Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2015 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Wskaż rysunek na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-4\le x-1\le 4\).

A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie Aby rozwiązać ten przykład wystarczy dodać \(1\) do każdej ze stron: $$-4\le x-1\le4 \\ -4+1\le x-1+1\le4+1 \\ -3\le x\le5$$ Prawidłowym graficznym przedstawieniem tej nierówności jest więc trzeci rysunek.
Odpowiedź
C.

Matura 2015 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), $b=\log{\frac{1}{4}}64$, $c=\log{\frac{1}{3}}27$. Iloczyn \(abc\) jest równy

A. $ 3 $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ -\frac{1}{3} $
D. $ -9 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości liczb \(b\) oraz \(c\): $$b=\log_{\frac{1}{4}}64=-3 \\ c=\log_{\frac{1}{3}}27=-3$$ Obliczenie wartości wyrażenia \(abc\). $$abc=-\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
C. $ -\frac{1}{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 3 (0 - 1)

Kwotę \(1000\) zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

A. $ 1000\cdot \left ( 1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) $
B. $ 1000\cdot \left ( 1-\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) $
C. $ 1000\cdot \left ( 1-\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) $
D. $ 1000\cdot \left ( 1+\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) $
Rozwiązanie Istota lokaty polega na tym, że wpłacamy na jakiś czas kwotę np. \(1000zł\), a po upływie określonego terminu bank wypłaci nam \(1000zł\) plus odsetki, które będą pomniejszone o podatek. Odsetki w naszym przypadku będą równe \(\frac{4}{100}\cdot1000\). Musimy je jeszcze pomniejszyć o podatek \(19\%\), czyli pomnożyć je przez \(\frac{81}{100}\) (mnożymy przez \(\frac{81}{100}\), bo po odliczeniu podatku otrzymana kwota będzie stanowiła \(81\%\) kwoty wyjściowej). Po roku możemy więc wypłacić \(1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000\). Takiego zapisu nie mamy w sugerowanych odpowiedziach \(ABCD\), ale wystarczy wyłączyć wartość \(1000\) przed nawias i okaże się, że prawidłowa będzie odpowiedź trzecia, bowiem: $$1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000=1000\cdot(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})$$
Odpowiedź
A. $ 1000\cdot \left ( 1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) $

Matura 2015 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla

A. $ m=-5 $
B. $ m=1 $
C. $ m=4 $
D. $ m=5 $
Rozwiązanie Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia. $$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5}) \\ 5m=5^2-(\sqrt{5})^2 \\ 5m=25-5 \\ 5m=20 \\ m=4$$
Odpowiedź
C. $ m=4 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases} \) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A. zbiór nieskończony.
B. dokładnie 2 różne punkty.
C. dokładnie jeden punkt.
D. zbiór pusty.
Rozwiązanie Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\). Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\). \begin{cases} x-y=3 \quad\bigg/-x \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} -y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} y=-3+x \\ 4x+y=8 \quad\bigg/-4x \end{cases}\begin{cases} y=x-3 \\ y=-4x+8 \end{cases} Interpretacja otrzymanego wyniku. Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.
Odpowiedź
C. dokładnie jeden punkt.

Matura 2015 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa

A. $ 21 $
B. $ -1 $
C. $ -21 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości wszystkich pierwiastków równania. Nasze równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej. Aby wartość takiego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam "wyzerować" to równanie, a więc któryś z nawiasów musi być równy zero. To oznacza, że rozwiązaniami równania (a więc potocznie rzecz ujmując jego pierwiastkami) będą: $$x+3=0 \quad\lor\quad x+7=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x=-3 \quad\lor\quad x=-7 \quad\lor\quad x=11$$ Obliczenie sumy pierwiastków. $$S=-3+(-7)+11=1$$
Odpowiedź
D. $ 1 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 7 (0 - 1)

Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\)

A. ma dokładnie dwa rozwiązania $ x=0 $, $x=1$
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie $ x=-1 $
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie $ x=0 $
D. ma dokładnie jedno rozwiązanie $ x=1 $
Rozwiązanie Zapisanie założeń do zadania. Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik. Rozwiązanie równania. $$\frac{x-1}{x+1}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+1) \\ x-1=(x-1)\cdot(x+1) \\ x-1=x^2-1^2 \\ x-1=x^2-1 \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x=1$$ To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Odpowiedź
A. ma dokładnie dwa rozwiązania $ x=0 $, $x=1$

Matura 2015 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

A. $ (-2,2\rangle $
B. $ \langle -2,2\rangle $
C. $ \langle -2,2) $
D. $ (-2,2) $
Rozwiązanie To zadanie jest wbrew pozorom bardzo podchwytliwe. Patrząc na wykres odruchowo chcielibyśmy zaznaczyć przedział \((-2,2)\), bo mamy niezamalowane kropki, które sugerowałyby nawiasy otwarte. Niestety jest to błędna odpowiedź, a prawidłowym przedziałem jest \((-2,2\rangle\). Dlaczego, skoro kropka przy wartości \(y=2\) jest niezamalowana? A to dlatego, że funkcja owszem nie przyjmuje wartości \(y=2\) dla \(x=0\), ale przyjmuje wartość \(y=2\) dla np. \(x=1\) lub \(x=\frac{1}{2}\).
Odpowiedź
A. $ (-2,2\rangle $

Matura 2015 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem

A. $ m=1 $
B. $ m=2 $
C. $ m=-1 $
D. $ m=0 $
Rozwiązanie Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\). $$-2=(m-1)\cdot5+3 \\ -2=5m-5+3 \\ -2=5m-2 \\ 5m=0 \\ m=0$$
Odpowiedź
D. $ m=0 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że

A. $ b=-\frac{8}{3} $
B. $ b=\frac{4}{3} $
C. $ b=4 $
D. $ b=-\frac{3}{2} $
Rozwiązanie Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\). Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli: $$-3x+4=0 \\ -3x=-4 \\ x=\frac{4}{3}$$ Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\). Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem: $$2x+b=0 \\ 2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\ \frac{8}{3}+b=0 \\ b=-\frac{8}{3}$$
Odpowiedź
A. $ b=-\frac{8}{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeśli \(f(3)=4\), to

A. $ f(1)=18 $
B. $ f(1)=6 $
C. $ f(1)=0 $
D. $ f(1)=-6 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości współczynnika \(c\). Skoro \(f(3)=4\), to znaczy że po podstawieniu \(x=3\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(4\). To z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika \(c\). $$3^2+3+c=4 \\ 9+3+c=4 \\ 12+c=4 \\ c=-8$$ To oznacza, że nasza funkcja przybiera postać \(f(x)=x^2+x-8\). Obliczenie wartości \(f(1)\). Znamy już pełny wzór funkcji, więc sprawdźmy która z odpowiedzi będzie prawidłowa, podstawiając \(x=1\). $$1^2+1-8=1+1-8=-6$$ Czyli \(f(1)=-6\).
Odpowiedź
D. $ f(1)=-6 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

Ile liczb całkowitych \(x\) spełnia nierówność \(\frac{2}{7}\lt \frac{x}{14}\lt \frac{4}{3}\)?

A. $ 17 $
B. $ 16 $
C. $ 15 $
D. $ 14 $
Rozwiązanie Najprościej jest wymnożyć wszystkie liczby przez \(14\), otrzymując w ten sposób wartość \(x\) wewnątrz zapisu. To pozwoli szybko sprawdzić ile liczb całkowitych spełni wskazaną nierówność: $$\frac{2}{7}\lt\frac{x}{14}\lt\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot14 \\ 4\lt x\lt18\frac{2}{3}$$ Liczb całkowitych, które spełnią tą nierówność (czyli \(5, 6, 7...16, 17, 18\)) jest więc \(14\).
Odpowiedź
D. $ 14 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A. $ q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} $
B. $ q=\frac{1}{3} $
C. $ q=3 $
D. $ q=\sqrt[3]{3} $
Rozwiązanie Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie: $$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \\ q^3=3 \\ q=\sqrt[3]{3}$$
Odpowiedź
D. $ q=\sqrt[3]{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

W układzie współrzędnych zaznaczono punkt \(P=(-4,5)\). Tangens kąta \(\alpha \) zaznaczonego na rysunku jest równy

A. $ -\frac{5}{4} $
B. $ -1 $
C. $ -\frac{4}{5} $
D. $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
Rozwiązanie Tangens kąta o wierzchołku w punkcie \((0,0)\), którego ramię pokrywa się z osią \(Ox\) można opisać wzorem \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}\), gdzie \(x\) oraz \(y\) to współrzędne dowolnego punktu leżącego na lewym ramieniu kąta. Najprościej będzie nam odczytać współrzędne punktu \(P=(-4,5)\), zatem \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\).
Odpowiedź
A. $ -\frac{5}{4} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 15 (0 - 1)

Jeżeli \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha \), to

A. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} $
B. $ \cos \alpha =\frac{1}{2} $
C. $ \cos \alpha =1 $
D. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} $
Rozwiązanie Najprościej jest rozwiązać to zadanie podstawiając pod tangesa \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), zatem: $$\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha \\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha \quad\bigg/\cdot \cos\alpha \\ \sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \quad\bigg/:\sin\alpha \\ 1=2\cos\alpha \quad\bigg/:2 \\ \cos\alpha=\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
B. $ \cos \alpha =\frac{1}{2} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 16 (0 - 1)

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20^\circ \) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

A. $ 30^\circ $
B. $ 20^\circ $
C. $ 10^\circ $
D. $ 5^\circ $
Rozwiązanie Jeśli za miarę kąta wpisanego przyjmiemy \(\alpha\), to miarą kąta środkowego będzie \(2\alpha\). Skoro kąt wpisany jest o \(20°\) mniejszy od kąta środkowego, to: $$\alpha=2\alpha-20° \\ -\alpha=-20° \\ \alpha=20°$$
Odpowiedź
B. $ 20^\circ $

Matura 2015 Maj. Zadanie 17 (0 - 1)

Pole rombu o obwodzie \(8\) jest równe \(1\). Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha \). Wtedy

A. $ 29^\circ \lt \alpha \lt 30^\circ $
B. $ 14^\circ \lt \alpha \lt 15^\circ $
C. $ 75^\circ \lt \alpha \lt 76^\circ $
D. $ 60^\circ \lt \alpha \lt 61^\circ $
Rozwiązanie Wyznaczenie wartości \(\sin\alpha\). Romb o obwodzie równym \(8\) ma boki długości \(a=2\). W tym zadaniu wykorzystamy wzór na pole rombu z użyciem sinusa: \(P=a^2\sin\alpha\). Znamy pole, znamy długość boku \(a\), więc bez problemu wyznaczymy wartość sinusa. $$P=a^2\sin\alpha \\ 1=2^2\sin\alpha \\ 1=4\sin\alpha \\ \sin\alpha=\frac{1}{4}$$ Odczytanie z tablic odpowiedniej miary kąta. Na koniec musimy odczytać z tablic dla jakiego kąta sinus przybiera wartość równą \(0,25\). Będzie to kąt większy niż \(14°\) i mniejszy niż \(15°\), dlatego prawidłowa jest odpowiedź pierwsza.
Odpowiedź
B. $ 14^\circ \lt \alpha \lt 15^\circ $

Matura 2015 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. $ m=2 $
B. $ m=-2 $
C. $ m=-2-2\sqrt{2} $
D. $ m=2+2\sqrt{2} $
Rozwiązanie Utworzenie równania z parametrem \(m\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie: $$m^2=4m-4$$ Rozwiązanie powstałego równania. Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem: $$m^2=4m-4 \\ m^2-4m+4=0 \\ (m-2)^2=0 \\ m-2=0 \\ m=2$$
Odpowiedź
B. $ m=-2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

A. $ m=-\frac{1}{2} $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=1 $
D. $ m=2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem: $$2m\cdot4m^2=-1 \\ 8m^3=-1 \\ m^3=-\frac{1}{8} \\ m=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
D. $ m=2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Dane są punkty \(M=(-2,1)\) i \(N=(-1,3)\). Punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(MN\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

A. $ K'=\left ( 2,-\frac{3}{2} \right ) $
B. $ K'=\left ( 2,\frac{3}{2} \right ) $
C. $ K'=\left ( \frac{3}{2},2 \right ) $
D. $ K'=\left ( \frac{3}{2},-2 \right ) $
Rozwiązanie Obliczenie współrzędnych punktu \(K\). Skorzystamy tutaj z następującego wzoru, do którego musimy podstawić współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\): $$K=\left(\frac{x_{m}+x_{n}}{2},\frac{y_{m}+y_{n}}{2}\right) \\ K=\left(\frac{-2+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right) \\ K=\left(\frac{-3}{2},\frac{4}{2}\right) \\ K=\left(-\frac{3}{2},2\right)$$ Wskazanie współrzędnych punktu \(K'\). Aby wyznaczyć współrzędne punktu symetrycznego względem początku układu współrzędnych musimy zmienić znaki zarówno współrzędnej \(x\) jak i \(y\). Skoro \(K=\left(-\frac{3}{2},2\right)\), to \(K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)\)
Odpowiedź
B. $ K'=\left ( 2,\frac{3}{2} \right ) $

Matura 2015 Maj. Zadanie 21 (0 - 1)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

A. $ \sphericalangle OGL $
B. $ \sphericalangle HOL $
C. $ \sphericalangle HLO $
D. $ \sphericalangle OHL $
Rozwiązanie Aby nie popełnić błędu warto jest sobie po prostu dorysować odpowiednie długości i zaznaczyć poszukiwany kąt. Z racji tego iż w poprawnym nazewnictwie wierzchołek kąta powinien być środkową literą zapisu, to poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle HOL\).
Odpowiedź
B. $ \sphericalangle HOL $

Matura 2015 Maj. Zadanie 22 (0 - 1)

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości \(6\). Objętość tego stożka jest równa

A. $ 6\pi $
B. $ 18\pi $
C. $ 9\pi\sqrt{3} $
D. $ 27\pi\sqrt{3} $
Rozwiązanie Obliczenie długości \(r\) oraz \(h\). Spójrzmy na rysunek szkicowy. Do obliczenia objętości będziemy potrzebować długości promienia oraz wysokości bryły. Skoro przekrój jest trójkątem równobocznym, to na pewno wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, a to z kolei oznacza że \(r=6:2=3\). Wysokość \(h\) także nie stanowi problemu, bo mamy w tablicach wzór na wysokość trójkąta równobocznego: $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$ Gdybyśmy nie pamiętali o tym wzorze, to wysokość można byłoby obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa. Obliczenie objętości bryły. Znamy długość promienia, znamy wysokość, więc podstawiając dane do wzoru obliczymy objętość stożka: $$V=\frac{1}{3}πr^2h \\ V=\frac{1}{3}π\cdot3^2\cdot3\sqrt{3} \\ V=\frac{1}{3}π\cdot9\cdot3\sqrt{3} \\ V=3\cdot3\sqrt{3}π \\ V=9\sqrt{3}π$$
Odpowiedź
C. $ 9\pi\sqrt{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 23 (0 - 1)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A. $ 8^2\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+3 \right ) $
B. $ \frac{8^2\sqrt{6}}{3} $
C. $ 8^2\cdot \sqrt{3} $
D. $ \frac{8^2}{3}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+3 \right ) $
Rozwiązanie Obliczenie pola powierzchni podstawy. W podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Skorzystamy więc ze wzoru na jego pole, podstawiając \(a=8\). Zatem: $$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ P_{p}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$ W takiej postaci to zostawimy, bo widzimy że w odpowiedziach pojawia się \(8^2\). Obliczenie pola ściany bocznej. Skoro każda krawędź ma długość \(8\), to w ścianie bocznej musimy mieć kwadrat o boku \(8\). Jego pole jest wiec równe: $$P_{b}=a^2 \\ P_{b}=8^2$$ Obliczenie pola powierzchni całkowitej. Mamy dwie podstawy oraz trzy ściany boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite. Na sam koniec obliczeń musimy się jeszcze dopasować do naszych odpowiedzi, czyli wyłączyć \(8^2\) przed nawias: $$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\ P_{c}=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot8^2 \\ P_{c}=\frac{8^2\sqrt{3}}{2}+3\cdot8^2 \\ P_{c}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$$
Odpowiedź
A. $ 8^2\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+3 \right ) $

Matura 2015 Maj. Zadanie 24 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,9\) jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,9,x.\) Wynika stąd, że

A. $ x=3 $
B. $ x=5 $
C. $ x=6 $
D. $ x=0 $
Rozwiązanie Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie: $$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6} \\ \frac{30}{5}=\frac{30+x}{6} \\ 6=\frac{30+x}{6} \\ 36=30+x \\ x=6$$
Odpowiedź
C. $ x=6 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

A. $ p=\frac{3}{8} $
B. $ p=\frac{1}{4} $
C. $ p=\frac{2}{3} $
D. $ p=\frac{1}{2} $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Skoro z pierwszego pojemnika losujemy jedną z dwóch kul, potem z drugiego także jedną z dwóch i z trzeciego ponownie jedną z dwóch, to wszystkich możliwych kombinacji będziemy mieć: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Wypiszmy sobie teraz wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli takie które spełniają warunki zadania. Dwie z trzech wylosowanych kul muszą być czerwone, więc w grę wchodzą jedynie zdarzenia: $$(c,c,n), (c,n,c), (n,c,c)$$ Mamy trzy takie zdarzenia, więc \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}$$
Odpowiedź
A. $ p=\frac{3}{8} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt (x+3)(x-2)\).

Odpowiedź
\(x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge 0\).

Odpowiedź
Udowodniono rozwiązując nierówność kwadratową i interpretując otrzymaną deltę.

Matura 2015 Maj. Zadanie 28 (0 - 2)

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków - odpowiednio \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

Odpowiedź
Udowodniono wyznaczając pole rombu i kwadratu.

Matura 2015 Maj. Zadanie 29 (0 - 2)

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).

Odpowiedź
Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\).

Matura 2015 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Odpowiedź
\(P=(-7,0)\), więc pierwszą współrzędną jest \(x=-7\).

Matura 2015 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź
\(\frac{8}{17}\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 32 (0 - 4)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź
\(P_{c}=144+384\sqrt{2}\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 33 (0 - 4)

Wśród \(115\) osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletówLiczba osób
ulgowe76
normalne41
Uwaga! \(27\) osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{5}{23}\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 34 (0 - 5)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Odpowiedź
\(k=11\)