Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2016 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy

A. $ a^{-3{,}9} $
B. $ a^{-2} $
C. $ a^{-1{,}3} $
D. $ a^{1{,}3} $
Rozwiązanie Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, stąd też całość możemy rozpisać jako: $$\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6}:a^{1,3}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}$$
Odpowiedź
A. $ a^{-3{,}9} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa

A. $ \frac{3}{2} $
B. $ 2 $
C. $ \frac{5}{2} $
D. $ 3 $
Rozwiązanie Ten logarytm jest najprościej obliczyć zamieniając wartość \(2\sqrt{2}\) na iloczyn trzech pierwiastków \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\). Wtedy: $$\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})}^3=3$$
Odpowiedź
D. $ 3 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że

A. $ c=1{,}5a $
B. $ c=1{,}6a $
C. $ c=0{,}8a $
D. $ c=0{,}16a $
Rozwiązanie Z treści zadania wiemy, że: $$b=0,48a \\ b=0,32c$$ To pozwoli nam ułożyć proste równanie i tym samym znaleźć pasującą relację między liczbami \(c\) oraz \(a\) $$0,48a=0,32c \\ c=\frac{0,48}{0,32}a \\ c=1,5a$$
Odpowiedź
A. $ c=1{,}5a $

Matura 2016 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

A. $ a=3 $
B. $ a=1 $
C. $ a=-2 $
D. $ a=-3 $
Rozwiązanie Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo: $$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2} \\ 8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2} \\ 17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2} \\ L=P$$ Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy: $$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9 \\ (2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2 \\ a=3$$
Odpowiedź
A. $ a=3 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x\lt -2\), jest

A. $ 1 $
B. $ -1 $
C. $ 2 $
D. $ -2 $
Rozwiązanie Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy: A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\) B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\) C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\) D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\) Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\).
Odpowiedź
C. $ 2 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że

A. $ P=(1,2) $
B. $ P=(-1,2) $
C. $ P=(-1,-2) $
D. $ P=(1,-2) $
Rozwiązanie Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań: \begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases} Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\). Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\): $$2\cdot(-1)-3y=4 \\ -2-3y=4 \\ -3y=6 \\ y=-2$$ To oznacza, że \(P=(-1,-2)\).
Odpowiedź
C. $ P=(-1,-2) $

Matura 2016 Maj. Zadanie 7 (0 - 1)

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa

A. $ 91^\circ $
B. $ 72{,}5^\circ $
C. $ 18^\circ $
D. $ 32^\circ $
Rozwiązanie

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

I sposób

Kąt \(ADC\) jest kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\), czyli \(\sphericalangle ADC=118°:2=59°\). Poszukiwana przez nas miara kąta \(BDC\) jest różnicą między kątem \(ADC\) oraz \(ADB\), zatem: $$|\sphericalangle ADC|=|\sphericalangle ADC|-|\sphericalangle ADC|=59°-27°=32°$$

II sposób

Na oko poszukiwany kąt ma miarę zbliżoną do kąta \(27°\) :)
Odpowiedź
D. $ 32^\circ $

Matura 2016 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

A. $ 8 $
B. $ 6 $
C. $ -6 $
D. $ -8 $
Rozwiązanie

Miejsce zerowe funkcji to argument (x) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero $f(x)=0$.

Obliczamy miejsce zerowe $$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\ x+8=0 \\ x=-8$$
Odpowiedź
D. $ -8 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
Rozwiązanie $$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5) \\ 3x-1=3\cdot(x+5) \\ 3x-1=3x+15 \\ -1=15$$ Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Odpowiedź
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Matura 2016 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. $ (-\infty,-2\rangle $
B. $ \langle -2,4 \rangle $
C. $ \langle 4,+\infty ) $
D. $ (-\infty,9\rangle $
Rozwiązanie Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty,9\rangle\).
Odpowiedź
D. $ (-\infty,9\rangle $

Matura 2016 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1,2 \rangle \) jest równa

A. $ 2 $
B. $ 5 $
C. $ 8 $
D. $ 9 $
Rozwiązanie Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(5\) dla \(x=-1\).
Odpowiedź
B. $ 5 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa

A. $ -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} $
B. $ -\frac{3}{5} $
C. $ \frac{3}{5} $
D. $ \frac{\sqrt[3]{3}}{2} $
Rozwiązanie Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić \(x=-\sqrt[3]{3}\), zatem: $$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10} \\ f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$
Odpowiedź
B. $ -\frac{3}{5} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31^\circ \) (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość \(10\). Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. $ \left\langle \frac{9}{2},\frac{11}{2} \right\rangle $
B. $ \left ( \frac{11}{2},\frac{13}{2} \right\rangle $
C. $ \left ( \frac{13}{2},\frac{19}{2} \right\rangle $
D. $ \left ( \frac{19}{2},\frac{37}{2} \right\rangle $
Rozwiązanie Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa. Relacje między poszczególnymi odcinkami i kątami możemy zapisać jako: $$sin31°=\frac{|KS|}{|AS|} \\ 0,52\approx\frac{|KS|}{10} \\ |KS|\approx5,2$$ Jedynym przedziałem, w którym mieści się nasz wynik jest ten z pierwszej odpowiedzi, którego dolną granicą jest \(\frac{9}{2}=4,5\), a górną \(\frac{11}{2}=5,5\).
Odpowiedź
A. $ \left\langle \frac{9}{2},\frac{11}{2} \right\rangle $

Matura 2016 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

A. $ \frac{37}{2} $
B. $ -\frac{37}{2} $
C. $ -\frac{5}{2} $
D. $ \frac{5}{2} $
Rozwiązanie Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wartość czternastego wyrazu oraz różnicę ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ a_{14}=a_{1}+(14-1)r \\ 8=a_{1}+13\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ 8=a_{1}-\frac{39}{2} \\ a_{1}=\frac{55}{2}$$ Obliczenie wartości siódmego wyrazu. Korzystając z tego samego wzoru co przed chwilą obliczymy wartość siódmego wyrazu: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ a_{7}=a_{1}+(7-1)r \\ a_{7}=\frac{55}{2}+6\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ a_{7}=\frac{55}{2}-\frac{18}{2} \\ a_{7}=\frac{37}{2}$$
Odpowiedź
A. $ \frac{37}{2} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 15 (0 - 1)

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $ -4 $
B. $ 1 $
C. $ 0 $
D. $ -1 $
Rozwiązanie Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego: $${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\ {a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\ {a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\ (2x+3)^2=x\cdot(4x+3) \\ 4x^2+12x+9=4x^2+3x \\ 9x+9=0 \\ 9x=-9 \\ x=-1$$ Skoro nasz pierwszy wyraz jest równy \(x\) to znaczy że jego wartość wynosi dokładnie \(-1\).
Odpowiedź
D. $ -1 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 16 (0 - 1)

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

A. $ 8 $
B. $ 8{,}5 $
C. $ 9{,}5 $
D. $ 10 $
Rozwiązanie Aby zrozumieć istotę zadania musimy sobie powiedzieć skąd wiemy, że te dwa trójkąty są podobne. Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bo: $$|\sphericalangle ACB|=180°-70°-48°=62° \\ \text{oraz} \\ |\sphericalangle PQR|=180°-70°-62°=48°$$ Skoro trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne, to znaczy że stosunki długości poszczególnych boków (leżących przy tych samych kątach) będą jednakowe. Zatem: $$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|PQ|}{|QR|} \\ \frac{x}{9}=\frac{17}{18}$$ Takie równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż: $$18x=17\cdot9 \\ 18x=153 \\ x=8,5$$
Odpowiedź
B. $ 8{,}5 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 17 (0 - 1)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy

A. $ \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26} $
B. $ \sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13} $
C. $ \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} $
D. $ \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13} $
Rozwiązanie Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa. Z trygonometrii wiemy, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3} \\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{3}$$ Mnożąc to na krzyż otrzymamy: $$3\sin\alpha=2\cos\alpha$$ Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem: $$3\sin\alpha=2\cos\alpha \\ \cos\alpha=\frac{3}{2}\sin\alpha$$ Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ sin^2\alpha+\left(\frac{3}{2}\sin\alpha\right)^2=1 \\ sin^2\alpha+\frac{9}{4}sin^2\alpha=1 \\ \frac{13}{4}sin^2\alpha=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13} \\ sin^2\alpha=\frac{4}{13} \\ \sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$ (Z racji tego iż kąt \(\alpha\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2\alpha=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).
Odpowiedź
C. $ \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. $ a=6 $
B. $ a=4 $
C. $ a=3 $
D. $ a=2 $
Rozwiązanie I sposób - metoda podstawiania kolejnych odpowiedzi. Zadanie jest dość podchwytliwe. Jeśli będziemy sobie podstawiać pod \(a\) kolejne odpowiedzi, to dość przypadkowo możemy wybrać złą odpowiedź jaką jest \(a=6\). Spójrzmy co się stanie jak podstawimy \(a=6\). I bok: \(5\) II bok: \(2\cdot6+1=13\) III bok: \(6-1=5\) Otrzymaliśmy dwa boki równej długości, co sugerować by mogło, że jest to prawidłowa odpowiedź. Niestety nie jest, bo z boków długości \(5\), \(5\), \(13\) nie da się w ogóle zbudować trójkąta. Aby trójkąt mógł powstać, to suma długości dwóch krótszych boków muszą być większa niż długość najdłuższego boku. W tym przypadku tak nie jest, bo \(10\lt13\). Jedynie podstawiając \(a=2\) otrzymamy prawidłowy komplet boków: I bok: \(5\) II bok: \(2\cdot2+1=5\) III bok: \(2-1=1\) Suma długości najkrótszych boków to \(1+5=6\), a skoro \(6\gt5\) to taki trójkąt istnieje. II sposób - metoda tworzenia równań. Jak do tego zadania podejść w sposób bardziej matematyczny, albo jak to obliczyć gdyby takie zadanie pojawiło się jako otwarte? Skoro jest to trójkąt równoramienny to znaczy że ma dwa ramiona równej długości. Moglibyśmy więc między wyrażeniami opisującymi długości tych ramion postawić znak równości i tym samym obliczyć wartość \(a\). Problem w tym, że nie wiemy które te długości miałyby być sobie równe, więc musimy rozpatrzyć aż trzy możliwości. Pierwsza możliwość: \(5=2a+1 \Rightarrow a=2\) Druga możliwość: \(5=a-1 \Rightarrow a=6\) Trzecia możliwość: \(2a+1=a-1 \Rightarrow a=-2\) Teraz musielibyśmy podstawiać wyznaczone wartości \(a\) tak jak robiliśmy to sobie w pierwszym kroku i tak samo musielibyśmy przeanalizować czy otrzymane długości tworzą w ogóle jakikolwiek trójkąt. My już wiemy, że jedynym pasującym wariantem jest \(a=2\).
Odpowiedź
D. $ a=2 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe

A. $ 14 $
B. $ 2\sqrt{33} $
C. $ 4\sqrt{33} $
D. $ 12 $
Rozwiązanie Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\). Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\): $$a^2+b^2=c^2 \\ |PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\ 4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\ 16+|PO_{1}|^2=49 \\ |PO_{1}|^2=33 \\ |PO_{1}|=\sqrt{33}$$ Obliczenie pola powierzchni. Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe: $$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\ P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\ P=2\sqrt{33}$$
Odpowiedź
B. $ 2\sqrt{33} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

A. $ m=2 $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=\frac{1}{3} $
D. $ m=-2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem: $$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\ 2m=-m+1 \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
C. $ m=\frac{1}{3} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 21 (0 - 1)

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że

A. $ a=5 $ i $b=5$
B. $ a=-1 $ i $b=2$
C. $ a=4 $ i $b=10$
D. $ a=-4 $ i $b=-2$
Rozwiązanie Skorzystamy tutaj ze wzoru na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka: $$M=(x_{M},y_{M})=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie z tego wzoru wartości \(x_{A}\) (bo jest ona opisana niewiadomą \(a\)) oraz wartości \(y_{B}\) (która jest opisana niewiadomą \(b\)). Obliczenie wartości niewiadomej \(a\). $$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\ 3=\frac{a+7}{2} \\ 6=a+7 \\ a=-1$$ Obliczenie wartości niewiadomej \(b\). $$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\ 4=\frac{6+b}{2} \\ 8=6+b \\ b=2$$
Odpowiedź
B. $ a=-1 $ i $b=2$

Matura 2016 Maj. Zadanie 22 (0 - 1)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

A. $ 0\le p\le 0{,}2 $
B. $ 0{,}2\le p\le 0{,}35 $
C. $ 0{,}35\lt p\le 0{,}5 $
D. $ 0{,}5\lt p\le 1 $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Będziemy rzucać monetą trzykrotnie. W pierwszym rzucie może nam wypaść jedna z dwóch możliwości - orzeł lub reszka. W drugim rzucie ponownie mamy dwie możliwości, w trzecim to samo. To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych będzie: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Szukamy przypadków, kiedy wypadną nam dokładnie dwa orły (czyli nie mogą to być trzy orły). Zatem pasującymi zdarzeniami są: $$OOR, ORO, ROO$$ Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$ To oznacza, że pasującym przedziałem jest ten zapisany w trzeciej odpowiedzi.
Odpowiedź
C. $ 0{,}35\lt p\le 0{,}5 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 23 (0 - 1)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa

A. $ 36\pi $
B. $ 18\pi $
C. $ 24\pi $
D. $ 8\pi $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), to znaczy że powstanie nam mniej więcej coś takiego: Udało nam się wyodrębnić trójkąt prostokątny, tak więc znając miary poszczególnych kątów oraz znając miarę tworzącej stożka jesteśmy w stanie obliczyć wysokość i promień stożka przy użyciu funkcji trygonometrycznych. Możemy także skorzystać z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Obliczenie długości promienia stożka. Zgodnie z zasadami trygonometrii: $$\frac{r}{4}=cos30° \\ \frac{r}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ r=2\sqrt{3}$$ Obliczenie wysokości stożka. Ponownie użyjemy funkcji trygonometrycznych, tym razem sinusa: $$\frac{h}{4}=sin30° \\ \frac{h}{4}=\frac{1}{2} \\ h=2$$ Obliczenie objętości bryły. Znając długość promienia podstawy oraz wysokość stożka możemy bez przeszkód obliczyć jego objętość: $$V=\frac{1}{3}πr^2h \\ V=\frac{1}{3}π\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot2 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot4\cdot3\cdot2 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot24 \\ V=8π$$
Odpowiedź
D. $ 8\pi $

Matura 2016 Maj. Zadanie 24 (0 - 1)

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze

A. $ 30^\circ $
B. $ 45^\circ $
C. $ 60^\circ $
D. $ 75^\circ $
Rozwiązanie Jeżeli wysokość graniastosłupa oznaczymy sobie literą \(h\), to z treści zadania wynika, że długość przekątnej podstawy graniastosłupa (podstawy! nie bryły jako takiej) jest równa \(2h\). Dodatkowo wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (a wiemy to stąd, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że jego przekątne przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a co za tym idzie - odcinek \(BC\) ma długość \(h\) (patrz rysunek). Wygląda to mniej więcej tak: Z naszej analizy wynika, że powstał nam trójkąt \(ABC\), który jest prostokątny i równoramienny, a to z kolei oznacza że jest to trójkąt o kątach których miara wynosi \(45°, 45°, 90°\). Poszukiwany przez nas kąt \(\alpha\) ma więc \(45°\).
Odpowiedź
B. $ 45^\circ $

Matura 2016 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

A. $ 26 $
B. $ 27 $
C. $ 28 $
D. $ 29 $
Rozwiązanie Ułożenie poprawnego równania i wyznaczenie wartości \(x\). Zgodnie z treścią zadania prawdziwa jest następująca równość: $$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2} \\ \frac{128+x}{6}=\frac{x}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\ 128+x=3x \\ 2x=128 \\ x=64$$ Obliczenie mediany. Aby obliczyć naszą medianę musimy przede wszystkim ustawić nasze liczby w ciągu niemalejącym, bo tylko w ten sposób jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie: $$16,25,27,29,31,64$$ Z racji tego, że mamy parzystą liczbę wyrazów, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów: $$m=\frac{27+29}{2}=\frac{56}{2}=28$$
Odpowiedź
C. $ 28 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata123456
przyrost (w cm)10107887
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Odpowiedź
Średni roczny przyrost wyniósł w zaokrągleniu \(8cm\). Błąd względny przybliżenia wyniósł \(4\%\).

Matura 2016 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt 3x^2-6x\).

Odpowiedź
\(x\in(0,2)\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 28 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Odpowiedź
\(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 29 (0 - 2)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90^\circ \) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

Odpowiedź
Udowodniono na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.

Matura 2016 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\ge 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź
Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Matura 2016 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log \frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\) cm.

Odpowiedź
\(A=10^{2,2}cm\). Amplituda jest większa niż \(100cm\).

Matura 2016 Maj. Zadanie 32 (0 - 4)

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50^\circ \). Oblicz kąty tego trójkąta.

Odpowiedź
\(26°, 76°, 78°\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 33 (0 - 5)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Odpowiedź
\(P_{b}=9\sqrt{30}\) oraz \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 34 (0 - 4)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\). Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{801}\)