Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 1 (0 - 1)

Liczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa

A. $ 42^{36} $
B. $ 42^7 $
C. $ 6 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie $$\require{cancel} \frac{7^6\cdot6^7} {42^6}=\frac{7^6\cdot6^7}{(7\cdot6)^6}=\frac{\cancel{7^6}\cdot6^7}{\cancel{7^6}\cdot6^6}= \\ =6^7:6^6=6^{7-6}=6^1=6$$
Odpowiedź
C. $ 6 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 2 (0 - 1)

Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o \(30\%\). Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką

A. o $ 50\% $
B. o $ 56\% $
C. o $ 60\% $
D. o $ 66\% $
Rozwiązanie Obliczenie ceny towaru po pierwszej podwyżce. Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po podwyżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(120\%\cdot x=1,2x\). Obliczenie ceny towaru po drugiej podwyżce. Cena towaru ponownie ulega podwyżce, ale tym razem punktem wyjściowym jest już nasze \(1,2x\). Nowa cena jest więc równa: $$130\%\cdot1,2x=1,3\cdot1,2x=1,56x$$ Obliczenie całkowitego wzrostu cen. Cena towaru wzrosła o \((1,56x-x)\cdot100\%=56\%\), więc chcąc zastąpić te dwie podwyżki jedną równoważną należy podwyższyć cenę towaru o \(56\%\).
Odpowiedź
B. o $ 56\% $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa

A. $ \sqrt[6]{3} $
B. $ \sqrt[4]{3} $
C. $ \sqrt[3]{3} $
D. $ \sqrt{3} $
Rozwiązanie Aby obliczyć ten przykład to najprościej jest zamienić wszystkie pierwiastki na odpowiednie potęgi: $$\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\left(3^{1}\cdot3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}= \\ =3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$
Odpowiedź
D. $ \sqrt{3} $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 4 (0 - 1)

Różnica \(50001^2 - 49999^2\) jest równa

A. $ 2\ 000\ 000 $
B. $ 200\ 000 $
C. $ 20\ 000 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia: $$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b) \\ 50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999) \\ 50001^2-49999^2=100\,000\cdot2 \\ 50001^2-49999^2=200\,000$$
Odpowiedź
B. $ 200\ 000 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 5 (0 - 1)

Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in \{2,3,4\}\) jest równa

A. $ 2 $
B. $ -24 $
C. $ 0 $
D. $ -12 $
Rozwiązanie Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że: $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$ Powyższe wyrażenie będzie więc tym mniejsze im \(x\) będzie mniejszy oraz tym mniejsze im \(y\) będzie większy. Zatem pod iksa musimy podstawić jak najmniejszą wartość, czyli \(x=2\), natomiast pod igreka jak najwyższą, czyli \(y=4\). Wartość tego wyrażenia będzie zatem równa: $$2^2-4^2=4-16=-12$$
Odpowiedź
D. $ -12 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 6 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \(\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}\) jest równa

A. $ -1 $
B. $ -2 $
C. $ \log_3\frac{5}{11} $
D. $ \log_3\frac{31}{18} $
Rozwiązanie $$\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}=\log_{3}\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}=\log_{3}\frac{1}{3}=-1$$
Odpowiedź
A. $ -1 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 7 (0 - 1)

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \((x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0\) wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

A. $ 12 $
B. $ 10 $
C. $ 6 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Wskazanie rozwiązań równania. Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem: $$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\ x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\ x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$ Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb. Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).
Odpowiedź
C. $ 6 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 8 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(\frac{x-7}{x}=5\), gdzie \(x\ne 0\) jest liczba należąca do przedziału

A. $ (-\infty ,-2) $
B. $ \langle -2,-1) $
C. $ \langle -1,0) $
D. $ (0,+\infty ) $
Rozwiązanie $$\frac{x-7}{x}=5 \\ x-7=5x \\ -7=4x \\ x=-\frac{7}{4} \\ x=-1\frac{3}{4}$$ Otrzymany wynik mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi.
Odpowiedź
B. $ \langle -2,-1) $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa

A. $ -\frac{8}{5} $
B. $ -\frac{4\sqrt{2}}{3} $
C. $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $
D. $ -\frac{4}{3} $
Rozwiązanie Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem: $$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Odpowiedź
C. $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 10 (0 - 1)

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.

A. $ (-\infty ,3\rangle $
B. $ (-\infty ,5\rangle $
C. $ (-\infty ,11\rangle $
D. $ \langle 6,+\infty ) $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych funkcji. Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując \(-2(x+5)(x-11)\) do zera: $$-2(x+5)(x-11)=0 \\ x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$ Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli. Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik \(a=-2\) stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną \(x\) wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób: $$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$ To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,3\rangle\).
Odpowiedź
A. $ (-\infty ,3\rangle $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 11 (0 - 1)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=6(n-16)\) dla \(n\ge 1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $ -54 $
B. $ -126 $
C. $ -630 $
D. $ -270 $
Rozwiązanie Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. Aby obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów będziemy potrzebować wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{10}\): $$a_{1}=6\cdot(1-16)=6\cdot(-15)=-90 \\ a_{10}=6\cdot(10-16)=6\cdot(-6)=-36$$ Sumę dziesięciu pierwszych wyrazów obliczymy za pomocą wzoru: $$S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \\ S_{10}=\frac{-90+(-36)}{2}\cdot10 \\ S_{10}=(-126)\cdot5 \\ S_{10}=-630$$
Odpowiedź
C. $ -630 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 12 (0 - 1)

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1=72\) i \(a_4=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A. $ q=\frac{1}{2} $
B. $ q=\frac{1}{6} $
C. $ q=\frac{1}{4} $
D. $ q=\frac{1}{8} $
Rozwiązanie Aby obliczyć iloraz \(q\) posłużymy się wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ Skoro znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, to podstawmy te informacje do powyższego wzoru, wyznaczając w ten sposób iloraz \(q\). $$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\ 9=72\cdot q^3 \\ q^3=\frac{9}{72} \\ q^3=\frac{1}{8} \\ q=\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
A. $ q=\frac{1}{2} $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 13 (0 - 1)

Dany jest trapez \(ABCD\), w którym przekątna \(AC\) jest prostopadła do ramienia \(BC\), \(|AD|=|DC|\) oraz \(|\sphericalangle ABC|=50^\circ \) (zobacz rysunek). Stąd wynika, że

A. $ \beta =100^\circ $
B. $ \beta =120^\circ $
C. $ \beta =110^\circ $
D. $ \beta =130^\circ $
Rozwiązanie Obliczenie miary kąta \(CAB\). Z trójkąta \(ABC\) jesteśmy wyznaczyć miarę kąta \(CAB\): $$|\sphericalangle CAB|=180°-90°-50°=40°$$ Obliczenie miary kątów \(ACD\) oraz \(DAC\). Musimy zauważyć, że kąty \(ACD\) i \(DAC\) będą miały równą miarę. Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że \(|AD|=|DC|\), co sugeruje nam że trójkąt \(ACD\) jest równoramienny, a w takim trójkącie kąty przy podstawie są równej miary. Z własności kątów naprzemianległych wiemy, że kąty \(CAB\) oraz \(ACD\) mają równą miarę. W związku z tym: $$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DAC|=40°$$ Obliczenie miary kąta \(ADC\) (czyli \(\beta\)). Znając kąty \(ACD\) i \(DAC\) bez problemu wyliczymy miarę naszego kąta \(\beta\): $$\beta=180°-40°-40°=100°$$
Odpowiedź
A. $ \beta =100^\circ $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 14 (0 - 1)

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(\alpha \) i \(\beta \) są odpowiednio równe

A. $ \alpha =36^\circ,\ \beta =72^\circ $
B. $ \alpha =54^\circ,\ \beta =72^\circ $
C. $ \alpha =36^\circ,\ \beta =108^\circ $
D. $ \alpha =72^\circ,\ \beta =72^\circ $
Rozwiązanie Obliczenie miary kąta \(\alpha\). Przyglądając się rysunkowi musimy zauważyć, że nasz kąt \(\alpha\) (który jest kątem środkowym) oraz kąt \(DAC\) (który jest kątem wpisanym) są oparte na tym samym łuku. To oznacza, że miara kąta \(\alpha\) będzie dwa razy większa od miary kąta \(DAC\), czyli: $$\alpha=36°\cdot2=72°$$ Obliczenie miary kąta \(\beta\). Zanim obliczymy miarę kąta \(\beta\), to przyda nam się jeszcze znajomość kąta \(ADC\). Jego miara jest równa: $$|\sphericalangle ADC|=180°-36°-36°=108°$$ Skoro nasz czworokąt jest wpisany w okrąg to suma kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\). Naprzeciw naszego kąta \(\beta\) leży obliczony przed chwilą kąt \(ADC\), tak więc miara kąta \(\beta\) jest równa: $$\beta=180°-108°=72°$$ Tak na marginesie, to w zasadzie można byłoby rozwiązać to zadanie bez umiejętności obliczania miary kąta \(\beta\). Wystarczy przyjrzeć się odpowiedziom i skoro wiemy, że \(\alpha=36°\) to zostają nam dwie możliwości \(\beta=72°\) lub \(\beta=108°\). Z rysunku jasno wynika, że \(\beta\) jest na pewno kątem ostrym, stąd też gdybyśmy nie umieli dokończyć tego zadania w matematyczny sposób, to sprytną analizą sytuacji możemy i tak wybrać prawidłową odpowiedź.
Odpowiedź
D. $ \alpha =72^\circ,\ \beta =72^\circ $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 15 (0 - 1)

Słoń waży \(5\) ton, a waga mrówki jest równa \(0{,}5\) grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

A. $ 10^6 $
B. $ 10^7 $
C. $ 10 $
D. $ 10^8 $
Rozwiązanie Sprowadzenie mas do wspólnej jednostki. Obie masy musimy sprowadzić do wspólnej jednostki. Aby się nie pomylić to chyba najbezpieczniej będzie sprowadzić je do kilogramów. $$5t=5000kg=5\cdot10^3kg \\ 0,5g=0,0005kg=5\cdot10^{-4}kg$$ Obliczenie ilorazu wagi słonia i mrówki. Teraz musimy podzielić przez siebie te dwie masy: $$\require{cancel} \frac{\cancel{5}\cdot10^3\cancel{kg}}{\cancel{5}\cdot10^{-4}\cancel{kg}}=10^4:10^{-3}=10^{4-(-3)}=10^{7}$$
Odpowiedź
B. $ 10^7 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 16 (0 - 1)

Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość \(20\). Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę \(150^\circ \). Pole tego trójkąta jest równe

A. $ 100 $
B. $ 200 $
C. $ 100\sqrt{3} $
D. $ 100\sqrt{2} $
Rozwiązanie Do obliczenia pola tego trójkąta wykorzystamy następujący wzór z tablic matematycznych: $$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\alpha \\ P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot sin150° \\ P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot sin150° \\ P=200\cdot\frac{1}{2} \\ P=100$$ Pewną trudnością w tym zadaniu może być określenie wartości \(sin150°\). Skąd wiemy, że \(sin150°\) jest równy \(\frac{1}{2}\)? Ze wzorów redukcyjnych możemy odczytać, że: $$sin(180°-\alpha)=\sin\alpha \\ sin(180°-150°)=sin150° \\ sin30°=sin150°$$ Wartość \(sin30°\) możemy już odczytać z tablic i wynosi ona \(\frac{1}{2}\).
Odpowiedź
A. $ 100 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 17 (0 - 1)

Prosta określona wzorem \(y=ax+1\) jest symetralną odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-3,2)\) i \(B=(1,4)\). Wynika stąd, że

A. $ a=-\frac{1}{2} $
B. $ a=\frac{1}{2} $
C. $ a=-2 $
D. $ a=2 $
Rozwiązanie Zanim przejdziemy do obliczeń to omówmy sobie co tak naprawdę musimy obliczyć. Mamy podane współrzędne punktu \(A\) i \(B\), które tworzą odcinek w układzie współrzędnych. Przez ten odcinek poprowadzono prostą symetralną (czyli tak naprawdę prostopadłą do tego odcinka, która przechodzi przez jego środek). Naszym zadaniem jest obliczenie współczynnika kierunkowego \(a\) tej prostej symetralnej. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\). Zanim obliczymy współczynnik kierunkowy symetralnej, to potrzebny nam będzie współczynnik kierunkowy prostej na której znajduje się odcinek \(AB\). Obliczymy go za pomocą wzoru: $$m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\ m=\frac{4-2}{1-(-3)} \\ m=\frac{2}{4} \\ m=\frac{1}{2}$$ Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(y=ax+1\). Tak jak wcześniej ustaliliśmy - skoro jest to symetralna odcinka \(AB\), to znaczy że jest to prosta prostopadła. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem: $$a\cdot m=-1 \\ a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\ a=-2$$
Odpowiedź
C. $ a=-2 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 18 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} y=-ax+2a \\ y=\frac{b}{3}x-2 \end{cases} \) nie ma rozwiązań dla

A. $ a=-1 $ i $b=-3$
B. $ a=1 $ i $b=3 $
C. $ a=1 $ i $b=-3 $
D. $ a=-1 $ i $b=3 $
Rozwiązanie Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ nie ma równań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają). Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem: $$-a=\frac{b}{3} \\ -3a=b \\ \frac{b}{a}=-3$$ Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\). Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem: $$2a\neq-2 \\ a\neq-1$$ To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).
Odpowiedź
C. $ a=1 $ i $b=-3 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 19 (0 - 1)

Do pewnej liczby \(a\) dodano \(54\). Otrzymaną sumę podzielono przez \(2\). W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby \(a\). Zatem

A. $ a=27 $
B. $ a=18 $
C. $ a=24 $
D. $ a=36 $
Rozwiązanie Treść zadania możemy przedstawić w formie następującego równania: $$(a+54):2=2a \\ a+54=4a \\ 3a=54 \\ a=18$$
Odpowiedź
B. $ a=18 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 20 (0 - 1)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa

A. $ 45^\circ $
B. $ 30^\circ $
C. $ 75^\circ $
D. $ 90^\circ $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Bardzo ważną informacją jest fakt, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Jeśli krawędzi podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to skoro są to wszystko trójkąty równoboczne to także krawędzie boczne możemy opisać jako \(a\). Dodatkowo przekątna kwadratu ma długość \(a\sqrt{2}\). Wyznaczenie miary kąta \(ASC\). W zasadzie możemy miarę tego kąta wyznaczyć na dwa sposoby: I sposób - z podobieństwa trójkątów. Możemy zauważyć, że trójkąt \(ASC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\). Mają one te same długości ramion , czyli \(a\) oraz podstawy czyli \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to wszystkie miary tych kątów będą także sobie równe. My wiemy, że \(|\sphericalangle ABC|=90°\), bo wszystkie kąty w kwadracie mają taką miarę. Stąd też także \(|\sphericalangle ASC|=90°\). II sposób - z Twierdzenia Pitagorasa. Ogólnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy korzystać tylko przy obliczeniach na trójkątach prostokątnych. My nie wiemy czy nasz trójkąt jest prostokątny, ale jeśli pod \(a^2+b^2=c^2\) podstawimy nasze dane i równość okaże się prawdziwa, to będzie to oznaczało, że trójkąt jest prostokątny, a tym samym \(\sphericalangle ASC=90°\). Zatem: $$a^2+a^2=(a\sqrt{2})^2 \\ 2a^2=2a^2 \\ L=P$$ Jest to więc trójkąt prostokątny, czyli poszukiwana miara kąta to \(90°\).
Odpowiedź
D. $ 90^\circ $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 21 (0 - 1)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

A. $ 0\le p\le 0{,}25 $
B. $ 0{,}25\le p\le 0{,}4 $
C. $ 0{,}4\le p\le 0{,}5 $
D. $ p\gt 0{,}5 $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Rzucamy trzykrotnie monetą. W każdym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orła lub reszki. W związku z tym z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. W naszym przypadku zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wypadł nam tylko i wyłącznie jeden orzeł. Takich kombinacji mamy dokładnie trzy: $$(ORR), (ROR), (RRO)$$ Zatem \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$ Wyznaczone prawdopodobieństwo mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi, czyli \(0,25\le p\le0,4\).
Odpowiedź
B. $ 0{,}25\le p\le 0{,}4 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 22 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x−1,\ 3x,\ 5x+1\) i \(7x\) jest równa \(72\). Wynika stąd, że

A. $ x=9 $
B. $ x=10 $
C. $ x=17 $
D. $ x=18 $
Rozwiązanie Z treści zadania układamy następujące równanie: $$\frac{(x-1)+(3x)+(5x+1)+(7x)}{4}=72 \\ 16x=288 \\ x=18$$
Odpowiedź
D. $ x=18 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 23 (0 - 1)

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem

A. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
C. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
D. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
Rozwiązanie Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\). Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\). Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\). Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\). Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 24 (0 - 1)

Dane są dwie sumy algebraiczne \(3x^3-2x\) oraz \(-3x^2-2\). Iloczyn tych sum jest równy

A. $ -9x^5+4x $
B. $ -9x^6+6x^3-6x^2+4x $
C. $ -9x^5+6x^3-6x^2+4x $
D. $ -9x^6+4x $
Rozwiązanie Naszym zadaniem jest wymnożenie jednej sumy przez drugą, zatem: $$(3x^3-2x)\cdot(-3x^2-2)= \\ =-9x^5-6x^3+6x^3+4x=-9x^5+4x$$
Odpowiedź
A. $ -9x^5+4x $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 25 (0 - 1)

Punkty \(D\) i \(E\) są środkami przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\). Punkty \(F\) i \(G\) leżą na przeciwprostokątnej \(AB\) tak, że odcinki \(DF\) i \(EG\) są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(BGE\) jest równe \(1\), a pole trójkąta \(AFD\) jest równe \(4\). Zatem pole trójkąta \(ABC\) jest równe

A. $ 12 $
B. $ 16 $
C. $ 18 $
D. $ 20 $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Dorysowalismy sobie wysokość \(CH\) trójkąta \(ABC\). Podzieliła nam ona trójkąt na dwa mniejsze trójkąty - \(ACH\) oraz \(BCH\). Suma pól powierzchni tych trójkątów da nam poszukiwane pole trójkąta \(ABC\). Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ACH\). Skorzystamy tutaj ze skali podobieństwa trójkątów \(ACH\) oraz \(AFD\). Z treści zadania wynika, że \(k=\frac{|AC|}{|AD|}=2\). Z geometrii wiemy, że stosunek dwóch pól figur podobnych jest równy \(k^2\), czyli w naszym przypadku \(k^2=2^2=4\). Skoro pole trójkąta \(AFD\) jest równe \(4\), a pole \(ACH\) musi być czterokrotnie większe, to \(P_{ACH}=4\cdot4=16\). Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCH\). Analogicznie możemy przeanalizować parę trójkątów \(BCH\) oraz \(BGE\). Skoro \(k=\frac{|BH|}{|BG|}=2\), to ponownie pole trójkąta \(BCH\) będzie czterokrotnie większe od pola trójkąta \(BGE\). Pole trójkąta \(BCH\) jest więc równe \(P_{BCH}=4\cdot1=4\). Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\). $$P_{ABC}=P_{ACH}+P_{BCH} \\ P_{ABC}=16+4 \\ P_{ABC}=20$$
Odpowiedź
D. $ 20 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\ne -1\) i \(x\ne 0\).

Odpowiedź
\(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 27 (0 - 2)

Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

Odpowiedź
\(P=2\frac{2}{3}\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 28 (0 - 2)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^4+y^4+x^2+y^2\ge 2(x^3+y^3)\)


Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 29 (0 - 2)

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.


Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 30 (0 - 2)

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos \alpha =\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha =\sphericalangle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\)(zobacz rysunek). Oblicz pole a) trójkąta \(ADE\). b) czworokąta \(BCED\).

Odpowiedź
\(P_{ADE}=12\) oraz \(P_{BCED}=42\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 31 (0 - 5)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a\_5+a\_6+a\_7+…+a\_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

Odpowiedź
\(a_{1}=567\), \(r=-42\) oraz \(a_{14}=21\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 32 (0 - 4)

Dany jest stożek o objętości \(8\pi \), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Odpowiedź
\(P_{b}=2\sqrt{73}π\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 33 (0 - 1)

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?

A.
B.
C.
D.
Odpowiedź