Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa

A. $ \frac{2}{3} $
B. $ 1 $
C. $ \frac{6}{7} $
D. $ \frac{27}{6} $
Rozwiązanie Podstawiamy do wzoru dane z treści zadania, otrzymując: $$\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2}{\frac{3}{2}+2}=\frac{3}{\frac{3}{2}+\frac{4}{2}}= \\ =\frac{3}{\frac{7}{2}}=3:\frac{7}{2}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{6}{7} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 2 (0 - 1)

Dany jest prostokąt o wymiarach \(40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

A. zwiększy się o $ 8\% $
B. zwiększy się o $ 4\% $
C. zmniejszy się o $ 8\% $
D. zmniejszy się o $ 4\% $
Rozwiązanie Obliczenie pola powierzchni przed przekształceniem. Pole prostokąta przed zmianami ma pole powierzchni równe: $$P_{1}=40cm\cdot100cm \\ P_{1}=4000cm^2$$ Obliczenie wymiarów oraz pola powierzchni po przekształceniu. Dłuższy bok: \(100+20\%\text{ ze }100\), czyli \(1,2\cdot100cm=120cm\) Krótszy bok: \(40-20\%\text{ z }40\), czyli \(0,8\cdot40cm=32cm\) Pole powierzchni nowej działki: $$P_{2}=120cm\cdot32cm \\ P_{2}=3840cm^2$$ Obliczenie o ile zmniejszy się pole powierzchni prostokąta po przekształceniu. Pole powierzchni zmniejszyło się o: $$4000cm^2-3840cm^2=160cm^2$$ To oznacza, że w procentowym ujęciu pole zmniejszy się o: $$\frac{160cm^2}{4000cm^2}=\frac{4}{100}=4\%$$
Odpowiedź
D. zmniejszy się o $ 4\% $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa

A. $ 45^{40} $
B. $ 45^9 $
C. $ 9^4 $
D. $ 5^4 $
Rozwiązanie Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem: $$\require{cancel} \frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\ =5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$
Odpowiedź
D. $ 5^4 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa

A. $ \sqrt{\frac{16}{63}} $
B. $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $
C. $ 1 $
D. $ \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $
Rozwiązanie Wykonanie obliczeń na pierwiastkach. $$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$ Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy. Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(3\sqrt{7}\), zatem: $$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}= \\ =\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \(\log5 0,04-\frac{1}{2}\log{25}1\) jest równa

A. $ -3 $
B. $ -2\frac{1}{4} $
C. $ -2 $
D. $ 0 $
Rozwiązanie Obliczmy sobie każdy z logarytmów oddzielnie: $$\log_{5}0,04=\log_{5}\frac{4}{100}=\log_{5}\frac{1}{25}=-2\text{, bo }5^{-2}=\frac{1}{25} \\ \log_{25}5=\frac{1}{2}\text{, bo }25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \\ \log_{25}1=0\text{, bo }25^0=1$$ Zatem wartość całego wyrażenia jest równa: $$-2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot0=-2-0=-2$$
Odpowiedź
C. $ -2 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o

A. $ 50 $
B. $ 10 $
C. $ 5 $
D. $ 25 $
Rozwiązanie Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia: $$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$ Porównując to do wyrażenia \(a^2+10a\) widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o \(25\).
Odpowiedź
D. $ 25 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \(\begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} \) Wskaż ten rysunek.

A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź. \begin{cases} x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3x-2y=-4 \end{cases}\begin{cases} -3x-9y=15 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} Dodając to równanie stronami otrzymamy: $$-9y+(-2y)=15+(-4) \\ -11y=11 \\ y=-1$$ Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań: $$x+3\cdot(-1)=-5 \\ x-3=-5 \\ x=-2$$ Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2,-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.
Odpowiedź
A.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest

A. $ -2 $
B. $ -1 $
C. $ 0 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Na samym początku musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wartości i rozwiązać tę nierówność: $$2(x-2)\le4(x-1)+1 \\ 2x-4\le4x-4+1 \\ 2x-4\le4x-3 \\ -2x-4\le-3 \\ -2x\le1 \quad\bigg/:(-2) \\ x\ge-\frac{1}{2}$$ Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce! Wynika ona z tego, że wykonywaliśmy dzielenie przez liczbę ujemną. Musimy teraz określić jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-\frac{1}{2}\). Tą liczbą będzie oczywiście \(0\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Odpowiedź
C. $ 0 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(x^2(x +1) = x^2−8\) jest

A. $ -9 $
B. $ -2 $
C. $ 2 $
D. $ 7 $
Rozwiązanie $$x^2(x+1)=x^2-8 \\ x^3+x^2=x^2-8 \\ x^3=-8 \\ x=-2$$
Odpowiedź
B. $ -2 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa

A. $ 2-4\sqrt{2} $
B. $ 1-2\sqrt{2} $
C. $ 1+2\sqrt{2} $
D. $ 2+4\sqrt{2} $
Rozwiązanie Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$ Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\ f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$
Odpowiedź
A. $ 2-4\sqrt{2} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

A. $ y=2\cdot (x+3)^2+5 $
B. $ y=-2\cdot (x-3)^2+5 $
C. $ y=-2\cdot (x+3)^2+5 $
D. $ y=-2\cdot (x-3)^2-5 $
Rozwiązanie Równanie paraboli o wierzchołku \(W=(p,q)\) możemy zapisać jako: $$y=a(x-p)^2+q$$ W naszym przypadku \(p=-3\) oraz \(q=5\), zatem: $$y=a(x-(-3))^2+5 \\ y=a(x+3)^2+5$$ Zgodnie z tym wzorem pasowałyby nam pierwsza i trzecia odpowiedź, ale wiemy jeszcze, że parabola ma mieć ramiona skierowane do dołu, tak więc współczynnik \(a\) musi być mniejszy od zera. Taka sytuacja jest w trzeciej odpowiedzi, więc poszukiwanym wzorem jest $$y=-2\cdot(x+3)^2+5$$
Odpowiedź
C. $ y=-2\cdot (x+3)^2+5 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych

A. $ (0,-3) $
B. $ (-3,0) $
C. $ (0,2) $
D. $ (0,3) $
Rozwiązanie O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\).
Odpowiedź
A. $ (0,-3) $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne

A. $ (4,2) $
B. $ (0,2) $
C. $ (2,0) $
D. $ (2,4) $
Rozwiązanie Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2,2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0,2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ (0,2) $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

A. $ 77 $
B. $ 84 $
C. $ 91 $
D. $ 98 $
Rozwiązanie Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. W zadaniu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ Skoro ma to być ciąg składający się z liczb podzielnych przez \(7\), to każda kolejna liczba będzie o \(7\) większa od swojej poprzedniczki, zatem \(r=7\). Obliczenie wartości dwunastego wyrazu. Najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(7\) jest oczywiście \(14\), więc \(a_{1}=14\). Szukamy wartości dwunastego wyrazu, więc podstawiamy \(n=12\) i dokonujemy obliczeń: $$a_{12}=a_{1}+(12-1)r \\ a_{12}=a_{1}+11r \\ a_{12}=14+11\cdot7 \\ a_{12}=14+77 \\ a_{12}=91$$
Odpowiedź
C. $ 91 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 15 (0 - 1)

Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy

A. $ -1 $
B. $ \frac{31}{33} $
C. $ \frac{9}{11} $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem: $$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1} \\ a_{5}=\frac{32-1}{32+1} \\ a_{5}=\frac{31}{33}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{31}{33} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas

A. $ \cos \alpha =\frac{1}{4} $
B. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} $
C. $ \cos \alpha =\frac{7}{16} $
D. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{16} $
Rozwiązanie W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość sinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość cosinusa. $$sin^2+cos^2\alpha=1 \\ \left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\ \frac{9}{16}+cos^2\alpha=1 \\ cos^2\alpha=1-\frac{9}{16} \\ cos^2\alpha=\frac{7}{16} \\ \cos\alpha=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\ \cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$ Wartość ujemną musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zatem jedyną prawidłową odpowiedzią będzie \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}\).
Odpowiedź
B. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 17 (0 - 1)

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy

A. $ \frac{5}{2} $
B. $ \frac{2}{5} $
C. $ \frac{2}{\sqrt{29}} $
D. $ \frac{5}{\sqrt{29}} $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Narysujmy sobie ten trójkąt by przede wszystkim dostrzec w którym miejscu znajdzie się większy z kątów ostrych: Cosinus zaznaczonego kąta będzie więc stosunkiem długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. $$\cos\alpha=\frac{2}{c}$$ Obliczenie długości przeciwprostokątnej. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: $$2^2+5^2=c^2 \\ 4+25=c^2 \\ c^2=29 \\ c=\sqrt{29}$$ Obliczenie wartości cosinusa. Możemy teraz wrócić do obliczenia wartości cosinusa, a tak naprawdę wystarczy już tylko podstawić obliczoną przed chwilą długość przeciwprostokątnej: $$\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{2}{\sqrt{29}} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 18 (0 - 1)

Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150^\circ \) jest równe

A. $ 18\sqrt{2} $
B. $ 18 $
C. $ 36\sqrt{2} $
D. $ 36 $
Rozwiązanie To zadanie jest bardzo proste do policzenia, o ile pamiętamy że w tablicach matematycznych znajduje się następujący wzór: $$P=a^2\cdot \sin\alpha$$ Zanim jednak skorzystamy z tego wzoru to musimy jeszcze wyznaczyć wartość sinusa \(150°\). Obliczenie wartości \(sin150°\). W tablicach trygonometrycznych nie znajdziemy wartości sinusa dla kątów rozwartych. Musimy więc skorzystać z tzw. wzorów redukcyjnych: $$sin(180-\alpha)=\sin\alpha \\ sin(180°-30°)=sin30° \\ sin150°=sin30°$$ To oznacza, że \(sin150°\) będzie równy \(sin30°\), czyli \(\frac{1}{2}\). Obliczenie pola powierzchni rombu. $$P=a^2\cdot \sin\alpha \\ P=6^2\cdot sin150° \\ P=36\cdot\frac{1}{2} \\ P=18$$
Odpowiedź
B. $ 18 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 19 (0 - 1)

W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa

A. $ 40^\circ $
B. $ 50^\circ $
C. $ 20^\circ $
D. $ 25^\circ $
Rozwiązanie Wprowadźmy sobie pewne oznaczenia niektórych punktów, tak aby łatwiej było omówić zadanie: Przyjrzyjmy się na początek trójkątowi \(ABC\). Jest on na pewno prostokątny, bo jest oparty na średnicy okręgu. To z kolei oznacza, że kąt \(CAB\) będzie miał miarę równą: $$|\sphericalangle CAB|=180°-90°-50°=40°$$ Kąt \(CDB\) zaznaczony na rysunku literą \(\alpha\) jest oparty na tym samym co obliczony przed chwilą kąt \(CAB\). To oznacza, że ich miary muszą być sobie równe. Tak więc: $$|\sphericalangle CDB|=|\sphericalangle CAB|=40°$$
Odpowiedź
A. $ 40^\circ $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A = (−4,3)\) oraz \(B = (8,7)\), jest równy

A. $ a=3 $
B. $ a=-1 $
C. $ a=\frac{5}{6} $
D. $ a=\frac{1}{3} $
Rozwiązanie Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(A=(x_{A},y_{A})\) oraz \(B=(x_{B},y_{B})\) możemy opisać następującym równaniem: $$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$ Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy: $$(y-3)(8-(-4))-(7-3)(x-(-4))=0 \\ (y-3)(8+4)-(7-3)(x+4)=0 \\ (y-3)\cdot12-4\cdot(x+4)=0 \\ 12y-36-4x-16=0 \\ 12y-4x-52=0 \\ 12y=4x+52 \\ y=\frac{4}{12}x+\frac{52}{12} \\ y=\frac{1}{3}x+4\frac{1}{3}$$ To oznacza, że współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej jest równy \(a=\frac{1}{3}\).
Odpowiedź
D. $ a=\frac{1}{3} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Punkt \(S = (2,−5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A = (−4,3)\) i \(B = (8,b)\). Wtedy

A. $ b=-13 $
B. $ b=-2 $
C. $ b=-1 $
D. $ b=6 $
Rozwiązanie Współrzędne środka \(S=(x_{S},y_{S})\) odcinka o końcach \(A=(x_{A},y{A})\) oraz \(B=(x_{B},y{B})\) możemy wyliczyć za pomocą wzorów: $$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\ y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$ Nas tak naprawdę interesuje tylko współrzędna \(y\), bo to tam pojawia się niewiadoma \(b\), której wartość musimy policzyć, zatem: $$-5=\frac{3+b}{2} \\ -10=3+b \\ b=-13$$
Odpowiedź
A. $ b=-13 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 22 (0 - 1)

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a, b, c\), gdzie \(a \lt b \lt c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ \) otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa

A. $ V=\frac{1}{3}a^2b\pi $
B. $ V=a^2b\pi $
C. $ V=\frac{1}{3}b^2a\pi $
D. $ V=a^2\pi +\pi ac $
Rozwiązanie W trójkącie najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc ją od razu możemy oznaczyć jako bok \(c\). Skoro obrót jest dokonywany wzdłuż dłużej przyprostokątnej, to stożek będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób: Standardowy wzór na objętość stożka to: $$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H$$ W naszym przypadku \(r=a\) oraz \(H=b\), zatem poszukiwanym wzorem jest: $$V=\frac{1}{3}a^2bπ$$
Odpowiedź
A. $ V=\frac{1}{3}a^2b\pi $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 23 (0 - 1)

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy \(4\) i wysokość jest równa \(6,\) ma długość

A. $ \sqrt{10} $
B. $ \sqrt{20} $
C. $ \sqrt{52} $
D. $ 10 $
Rozwiązanie Skoro promień podstawy walca jest równy \(4\), to prostokąt znajdujący się w przekroju będzie miał podstawę równą \(4\cdot2=8\) (patrz rysunek). Do tego znamy wysokość walca, tak więc przekątną przekroju możemy obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa. $$a^2+b^2=c^2 \\ 8^2+6^2=c^2 \\ 64+36=c^2 \\ c^2=100 \\ c=10$$
Odpowiedź
D. $ 10 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

W grupie jest \(15\) kobiet i \(18\) mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe

A. $ \frac{1}{15} $
B. $ \frac{1}{33} $
C. $ \frac{15}{33} $
D. $ \frac{15}{18} $
Rozwiązanie Łącznie wszystkich osób jest \(15+18=33\). Skoro \(15\) z \(33\) osób stanowią kobiety, to prawdopodobieństwo wylosowania kobiety będzie równe \(\frac{15}{33}\).
Odpowiedź
C. $ \frac{15}{33} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

A. $ 3 $
B. $ 6 $
C. $ 9 $
D. $ 27 $
Rozwiązanie Przeanalizujmy sobie na ile różnych sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby: Pierwsza cyfra: Skoro liczba ma być czterocyfrowa, ma być większa od \(3000\) i może zawierać tylko cyfry \(1\), \(2\) oraz \(3\), to na pewno na pierwszym miejscu tej liczby musi stać trójka. Na pierwsze miejsce możemy więc wpisać cyfrę tylko na jeden sposób. Druga cyfra: Tutaj możemy wpisać cyfrę na trzy sposoby, bo mamy aż trzy możliwości: \(1\), \(2\) lub \(3\). Trzecia cyfra: Tutaj także możemy wpisać cyfrę na trzy różne sposoby. Czwarta cyfra: Tutaj ponownie mamy trzy różne możliwości. Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć: $$|Ω|=1\cdot3\cdot3\cdot3=27$$
Odpowiedź
D. $ 27 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 2\).

Odpowiedź
\(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się \(6\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(6\), a w drugim – \(8\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(8\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez \(11\).

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{8}\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 28 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\).

Odpowiedź
\(x\in\langle2,3\rangle\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Odpowiedź
\(\sin\alpha\cdot \cos\alpha=\frac{2}{7}\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2\).

Odpowiedź
Udowodniono wyłączając przed nawias odpowiednie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 2)

W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).

Odpowiedź
Udowodniono obliczając miary pól poszczególnych trójkątów.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 4)

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A = (−2, 2)\), \(B = (6, − 2)\), \(C = (10,6)\).

Odpowiedź
\(y=-3x+16\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 33 (0 - 4)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Odpowiedź
\(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 34 (0 - 5)

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).

Odpowiedź
\(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\)