Matura 2015 Sierpien

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Jeśli $a=\frac{3}{2}$ i $b=2$, to wartość wyrażenia $\frac{a\cdot b}{a+b}$ jest równa

A. $ \frac{2}{3} $

B. $ 1 $

C. $ \frac{6}{7} $

D. $ \frac{27}{6} $

Rozwiązanie

Podstawiamy do wzoru dane z treści zadania, otrzymując: $$\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2}{\frac{3}{2}+2}=\frac{3}{\frac{3}{2}+\frac{4}{2}}= \\ =\frac{3}{\frac{7}{2}}=3:\frac{7}{2}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$$

Odpowiedź

C. $ \frac{6}{7} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 2 (0 - 1)

Dany jest prostokąt o wymiarach $40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}$. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o $20\%$, a każdy z krótszych boków skrócimy o $20\%$, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

 A.  zwiększy się o $ 8\% $ 
 B.  zwiększy się o $ 4\% $ 
 C.  zmniejszy się o $ 8\% $ 
 D.  zmniejszy się o $ 4\% $ 

Rozwiązanie

Obliczenie pola powierzchni przed przekształceniem. Pole prostokąta przed zmianami ma pole powierzchni równe: $$P_{1}=40cm\cdot100cm \\ P_{1}=4000cm^2$$ Obliczenie wymiarów oraz pola powierzchni po przekształceniu. Dłuższy bok: $100+20\%\text{ ze }100$, czyli $1,2\cdot100cm=120cm$ Krótszy bok: $40-20\%\text{ z }40$, czyli $0,8\cdot40cm=32cm$ Pole powierzchni nowej działki: $$P_{2}=120cm\cdot32cm \\ P_{2}=3840cm^2$$ Obliczenie o ile zmniejszy się pole powierzchni prostokąta po przekształceniu. Pole powierzchni zmniejszyło się o: $$4000cm^2-3840cm^2=160cm^2$$ To oznacza, że w procentowym ujęciu pole zmniejszy się o: $$\frac{160cm^2}{4000cm^2}=\frac{4}{100}=4\%$$

Odpowiedź

D. zmniejszy się o $ 4\% $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba $\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}$ jest równa

A. $ 45^{40} $

B. $ 45^9 $

C. $ 9^4 $

D. $ 5^4 $

Rozwiązanie

Liczbę $45$ znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn $9\cdot5$, zatem: $$\require{cancel} \frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\ =5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$

Odpowiedź

D. $ 5^4 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba $\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}$ jest równa

 A.  $ \sqrt{\frac{16}{63}} $ 
 B.  $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $ 
 C.  $ 1 $ 
 D.  $ \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $ 

Rozwiązanie

Wykonanie obliczeń na pierwiastkach. $$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$ Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy. Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie $3\sqrt{7}$, zatem: $$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}= \\ =\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$

Odpowiedź

B. $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Wartość wyrażenia $\log5 0,04-\frac{1}{2}\log{25}1$ jest równa

A. $ -3 $

B. $ -2\frac{1}{4} $

C. $ -2 $

D. $ 0 $

Rozwiązanie

Obliczmy sobie każdy z logarytmów oddzielnie: $$\log_{5}0,04=\log_{5}\frac{4}{100}=\log_{5}\frac{1}{25}=-2\text{, bo }5^{-2}=\frac{1}{25} \\ \log_{25}5=\frac{1}{2}\text{, bo }25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \\ \log_{25}1=0\text{, bo }25^0=1$$ Zatem wartość całego wyrażenia jest równa: $$-2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot0=-2-0=-2$$

Odpowiedź

C. $ -2 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Wartość wyrażenia $(a+5)^2$ jest większa od wartości wyrażenia $(a^2+10a)$ o

A. $ 50 $

B. $ 10 $

C. $ 5 $

D. $ 25 $

Rozwiązanie

Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia: $$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$ Porównując to do wyrażenia $a^2+10a$ widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o $25$.

Odpowiedź

D. $ 25 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań $\begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} $ Wskaż ten rysunek.

Rozwiązanie

Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości $x$ oraz $y$ będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź. \begin{cases} x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3x-2y=-4 \end{cases}\begin{cases} -3x-9y=15 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} Dodając to równanie stronami otrzymamy: $$-9y+(-2y)=15+(-4) \\ -11y=11 \\ y=-1$$ Wartość $x$ obliczymy podstawiając $y=-1$ do jednego z równań: $$x+3\cdot(-1)=-5 \\ x-3=-5 \\ x=-2$$ Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych $(-2,-1)$ i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.

Odpowiedź

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $2(x − 2) \le 4(x −1)+1$ jest

A. $ -2 $

B. $ -1 $

C. $ 0 $

D. $ 1 $

Rozwiązanie

Na samym początku musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wartości i rozwiązać tę nierówność: $$2(x-2)\le4(x-1)+1 \\ 2x-4\le4x-4+1 \\ 2x-4\le4x-3 \\ -2x-4\le-3 \\ -2x\le1 \quad\bigg/:(-2) \\ x\ge-\frac{1}{2}$$ Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce! Wynika ona z tego, że wykonywaliśmy dzielenie przez liczbę ujemną. Musimy teraz określić jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od $-\frac{1}{2}$. Tą liczbą będzie oczywiście $0$ i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Odpowiedź

C. $ 0 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania $x^2(x +1) = x^2−8$ jest

A. $ -9 $

B. $ -2 $

C. $ 2 $

D. $ 7 $

Rozwiązanie

$$x^2(x+1)=x^2-8 \\ x^3+x^2=x^2-8 \\ x^3=-8 \\ x=-2$$

Odpowiedź

B. $ -2 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{2x-8}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$. Wówczas wartość funkcji $f(\sqrt{2})$ jest równa

A. $ 2-4\sqrt{2} $

B. $ 1-2\sqrt{2} $

C. $ 1+2\sqrt{2} $

D. $ 2+4\sqrt{2} $

Rozwiązanie

Aby obliczyć wartość $f(\sqrt{2})$ wystarczy tak naprawdę podstawić $x=\sqrt{2}$, zatem: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$ Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\ f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$

Odpowiedź

A. $ 2-4\sqrt{2} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Parabola o wierzchołku $W = (−3, 5)$ i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

 A.  $ y=2\cdot (x+3)^2+5 $ 
 B.  $ y=-2\cdot (x-3)^2+5 $ 
 C.  $ y=-2\cdot (x+3)^2+5 $ 
 D.  $ y=-2\cdot (x-3)^2-5 $ 

Rozwiązanie

Równanie paraboli o wierzchołku $W=(p,q)$ możemy zapisać jako: $$y=a(x-p)^2+q$$ W naszym przypadku $p=-3$ oraz $q=5$, zatem: $$y=a(x-(-3))^2+5 \\ y=a(x+3)^2+5$$ Zgodnie z tym wzorem pasowałyby nam pierwsza i trzecia odpowiedź, ale wiemy jeszcze, że parabola ma mieć ramiona skierowane do dołu, tak więc współczynnik $a$ musi być mniejszy od zera. Taka sytuacja jest w trzeciej odpowiedzi, więc poszukiwanym wzorem jest $$y=-2\cdot(x+3)^2+5$$

Odpowiedź

C. $ y=-2\cdot (x+3)^2+5 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Wykres funkcji liniowej $y = 2x − 3$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych

A. $ (0,-3) $

B. $ (-3,0) $

C. $ (0,2) $

D. $ (0,3) $

Rozwiązanie

O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią $Oy$ decyduje współczynnik $b$, który w naszym przypadku jest równy $b=-3$. To oznacza, że wykres funkcji przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$.

Odpowiedź

A. $ (0,-3) $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $y = f (x)$ ma współrzędne $(2, 2)$. Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g(x) = f(x + 2)$ ma współrzędne

A. $ (4,2) $

B. $ (0,2) $

C. $ (2,0) $

D. $ (2,4) $

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f(x+2)$ jest przekształcony względem funkcji $f(x)$ w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o $2$ miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek $f(x)$ był w punkcie $(2,2)$, to wierzchołek $g(x)$ będzie w punkcie $(0,2)$ w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Odpowiedź

B. $ (0,2) $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez $7$ tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

A. $ 77 $

B. $ 84 $

C. $ 91 $

D. $ 98 $

Rozwiązanie

Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. W zadaniu wykorzystamy wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ Skoro ma to być ciąg składający się z liczb podzielnych przez $7$, to każda kolejna liczba będzie o $7$ większa od swojej poprzedniczki, zatem $r=7$. Obliczenie wartości dwunastego wyrazu. Najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez $7$ jest oczywiście $14$, więc $a_{1}=14$. Szukamy wartości dwunastego wyrazu, więc podstawiamy $n=12$ i dokonujemy obliczeń: $$a_{12}=a_{1}+(12-1)r \\ a_{12}=a_{1}+11r \\ a_{12}=14+11\cdot7 \\ a_{12}=14+77 \\ a_{12}=91$$

Odpowiedź

C. $ 91 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 15 (0 - 1)

Ciąg liczbowy określony jest wzorem $a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}$, dla $n\ge 1$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

A. $ -1 $

B. $ \frac{31}{33} $

C. $ \frac{9}{11} $

D. $ 1 $

Rozwiązanie

Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić $n=5$, zatem: $$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1} \\ a_{5}=\frac{32-1}{32+1} \\ a_{5}=\frac{31}{33}$$

Odpowiedź

B. $ \frac{31}{33} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Sinus kąta ostrego $\alpha $ jest równy $\frac{3}{4}$. Wówczas

 A.  $ \cos \alpha =\frac{1}{4} $ 
 B.  $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} $ 
 C.  $ \cos \alpha =\frac{7}{16} $ 
 D.  $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{16} $ 

Rozwiązanie

W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość sinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość cosinusa. $$sin^2+cos^2\alpha=1 \\ \left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\ \frac{9}{16}+cos^2\alpha=1 \\ cos^2\alpha=1-\frac{9}{16} \\ cos^2\alpha=\frac{7}{16} \\ \cos\alpha=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\ \cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$ Wartość ujemną musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zatem jedyną prawidłową odpowiedzią będzie $\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Odpowiedź

B. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 17 (0 - 1)

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych $2$ i $5$ cosinus większego z kątów ostrych jest równy

 A.  $ \frac{5}{2} $ 
 B.  $ \frac{2}{5} $ 
 C.  $ \frac{2}{\sqrt{29}} $ 
 D.  $ \frac{5}{\sqrt{29}} $ 

Rozwiązanie

Sporządzenie rysunku poglądowego. Narysujmy sobie ten trójkąt by przede wszystkim dostrzec w którym miejscu znajdzie się większy z kątów ostrych: Cosinus zaznaczonego kąta będzie więc stosunkiem długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. $$\cos\alpha=\frac{2}{c}$$ Obliczenie długości przeciwprostokątnej. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: $$2^2+5^2=c^2 \\ 4+25=c^2 \\ c^2=29 \\ c=\sqrt{29}$$ Obliczenie wartości cosinusa. Możemy teraz wrócić do obliczenia wartości cosinusa, a tak naprawdę wystarczy już tylko podstawić obliczoną przed chwilą długość przeciwprostokątnej: $$\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}$$

Odpowiedź

C. $ \frac{2}{\sqrt{29}} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 18 (0 - 1)

Pole rombu o boku $6$ i kącie rozwartym $150^\circ $ jest równe

A. $ 18\sqrt{2} $

B. $ 18 $

C. $ 36\sqrt{2} $

D. $ 36 $

Rozwiązanie

To zadanie jest bardzo proste do policzenia, o ile pamiętamy że w tablicach matematycznych znajduje się następujący wzór: $$P=a^2\cdot \sin\alpha$$ Zanim jednak skorzystamy z tego wzoru to musimy jeszcze wyznaczyć wartość sinusa $150°$. Obliczenie wartości $sin150°$. W tablicach trygonometrycznych nie znajdziemy wartości sinusa dla kątów rozwartych. Musimy więc skorzystać z tzw. wzorów redukcyjnych: $$sin(180-\alpha)=\sin\alpha \\ sin(180°-30°)=sin30° \\ sin150°=sin30°$$ To oznacza, że $sin150°$ będzie równy $sin30°$, czyli $\frac{1}{2}$. Obliczenie pola powierzchni rombu. $$P=a^2\cdot \sin\alpha \\ P=6^2\cdot sin150° \\ P=36\cdot\frac{1}{2} \\ P=18$$

Odpowiedź

B. $ 18 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 19 (0 - 1)

W okręgu o środku $O$ dany jest kąt o mierze $50^\circ $, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą $\alpha $ jest równa

A. $ 40^\circ $

B. $ 50^\circ $

C. $ 20^\circ $

D. $ 25^\circ $

Rozwiązanie

Wprowadźmy sobie pewne oznaczenia niektórych punktów, tak aby łatwiej było omówić zadanie: Przyjrzyjmy się na początek trójkątowi $ABC$. Jest on na pewno prostokątny, bo jest oparty na średnicy okręgu. To z kolei oznacza, że kąt $CAB$ będzie miał miarę równą: $$|\sphericalangle CAB|=180°-90°-50°=40°$$ Kąt $CDB$ zaznaczony na rysunku literą $\alpha$ jest oparty na tym samym co obliczony przed chwilą kąt $CAB$. To oznacza, że ich miary muszą być sobie równe. Tak więc: $$|\sphericalangle CDB|=|\sphericalangle CAB|=40°$$

Odpowiedź

A. $ 40^\circ $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty $A = (−4,3)$ oraz $B = (8,7)$, jest równy

A. $ a=3 $

B. $ a=-1 $

C. $ a=\frac{5}{6} $

D. $ a=\frac{1}{3} $

Rozwiązanie

Prostą przechodzącą przez dwa punkty $A=(x_{A},y_{A})$ oraz $B=(x_{B},y_{B})$ możemy opisać następującym równaniem: $$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$ Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy: $$(y-3)(8-(-4))-(7-3)(x-(-4))=0 \\ (y-3)(8+4)-(7-3)(x+4)=0 \\ (y-3)\cdot12-4\cdot(x+4)=0 \\ 12y-36-4x-16=0 \\ 12y-4x-52=0 \\ 12y=4x+52 \\ y=\frac{4}{12}x+\frac{52}{12} \\ y=\frac{1}{3}x+4\frac{1}{3}$$ To oznacza, że współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej jest równy $a=\frac{1}{3}$.

Odpowiedź

D. $ a=\frac{1}{3} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Punkt $S = (2,−5)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A = (−4,3)$ i $B = (8,b)$. Wtedy

A. $ b=-13 $

B. $ b=-2 $

C. $ b=-1 $

D. $ b=6 $

Rozwiązanie

Współrzędne środka $S=(x_{S},y_{S})$ odcinka o końcach $A=(x_{A},y{A})$ oraz $B=(x_{B},y{B})$ możemy wyliczyć za pomocą wzorów: $$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\ y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$ Nas tak naprawdę interesuje tylko współrzędna $y$, bo to tam pojawia się niewiadoma $b$, której wartość musimy policzyć, zatem: $$-5=\frac{3+b}{2} \\ -10=3+b \\ b=-13$$

Odpowiedź

A. $ b=-13 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 22 (0 - 1)

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków $a, b, c$, gdzie $a \lt b \lt c$. Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt $360^\circ $ otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa

 A.  $ V=\frac{1}{3}a^2b\pi $ 
 B.  $ V=a^2b\pi $ 
 C.  $ V=\frac{1}{3}b^2a\pi $ 
 D.  $ V=a^2\pi +\pi ac $ 

Rozwiązanie

W trójkącie najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc ją od razu możemy oznaczyć jako bok $c$. Skoro obrót jest dokonywany wzdłuż dłużej przyprostokątnej, to stożek będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób: Standardowy wzór na objętość stożka to: $$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H$$ W naszym przypadku $r=a$ oraz $H=b$, zatem poszukiwanym wzorem jest: $$V=\frac{1}{3}a^2bπ$$

Odpowiedź

A. $ V=\frac{1}{3}a^2b\pi $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 23 (0 - 1)

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy $4$ i wysokość jest równa $6,$ ma długość

A. $ \sqrt{10} $

B. $ \sqrt{20} $

C. $ \sqrt{52} $

D. $ 10 $

Rozwiązanie

Skoro promień podstawy walca jest równy $4$, to prostokąt znajdujący się w przekroju będzie miał podstawę równą $4\cdot2=8$ (patrz rysunek). Do tego znamy wysokość walca, tak więc przekątną przekroju możemy obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa. $$a^2+b^2=c^2 \\ 8^2+6^2=c^2 \\ 64+36=c^2 \\ c^2=100 \\ c=10$$

Odpowiedź

D. $ 10 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

W grupie jest $15$ kobiet i $18$ mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe

 A.  $ \frac{1}{15} $ 
 B.  $ \frac{1}{33} $ 
 C.  $ \frac{15}{33} $ 
 D.  $ \frac{15}{18} $ 

Rozwiązanie

Łącznie wszystkich osób jest $15+18=33$. Skoro $15$ z $33$ osób stanowią kobiety, to prawdopodobieństwo wylosowania kobiety będzie równe $\frac{15}{33}$.

Odpowiedź

C. $ \frac{15}{33} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od $3000$, utworzonych wyłącznie z cyfr $1, 2, 3$, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

A. $ 3 $

B. $ 6 $

C. $ 9 $

D. $ 27 $

Rozwiązanie

Przeanalizujmy sobie na ile różnych sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby: Pierwsza cyfra: Skoro liczba ma być czterocyfrowa, ma być większa od $3000$ i może zawierać tylko cyfry $1$, $2$ oraz $3$, to na pewno na pierwszym miejscu tej liczby musi stać trójka. Na pierwsze miejsce możemy więc wpisać cyfrę tylko na jeden sposób. Druga cyfra: Tutaj możemy wpisać cyfrę na trzy sposoby, bo mamy aż trzy możliwości: $1$, $2$ lub $3$. Trzecia cyfra: Tutaj także możemy wpisać cyfrę na trzy różne sposoby. Czwarta cyfra: Tutaj ponownie mamy trzy różne możliwości. Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć: $$|Ω|=1\cdot3\cdot3\cdot3=27$$

Odpowiedź

D. $ 27 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż równanie $\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}$, gdzie $x\ne 0$ i $x\ne 2$.

Odpowiedź

$x=\frac{4}{3}$ oraz $x=4$

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się $6$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $6$, a w drugim – $8$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $8$. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez $11$.

Odpowiedź

$P(A)=\frac{1}{8}$

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 28 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność $20x \ge 4x^2 + 24$.

Odpowiedź

$x\in\langle2,3\rangle$

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Kąt $\alpha $ jest ostry i spełnia równość $\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha $.

Odpowiedź

$\sin\alpha\cdot \cos\alpha=\frac{2}{7}$

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2$.

Odpowiedź

Udowodniono wyłączając przed nawias odpowiednie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 2)

W prostokącie $ABCD$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $R$ jest środkiem boku $CD$. Wykaż, że pole trójkąta $APR$ jest równe sumie pól trójkątów $ADR$ oraz $PCR$.

Odpowiedź

Udowodniono obliczając miary pól poszczególnych trójkątów.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 4)

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach $A = (−2, 2)$, $B = (6, − 2)$, $C = (10,6)$.

Odpowiedź

$y=-3x+16$

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 33 (0 - 4)

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $3 : 4$, a pole jest równe $192$ (zobacz rysunek). Punkt $E$ jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek $SE$ jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość ostrosłupa.

Odpowiedź

$V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 34 (0 - 5)

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c$. Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x) \gt 0$ jest przedział $(0,12)$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $9$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$ funkcji $f$.

Odpowiedź

$a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0$