Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy

Rozwiązanie

Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, stąd też całość możemy rozpisać jako: $$\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6}:a^{1,3}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}$$

Odpowiedź

A. $ a^{-3{,}9} $

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa

Rozwiązanie

Ten logarytm jest najprościej obliczyć zamieniając wartość \(2\sqrt{2}\) na iloczyn trzech pierwiastków \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\). Wtedy: $$\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})}^3=3$$

Odpowiedź

D. $ 3 $

Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że

Rozwiązanie

Z treści zadania wiemy, że: $$b=0,48a \\ b=0,32c$$ To pozwoli nam ułożyć proste równanie i tym samym znaleźć pasującą relację między liczbami \(c\) oraz \(a\) $$0,48a=0,32c \\ c=\frac{0,48}{0,32}a \\ c=1,5a$$

Odpowiedź

A. $ c=1{,}5a $

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

Rozwiązanie

Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo: $$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2} \\ 8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2} \\ 17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2} \\ L=P$$ Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy: $$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9 \\ (2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2 \\ a=3$$

Odpowiedź

A. $ a=3 $

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x\lt -2\), jest

Rozwiązanie

Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy: A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\) B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\) C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\) D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\) Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\).

Odpowiedź

C. $ 2 $

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że

Rozwiązanie

Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań: \begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases} Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\). Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\): $$2\cdot(-1)-3y=4 \\ -2-3y=4 \\ -3y=6 \\ y=-2$$ To oznacza, że \(P=(-1,-2)\).

Odpowiedź

C. $ P=(-1,-2) $

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa

Rozwiązanie

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

I sposób

Kąt \(ADC\) jest kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\), czyli \(\sphericalangle ADC=118°:2=59°\). Poszukiwana przez nas miara kąta \(BDC\) jest różnicą między kątem \(ADC\) oraz \(ADB\), zatem: $$|\sphericalangle ADC|=|\sphericalangle ADC|-|\sphericalangle ADC|=59°-27°=32°$$

II sposób

Na oko poszukiwany kąt ma miarę zbliżoną do kąta \(27°\) :)

Odpowiedź

D. $ 32^\circ $

Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Rozwiązanie

Miejsce zerowe funkcji to argument (x) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero $f(x)=0$.

Obliczamy miejsce zerowe $$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\ x+8=0 \\ x=-8$$

Odpowiedź

D. $ -8 $

Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \)

Rozwiązanie

$$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5) \\ 3x-1=3\cdot(x+5) \\ 3x-1=3x+15 \\ -1=15$$ Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Rozwiązanie

Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty,9\rangle\).

Odpowiedź

D. $ (-\infty,9\rangle $

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1,2 \rangle \) jest równa

Rozwiązanie

Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(5\) dla \(x=-1\).

Odpowiedź

B. $ 5 $

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić \(x=-\sqrt[3]{3}\), zatem: $$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10} \\ f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$

Odpowiedź

B. $ -\frac{3}{5} $

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31^\circ \) (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość \(10\). Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

Rozwiązanie

Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa. Relacje między poszczególnymi odcinkami i kątami możemy zapisać jako: $$sin31°=\frac{|KS|}{|AS|} \\ 0,52\approx\frac{|KS|}{10} \\ |KS|\approx5,2$$ Jedynym przedziałem, w którym mieści się nasz wynik jest ten z pierwszej odpowiedzi, którego dolną granicą jest \(\frac{9}{2}=4,5\), a górną \(\frac{11}{2}=5,5\).

Odpowiedź

A. $ \left\langle \frac{9}{2},\frac{11}{2} \right\rangle $

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Rozwiązanie

Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wartość czternastego wyrazu oraz różnicę ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ a_{14}=a_{1}+(14-1)r \\ 8=a_{1}+13\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ 8=a_{1}-\frac{39}{2} \\ a_{1}=\frac{55}{2}$$ Obliczenie wartości siódmego wyrazu. Korzystając z tego samego wzoru co przed chwilą obliczymy wartość siódmego wyrazu: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ a_{7}=a_{1}+(7-1)r \\ a_{7}=\frac{55}{2}+6\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ a_{7}=\frac{55}{2}-\frac{18}{2} \\ a_{7}=\frac{37}{2}$$

Odpowiedź

A. $ \frac{37}{2} $

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Rozwiązanie

Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego: $${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\ {a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\ {a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\ (2x+3)^2=x\cdot(4x+3) \\ 4x^2+12x+9=4x^2+3x \\ 9x+9=0 \\ 9x=-9 \\ x=-1$$ Skoro nasz pierwszy wyraz jest równy \(x\) to znaczy że jego wartość wynosi dokładnie \(-1\).

Odpowiedź

D. $ -1 $

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

Rozwiązanie

Aby zrozumieć istotę zadania musimy sobie powiedzieć skąd wiemy, że te dwa trójkąty są podobne. Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bo: $$|\sphericalangle ACB|=180°-70°-48°=62° \\ \text{oraz} \\ |\sphericalangle PQR|=180°-70°-62°=48°$$ Skoro trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne, to znaczy że stosunki długości poszczególnych boków (leżących przy tych samych kątach) będą jednakowe. Zatem: $$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|PQ|}{|QR|} \\ \frac{x}{9}=\frac{17}{18}$$ Takie równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż: $$18x=17\cdot9 \\ 18x=153 \\ x=8,5$$

Odpowiedź

B. $ 8{,}5 $

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy

Rozwiązanie

Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa. Z trygonometrii wiemy, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3} \\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{3}$$ Mnożąc to na krzyż otrzymamy: $$3\sin\alpha=2\cos\alpha$$ Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem: $$3\sin\alpha=2\cos\alpha \\ \cos\alpha=\frac{3}{2}\sin\alpha$$ Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ sin^2\alpha+\left(\frac{3}{2}\sin\alpha\right)^2=1 \\ sin^2\alpha+\frac{9}{4}sin^2\alpha=1 \\ \frac{13}{4}sin^2\alpha=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13} \\ sin^2\alpha=\frac{4}{13} \\ \sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$ (Z racji tego iż kąt \(\alpha\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2\alpha=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).

Odpowiedź

C. $ \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} $

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

Rozwiązanie

I sposób - metoda podstawiania kolejnych odpowiedzi. Zadanie jest dość podchwytliwe. Jeśli będziemy sobie podstawiać pod \(a\) kolejne odpowiedzi, to dość przypadkowo możemy wybrać złą odpowiedź jaką jest \(a=6\). Spójrzmy co się stanie jak podstawimy \(a=6\). I bok: \(5\) II bok: \(2\cdot6+1=13\) III bok: \(6-1=5\) Otrzymaliśmy dwa boki równej długości, co sugerować by mogło, że jest to prawidłowa odpowiedź. Niestety nie jest, bo z boków długości \(5\), \(5\), \(13\) nie da się w ogóle zbudować trójkąta. Aby trójkąt mógł powstać, to suma długości dwóch krótszych boków muszą być większa niż długość najdłuższego boku. W tym przypadku tak nie jest, bo \(10\lt13\). Jedynie podstawiając \(a=2\) otrzymamy prawidłowy komplet boków: I bok: \(5\) II bok: \(2\cdot2+1=5\) III bok: \(2-1=1\) Suma długości najkrótszych boków to \(1+5=6\), a skoro \(6\gt5\) to taki trójkąt istnieje. II sposób - metoda tworzenia równań. Jak do tego zadania podejść w sposób bardziej matematyczny, albo jak to obliczyć gdyby takie zadanie pojawiło się jako otwarte? Skoro jest to trójkąt równoramienny to znaczy że ma dwa ramiona równej długości. Moglibyśmy więc między wyrażeniami opisującymi długości tych ramion postawić znak równości i tym samym obliczyć wartość \(a\). Problem w tym, że nie wiemy które te długości miałyby być sobie równe, więc musimy rozpatrzyć aż trzy możliwości. Pierwsza możliwość: \(5=2a+1 \Rightarrow a=2\) Druga możliwość: \(5=a-1 \Rightarrow a=6\) Trzecia możliwość: \(2a+1=a-1 \Rightarrow a=-2\) Teraz musielibyśmy podstawiać wyznaczone wartości \(a\) tak jak robiliśmy to sobie w pierwszym kroku i tak samo musielibyśmy przeanalizować czy otrzymane długości tworzą w ogóle jakikolwiek trójkąt. My już wiemy, że jedynym pasującym wariantem jest \(a=2\).

Odpowiedź

D. $ a=2 $

Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe

Rozwiązanie

Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\). Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\): $$a^2+b^2=c^2 \\ |PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\ 4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\ 16+|PO_{1}|^2=49 \\ |PO_{1}|^2=33 \\ |PO_{1}|=\sqrt{33}$$ Obliczenie pola powierzchni. Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe: $$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\ P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\ P=2\sqrt{33}$$

Odpowiedź

B. $ 2\sqrt{33} $

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

Rozwiązanie

Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem: $$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\ 2m=-m+1 \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$

Odpowiedź

C. $ m=\frac{1}{3} $

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że

Rozwiązanie

Skorzystamy tutaj ze wzoru na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka: $$M=(x_{M},y_{M})=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie z tego wzoru wartości \(x_{A}\) (bo jest ona opisana niewiadomą \(a\)) oraz wartości \(y_{B}\) (która jest opisana niewiadomą \(b\)). Obliczenie wartości niewiadomej \(a\). $$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\ 3=\frac{a+7}{2} \\ 6=a+7 \\ a=-1$$ Obliczenie wartości niewiadomej \(b\). $$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\ 4=\frac{6+b}{2} \\ 8=6+b \\ b=2$$

Odpowiedź

B. $ a=-1 $ i $b=2$

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

Rozwiązanie

Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Będziemy rzucać monetą trzykrotnie. W pierwszym rzucie może nam wypaść jedna z dwóch możliwości - orzeł lub reszka. W drugim rzucie ponownie mamy dwie możliwości, w trzecim to samo. To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych będzie: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Szukamy przypadków, kiedy wypadną nam dokładnie dwa orły (czyli nie mogą to być trzy orły). Zatem pasującymi zdarzeniami są: $$OOR, ORO, ROO$$ Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$ To oznacza, że pasującym przedziałem jest ten zapisany w trzeciej odpowiedzi.

Odpowiedź

C. $ 0{,}35\lt p\le 0{,}5 $

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa

Rozwiązanie

Sporządzenie rysunku poglądowego. Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), to znaczy że powstanie nam mniej więcej coś takiego: Udało nam się wyodrębnić trójkąt prostokątny, tak więc znając miary poszczególnych kątów oraz znając miarę tworzącej stożka jesteśmy w stanie obliczyć wysokość i promień stożka przy użyciu funkcji trygonometrycznych. Możemy także skorzystać z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Obliczenie długości promienia stożka. Zgodnie z zasadami trygonometrii: $$\frac{r}{4}=cos30° \\ \frac{r}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ r=2\sqrt{3}$$ Obliczenie wysokości stożka. Ponownie użyjemy funkcji trygonometrycznych, tym razem sinusa: $$\frac{h}{4}=sin30° \\ \frac{h}{4}=\frac{1}{2} \\ h=2$$ Obliczenie objętości bryły. Znając długość promienia podstawy oraz wysokość stożka możemy bez przeszkód obliczyć jego objętość: $$V=\frac{1}{3}πr^2h \\ V=\frac{1}{3}π\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot2 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot4\cdot3\cdot2 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot24 \\ V=8π$$

Odpowiedź

D. $ 8\pi $

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze

Rozwiązanie

Jeżeli wysokość graniastosłupa oznaczymy sobie literą \(h\), to z treści zadania wynika, że długość przekątnej podstawy graniastosłupa (podstawy! nie bryły jako takiej) jest równa \(2h\). Dodatkowo wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (a wiemy to stąd, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że jego przekątne przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a co za tym idzie - odcinek \(BC\) ma długość \(h\) (patrz rysunek). Wygląda to mniej więcej tak: Z naszej analizy wynika, że powstał nam trójkąt \(ABC\), który jest prostokątny i równoramienny, a to z kolei oznacza że jest to trójkąt o kątach których miara wynosi \(45°, 45°, 90°\). Poszukiwany przez nas kąt \(\alpha\) ma więc \(45°\).

Odpowiedź

B. $ 45^\circ $

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

Rozwiązanie

Ułożenie poprawnego równania i wyznaczenie wartości \(x\). Zgodnie z treścią zadania prawdziwa jest następująca równość: $$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2} \\ \frac{128+x}{6}=\frac{x}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\ 128+x=3x \\ 2x=128 \\ x=64$$ Obliczenie mediany. Aby obliczyć naszą medianę musimy przede wszystkim ustawić nasze liczby w ciągu niemalejącym, bo tylko w ten sposób jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie: $$16,25,27,29,31,64$$ Z racji tego, że mamy parzystą liczbę wyrazów, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów: $$m=\frac{27+29}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Odpowiedź

C. $ 28 $

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	1	2	3	4	5	6
przyrost (w cm)	10	10	7	8	8	7

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Odpowiedź

Średni roczny przyrost wyniósł w zaokrągleniu \(8cm\). Błąd względny przybliżenia wyniósł \(4\%\).

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt 3x^2-6x\).

Odpowiedź

\(x\in(0,2)\)

Rozwiąż równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Odpowiedź

\(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90^\circ \) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

Odpowiedź

Udowodniono na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\ge 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log \frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\) cm.

Odpowiedź

\(A=10^{2,2}cm\). Amplituda jest większa niż \(100cm\).

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50^\circ \). Oblicz kąty tego trójkąta.

Odpowiedź

\(26°, 76°, 78°\)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Odpowiedź

\(P_{b}=9\sqrt{30}\) oraz \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\). Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Odpowiedź

\(P(A)=\frac{1}{801}\)