3}$$

Odpowiedź

D. $ q=\sqrt[3]{3} $

W układzie współrzędnych zaznaczono punkt \(P=(-4,5)\). Tangens kąta \(\alpha \) zaznaczonego na rysunku jest równy

Rozwiązanie

Tangens kąta o wierzchołku w punkcie \((0,0)\), którego ramię pokrywa się z osią \(Ox\) można opisać wzorem \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}\), gdzie \(x\) oraz \(y\) to współrzędne dowolnego punktu leżącego na lewym ramieniu kąta. Najprościej będzie nam odczytać współrzędne punktu \(P=(-4,5)\), zatem \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\).

Odpowiedź

A. $ -\frac{5}{4} $

Jeżeli \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha \), to

Rozwiązanie

Najprościej jest rozwiązać to zadanie podstawiając pod tangesa \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), zatem: $$\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha \\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha \quad\bigg/\cdot \cos\alpha \\ \sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \quad\bigg/:\sin\alpha \\ 1=2\cos\alpha \quad\bigg/:2 \\ \cos\alpha=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź

B. $ \cos \alpha =\frac{1}{2} $

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20^\circ \) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

Rozwiązanie

Jeśli za miarę kąta wpisanego przyjmiemy \(\alpha\), to miarą kąta środkowego będzie \(2\alpha\). Skoro kąt wpisany jest o \(20°\) mniejszy od kąta środkowego, to: $$\alpha=2\alpha-20° \\ -\alpha=-20° \\ \alpha=20°$$

Odpowiedź

B. $ 20^\circ $

Pole rombu o obwodzie \(8\) jest równe \(1\). Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha \). Wtedy

Rozwiązanie

Wyznaczenie wartości \(\sin\alpha\). Romb o obwodzie równym \(8\) ma boki długości \(a=2\). W tym zadaniu wykorzystamy wzór na pole rombu z użyciem sinusa: \(P=a^2\sin\alpha\). Znamy pole, znamy długość boku \(a\), więc bez problemu wyznaczymy wartość sinusa. $$P=a^2\sin\alpha \\ 1=2^2\sin\alpha \\ 1=4\sin\alpha \\ \sin\alpha=\frac{1}{4}$$ Odczytanie z tablic odpowiedniej miary kąta. Na koniec musimy odczytać z tablic dla jakiego kąta sinus przybiera wartość równą \(0,25\). Będzie to kąt większy niż \(14°\) i mniejszy niż \(15°\), dlatego prawidłowa jest odpowiedź pierwsza.

Odpowiedź

B. $ 14^\circ \lt \alpha \lt 15^\circ $

Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

Rozwiązanie

Utworzenie równania z parametrem \(m\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie: $$m^2=4m-4$$ Rozwiązanie powstałego równania. Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem: $$m^2=4m-4 \\ m^2-4m+4=0 \\ (m-2)^2=0 \\ m-2=0 \\ m=2$$

Odpowiedź

B. $ m=-2 $

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

Rozwiązanie

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem: $$2m\cdot4m^2=-1 \\ 8m^3=-1 \\ m^3=-\frac{1}{8} \\ m=-\frac{1}{2}$$

Odpowiedź

D. $ m=2 $

Dane są punkty \(M=(-2,1)\) i \(N=(-1,3)\). Punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(MN\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

Rozwiązanie

Obliczenie współrzędnych punktu \(K\). Skorzystamy tutaj z następującego wzoru, do którego musimy podstawić współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\): $$K=\left(\frac{x_{m}+x_{n}}{2},\frac{y_{m}+y_{n}}{2}\right) \\ K=\left(\frac{-2+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right) \\ K=\left(\frac{-3}{2},\frac{4}{2}\right) \\ K=\left(-\frac{3}{2},2\right)$$ Wskazanie współrzędnych punktu \(K'\). Aby wyznaczyć współrzędne punktu symetrycznego względem początku układu współrzędnych musimy zmienić znaki zarówno współrzędnej \(x\) jak i \(y\). Skoro \(K=\left(-\frac{3}{2},2\right)\), to \(K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)\)

Odpowiedź

B. $ K'=\left ( 2,\frac{3}{2} \right ) $

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Aby nie popełnić błędu warto jest sobie po prostu dorysować odpowiednie długości i zaznaczyć poszukiwany kąt. Z racji tego iż w poprawnym nazewnictwie wierzchołek kąta powinien być środkową literą zapisu, to poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle HOL\).

Odpowiedź

B. $ \sphericalangle HOL $

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości \(6\). Objętość tego stożka jest równa

Rozwiązanie

Obliczenie długości \(r\) oraz \(h\). Spójrzmy na rysunek szkicowy. Do obliczenia objętości będziemy potrzebować długości promienia oraz wysokości bryły. Skoro przekrój jest trójkątem równobocznym, to na pewno wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, a to z kolei oznacza że \(r=6:2=3\). Wysokość \(h\) także nie stanowi problemu, bo mamy w tablicach wzór na wysokość trójkąta równobocznego: $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$ Gdybyśmy nie pamiętali o tym wzorze, to wysokość można byłoby obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa. Obliczenie objętości bryły. Znamy długość promienia, znamy wysokość, więc podstawiając dane do wzoru obliczymy objętość stożka: $$V=\frac{1}{3}πr^2h \\ V=\frac{1}{3}π\cdot3^2\cdot3\sqrt{3} \\ V=\frac{1}{3}π\cdot9\cdot3\sqrt{3} \\ V=3\cdot3\sqrt{3}π \\ V=9\sqrt{3}π$$

Odpowiedź

C. $ 9\pi\sqrt{3} $

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Rozwiązanie

Obliczenie pola powierzchni podstawy. W podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Skorzystamy więc ze wzoru na jego pole, podstawiając \(a=8\). Zatem: $$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ P_{p}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$ W takiej postaci to zostawimy, bo widzimy że w odpowiedziach pojawia się \(8^2\). Obliczenie pola ściany bocznej. Skoro każda krawędź ma długość \(8\), to w ścianie bocznej musimy mieć kwadrat o boku \(8\). Jego pole jest wiec równe: $$P_{b}=a^2 \\ P_{b}=8^2$$ Obliczenie pola powierzchni całkowitej. Mamy dwie podstawy oraz trzy ściany boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite. Na sam koniec obliczeń musimy się jeszcze dopasować do naszych odpowiedzi, czyli wyłączyć \(8^2\) przed nawias: $$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\ P_{c}=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot8^2 \\ P_{c}=\frac{8^2\sqrt{3}}{2}+3\cdot8^2 \\ P_{c}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$$

Odpowiedź

A. $ 8^2\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+3 \right ) $

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,9\) jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,9,x.\) Wynika stąd, że

Rozwiązanie

Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie: $$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6} \\ \frac{30}{5}=\frac{30+x}{6} \\ 6=\frac{30+x}{6} \\ 36=30+x \\ x=6$$

Odpowiedź

C. $ x=6 $

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

Rozwiązanie

Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Skoro z pierwszego pojemnika losujemy jedną z dwóch kul, potem z drugiego także jedną z dwóch i z trzeciego ponownie jedną z dwóch, to wszystkich możliwych kombinacji będziemy mieć: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Wypiszmy sobie teraz wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli takie które spełniają warunki zadania. Dwie z trzech wylosowanych kul muszą być czerwone, więc w grę wchodzą jedynie zdarzenia: $$(c,c,n), (c,n,c), (n,c,c)$$ Mamy trzy takie zdarzenia, więc \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź

A. $ p=\frac{3}{8} $

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt (x+3)(x-2)\).

Odpowiedź

\(x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge 0\).

Odpowiedź

Udowodniono rozwiązując nierówność kwadratową i interpretując otrzymaną deltę.

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków - odpowiednio \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

Odpowiedź

Udowodniono wyznaczając pole rombu i kwadratu.

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).

Odpowiedź

Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\).

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Odpowiedź

\(P=(-7,0)\), więc pierwszą współrzędną jest \(x=-7\).

Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź

\(\frac{8}{17}\)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź

\(P_{c}=144+384\sqrt{2}\)

Wśród \(115\) osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletów	Liczba osób
ulgowe	76
normalne	41

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Odpowiedź

\(P(A)=\frac{5}{23}\)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Odpowiedź

\(k=11\)