Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa \(195\). Najmniejszą z tych liczb jest

A. $ 37 $
B. $ 38 $
C. $ 39 $
D. $ 40 $
Rozwiązanie Jeśli najmniejszą z tych liczb oznaczymy jako \(n\), to: $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=195 \\ 5n+10=195 \\ 5n=185 \\ n=37$$
Odpowiedź
A. $ 37 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 2 (0 - 1)

Buty, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów?

A. $ 80 $
B. $ 20 $
C. $ 22 $
D. $ 44 $
Rozwiązanie Obliczenie wysokości obniżki. $$220zł-176zł=44zł$$ Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów. Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli: $$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$
Odpowiedź
B. $ 20 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa

A. $ 4^4 $
B. $ 20^{16} $
C. $ 20^5 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy liczbę \(20\) rozbić na iloczyn \(4\cdot5\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Całość krok po kroku będzie wyglądać następująco: $$\require{cancel}\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{(4\cdot5)^4}=\frac{4^5\cdot\cancel{5^4}}{4^4\cdot\cancel{5^4}}=\frac{4^5}{4^4}= \\ =4^5:4^4=4^{5-4}=4^1=4$$
Odpowiedź
D. $ 4 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba \(\frac{\log_3 729}{\log_6 36}\) jest równa

A. $ \log_6693 $
B. $ 3 $
C. $ \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Zawarte w tym zadaniu logarytmy najprościej jest obliczyć zamieniając odpowiednio \(729\) oraz \(36\) na potęgi liczb naturalnych, które znalazły się w podstawie logarytmu: $$729=3^6 \\ 36=6^2$$ To oznacza, że całość logarytmu możemy rozwiązać w następujący sposób: $$\frac{\log_{3}729}{\log_{6}36}=\frac{\log_{3}3^6}{\log_{6}6^2}=\frac{6}{2}=3$$
Odpowiedź
B. $ 3 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\) jest

A. $ -14 $
B. $ -13 $
C. $ 13 $
D. $ 14 $
Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności. Na początku musimy rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, a więc: $$\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt0 \quad\bigg/-\sqrt{7} \\ \frac{x}{5}=-\sqrt{7} \quad\bigg/\cdot5 \\ x=-5\sqrt{7}$$ Zaokrąglenie wyniku i wskazanie poprawnej odpowiedzi. Na kalkulatorze możemy obliczyć, że \(-5\sqrt{7}\approx-13,23\). Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest większa od \(-13,23\). Taką liczbą jest oczywiście \(-13\), tak więc prawidłowa była druga odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ -13 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

A. $ \langle 5,+\infty ) $
B. $ (-\infty ,5\rangle $
C. $ (-\infty ,-5\rangle $
D. $ \langle -5,+\infty ) $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera. $$(x-1)(x-9)=0 \\ x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\ x=1 \quad\lor\quad x=9$$ Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli. Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem: $$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$ Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja \(f\) jest rosnąca: Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy. Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną \(x_{W}\)) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc \(\langle5,+\infty)\).
Odpowiedź
A. $ \langle 5,+\infty ) $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\). Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem

A. $ g(x)=2x+2 $
B. $ g(x)=2x-2 $
C. $ g(x)=-2x+2 $
D. $ g(x)=-2x-2 $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0,2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\). Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).
Odpowiedź
A. $ g(x)=2x+2 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(8\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-216)\). Iloraz tego ciągu jest równy

A. $ -\frac{224}{3} $
B. $ -3 $
C. $ -9 $
D. $ -27 $
Rozwiązanie Iloraz \(q\) wyznaczymy sobie z następującego wzoru: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ Znamy czwarty wyraz ciągu, znamy też pierwszy, więc wystarczy podstawić te wszystkie dane do powyższego wzoru: $$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\ -216=8\cdot q^3 \\ q^3=-27 \\ q=-3$$
Odpowiedź
B. $ -3 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(\sin \alpha -\cos \alpha \) jest równa

A. $ \frac{1}{5} $
B. $ \frac{3}{5} $
C. $ \frac{17}{25} $
D. $ \frac{1}{25} $
Rozwiązanie Obliczenie wartości cosinusa. W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ \left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\ \frac{16}{25}+cos^2\alpha=1 \\ cos^2\alpha=\frac{9}{25} \\ \cos\alpha=\frac{3}{5} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\frac{3}{5}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Obliczenie wartości wyrażenia \(\sin\alpha-\cos\alpha\). Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia: $$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$
Odpowiedź
A. $ \frac{1}{5} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek

A. $ a\lt -1 $
B. $ -1\le a\lt 0 $
C. $ 0\le a\lt \frac{1}{3} $
D. $ a\gt \frac{1}{3} $
Rozwiązanie Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(\Delta\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych: Obliczenie delty. Współczynniki: \(a=1,\,b=2,\,c=3a\) $$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$ Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\). Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\): $$4-12a\lt0 \\ -12a\lt-4 \\ 12a\gt4 \\ a\gt\frac{1}{3}$$ (Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)
Odpowiedź
D. $ a\gt \frac{1}{3} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy

A. $ 3 $
B. $ 6 $
C. $ 7 $
D. $ 10 $
Rozwiązanie Podstawiając \(n=2\) do wzoru na sumę wyrazów obliczymy sumę dwóch pierwszych wyrazów, a podstawiając \(n=1\) otrzymamy tak naprawdę wartość pierwszego wyrazu. Różnica między tymi wynikami będzie więc odpowiadać wartości drugiego wyrazu tego ciągu. Zatem: $$a_{2}=S_{2}-S_{1} \\ a_{2}=2\cdot2^2+2-(2\cdot1^2+1) \\ a_{2}=2\cdot4+2-(2\cdot1+1) \\ a_{2}=10-3 \\ a_{2}=7$$
Odpowiedź
C. $ 7 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \)

A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania.
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązanie Rozwiązanie układu równań. \begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \quad\bigg/:(-2) \end{cases}\begin{cases} 2x-3y=5 \\ 2x-3y=5 \end{cases} Interpretacja otrzymanego wyniku. W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.
Odpowiedź
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Liczba \(\frac{|3-9|}{-3}\) jest równa

A. $ 2 $
B. $ -2 $
C. $ 0 $
D. $ -4 $
Rozwiązanie $$\frac{|3-9|}{-3}=\frac{6}{-3}=-2$$
Odpowiedź
B. $ -2 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1,2m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?

A. $ y=2x+5 $
B. $ y=2x+6 $
C. $ y=2x+7 $
D. $ y=2x+8 $
Rozwiązanie Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\). $$y=2x+b \\ 2m+5=2(m-1)+b \\ 2m+5=2m-2+b \\ b=7$$
Odpowiedź
C. $ y=2x+7 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 15 (0 - 1)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(6\). Promień podstawy stożka jest równy

A. $ 3 $
B. $ 6 $
C. $ 3\sqrt{3} $
D. $ 6\sqrt{3} $
Rozwiązanie Spróbujmy stworzyć rysunek poglądowy: Kiedy naniesiemy sobie wszystkie dane z treści zadania na szkic rysunku to okaże się, że tak naprawdę musimy obliczyć długość podstawy trójkąta prostokątnego. To oznacza, że będziemy mogli skorzystać z funkcji trygonometrycznych albo też z własności trójkątów \(30°,60°,90°\). Zatem: $$\frac{r}{6}=sin60° \\ \frac{r}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ r=3\sqrt{3}$$
Odpowiedź
C. $ 3\sqrt{3} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ \) jest równa

A. $ 2-\frac{3\sqrt{3}}{2} $
B. $ 2+\frac{\sqrt{3}}{2} $
C. $ 4-\frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} $
Rozwiązanie W tym zadaniu tak naprawdę musimy tylko odczytać z tablic poszczególne wartości i wykonać poprawnie działania na pierwiastkach i potęgach: $$(tg60°+tg45°)^2-sin60°= \\ =(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{2\cdot(3+2\sqrt{3}+1)}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{8+4\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =-\frac{8+3\sqrt{3}}{2}= \\ =4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Odpowiedź
D. $ 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 17 (0 - 1)

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy \(r\), a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa

A. $ 2\pi r^3 $
B. $ 4\pi r^3 $
C. $ \pi r^2(r+2) $
D. $ \pi r^2(r-2) $
Rozwiązanie Jeżeli promień podstawy jest równy \(r\) to wysokość walca możemy opisać jako \(2r\). Objętość tego walca jest więc równa: $$V=πr^2h \\ V=πr^2\cdot2r \\ V=2πr^3$$
Odpowiedź
A. $ 2\pi r^3 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 18 (0 - 1)

Przekątne równoległoboku mają długości \(4\) i \(8\), a kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(30^\circ \). Pole tego równoległoboku jest równe

A. $ 32 $
B. $ 16 $
C. $ 12 $
D. $ 8 $
Rozwiązanie W tym zadaniu wykorzystamy wzór, który możemy znaleźć w tablicach matematycznych, a mianowicie \(P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sinγ\), gdzie \(|AC|\) oraz \(|BD|\) to przekątne równoległoboku, a \(γ\) to kąt między tymi przekątnymi. I tu ważna uwaga - niektórzy omyłkowo biorą do obliczeń podobny i znacznie popularniejszy wzór (także znajdujący się w tablicach): \(P=a\cdot b\cdot \sin\alpha\). Z tego wzoru skorzystać nie możemy, bo w tym wzorze kąt \(\alpha\) to kąt między dwoma bokami równoległoboku, a my znamy kąt między przekątnymi! To główna pułapka w tym zadaniu. Oto wycinek z tablic matematycznych i zaznaczony wzór z którego musimy skorzystać: Przechodząc do obliczeń otrzymamy: $$P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\cdot sin30° \\ P=16\cdot\frac{1}{2} \\ P=8$$
Odpowiedź
D. $ 8 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 19 (0 - 1)

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\sphericalangle BEC|=100^\circ \). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ \) (zobacz rysunek). Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę

A. $ 15^\circ $
B. $ 20^\circ $
C. $ 25^\circ $
D. $ 30^\circ $
Rozwiązanie Obliczenie miary kąta \(CDA\) (i tym samym \(EDA\)). Kąt \(CDA\) jest kątem wpisanym, który jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\). Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że kąt wpisany będzie miał miarę dwa razy mniejszą od kąta środkowego, zatem: $$|\sphericalangle CDA|=110°:2=55°$$ Obliczenie miary kąta \(DEA\). Kąty \(BEC\) oraz \(DEA\) są kątami wierzchołkowymi. To oznacza, że mają równą miarę. $$|\sphericalangle DEA|=|\sphericalangle BEC|=100°$$ Obliczenie miary kąta \(BAD\). Kąt \(BAD\) wyliczymy z kątów w trójkącie \(DEA\). W kroku pierwszym i drugim wyliczyliśmy tak naprawdę miary dwóch z kątów tego trójkąta, a trzecim brakującym będzie właśnie poszukiwany przez nas kąt. Jego miara jest zatem równa: $$|\sphericalangle BAD|=180°-|\sphericalangle CDA|-|\sphericalangle DEA| \\ |\sphericalangle BAD|=180°-55°-100° \\ |\sphericalangle BAD|=25°$$
Odpowiedź
C. $ 25^\circ $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Okręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

A. $ 8 $
B. $ 6 $
C. $ 5 $
D. $ \frac{5}{2} $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Jeśli dość dokładnie narysujemy ten szkic to tak naprawdę już z samego rysunku będziemy w stanie odczytać długość promienia, zwłaszcza że punkt styczności wypadnie w równym punkcie \(A=(6,0)\). Skąd wiemy, że akurat w tym punkcie wypadnie punkt styczności? Skoro promienie mają być sobie równe, to punkt styczności będzie tak naprawdę środkiem odcinka \(S_{1}S_{2}\) (możemy go wyznaczyć albo matematycznie, albo nawet linijką jeśli inaczej nie potrafimy). To jest jednak taki alternatywny sposób (gdybyśmy nie umieli tego obliczyć nieco bardziej matematycznie). My natomiast spróbujmy policzyć to zadanie z wykorzystaniem wzoru na odległość między dwoma punktami. Obliczenie odległości między \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\). Zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami mamy: $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{(9-3)^2+(-4-4)^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{36+64} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{100} \\ |S_{1}S_{2}|=10$$ Obliczenie długości promienia. Z rysunku bardzo wyraźnie wynika, że odległość między środkami \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\) jest równa sumie długości promieni. W treści zadania mamy informację, że długości tych promieni są równe, więc oznaczając każdy z nich jako \(r\) otrzymamy: $$r+r=10 \\ 2r=10 \\ r=5$$
Odpowiedź
C. $ 5 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha \). Wtedy wartość \(\sin \frac{\alpha }{2}\) jest równa

A. $ \frac{2}{3} $
B. $ \frac{\sqrt{7}}{3} $
C. $ \frac{\sqrt{7}}{7} $
D. $ \frac{\sqrt{2}}{3} $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Pierwszą rzeczą którą musimy zauważyć, to że trójkąc \(ABC\) jest równoramienny. Jego ramiona mają długość \(3\), a podstawa jest równa \(|CB|=2\sqrt{2}\). Skąd wiemy, że to jest dokładnie taka długość podstawy? Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku \(2\). Jeżeli z miejsca przecięcia się tych przekątnych (punkt \(P\)) poprowadzimy prostą do wierzchołka \(A\) to otrzymamy tak naprawdę dwusieczną kąta \(\alpha\) (bo jest to wysokość trójkąta równoramiennego, a ta dzieli kąt na dwie równe części). Mamy więc już interesujący nas kąt \(\frac{\alpha}{2}\). Obliczenie sinusa kąta \(\frac{\alpha}{2}\). Obliczenia dokonujemy już tylko na trójkącie \(PCA\). Potrzebujemy wyznaczyć sinusa kąta \(CAP\), który ma miarę \(\frac{\alpha}{2}\). Znamy potrzebną nam długosć \(|CA|=3\), potrzebujemy jeszcze poznać długość odcinka \(|CP|\). Jest to połowa przekątnej kwadratu, tak więc: $$|CP|=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$ Możemy już teraz obliczyć pożądaną wartość sinusa: $$sin\frac{\alpha}{2}=\frac{|CP|}{|CA|} \\ sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$
Odpowiedź
D. $ \frac{\sqrt{2}}{3} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 22 (0 - 1)

Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa \(11\). Podstawą tego ostrosłupa jest

A. dziesięciokąt.
B. jedenastokąt.
C. dwunastokąt.
D. trzynastokąt.
Rozwiązanie Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów w figurze znajdującej się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n+1\) wierzchołków. To pozwoli nam utworzyć proste równanie: $$2n-(n+1)=11 \\ 2n-n-1=11 \\ n=12$$
Odpowiedź
C. dwunastokąt.

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 23 (0 - 1)

Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem

A. $ x=-51 $
B. $ x=-6 $
C. $ x=10 $
D. $ x=29 $
Rozwiązanie Kluczem do rozwiązania tego zadania jest stworzenie poprawnego równania. Bardzo wiele osób tutaj popełnia spory błąd, dlatego omówmy to sobie dość dokładnie. Skoro wartość drugiej średniej będzie większa o \(2\), to aby postawić znak równości między tymi średnimi to musimy dodać dwójkę do pierwszej z nich. Przykładowo gdyby chcieć to pokazać na liczbach, to jeżeli \(\overline{x_{1}}=10\) oraz \(\overline{x_{2}}=12\), to prawidłowe będzie równanie \(\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}}\). Mając na uwadze powyższą sugestię możemy to zapisać w taki sposób: $$\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}} \\ \frac{4+7+8+x}{4}+2=\frac{4+7+8+x+2}{5} \\ \frac{19+x}{4}+2=\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot20 \\ 5\cdot(19+x)+40=4\cdot(21+x) \\ 95+5x+40=84+4x \\ x=84-95-40 \\ x=-51$$
Odpowiedź
A. $ x=-51 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \(3\)?

A. $ 12 $
B. $ 24 $
C. $ 29 $
D. $ 30 $
Rozwiązanie I sposób - z wykorzystaniem ciągów arytmetycznych. To chyba najbardziej profesjonalny sposób. Liczby podzielne przez \(3\) tworzą ciąg arytmetyczny, którego \(r=3\), \(a_{1}=12\) (bo \(12\) jest pierwszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(3\)) oraz \(a_{n}=99\). Musimy teraz obliczyć ile wyrazów ma ten ciąg, tak więc skorzystamy z następującego wzoru: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ 99=12+(n-1)\cdot3 \\ 87=3n-3 \\ 90=3n \\ n=30$$ II sposób - z wykorzystaniem mnożenia i dzielenia. Tak naprawdę każdą liczbę podzielną przez \(3\) możemy zapisać jako iloczyny kolejnych liczb naturalnych: $$3=3\cdot1 \\ 6=3\cdot2 \\ ... \\ 96=3\cdot32 \\ 99=3\cdot33$$ Liczb podzielnych mniejszych od \(100\) jest więc \(33\). Musimy od tego odjąć jeszcze trzy sztuki, które dają wyniki jednocyfrowe (\(3,6,9\)) i w ten sposób obliczyliśmy, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(3\) jest \(33-3=30\).
Odpowiedź
D. $ 30 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe

A. $ \frac{1}{48} $
B. $ \frac{1}{24} $
C. $ \frac{1}{12} $
D. $ \frac{1}{3} $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. W pierwszym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orzeł \((O)\) lub reszka \((R)\). Podobnie jest w drugim rzucie. W trzecim rzucie (tym razem kostką) możemy otrzymać jeden z sześciu wyników (\(1,2,3,4,5,6\)). To oznacza, że wszystkich kombinacji mamy: $$|Ω|=2\cdot2\cdot6=24$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Jest tylko jedna możliwość otrzymania zdarzenia, które zostało opisane w treści zadania i tym zdarzeniem będzie \(OO6\). Zatem \(|A|=1\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1}{24}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{1}{24} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\)

Odpowiedź
\(x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle2,+\infty)\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź
Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 28 (0 - 2)

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\)


Matura 2016 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \).

Odpowiedź
Analizowana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w miejscu który jest jej wierzchołkiem i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) oraz \(BD\) przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli \(|AS|=\frac{5}{6}|AC|\), to pole trójkąta \(ABS\) jest \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\).

Odpowiedź
Udowodniono na podstawie podobieństw trójkątów.

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 4)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Odpowiedź
\(S_{671}=676368\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 5)

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3,-3)\) oraz \(C=(2,7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).

Odpowiedź
\(B=(7,4\frac{1}{2})\) oraz \(|AB|=12\frac{1}{2}\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 33 (0 - 5)

Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź
\(V=21\sqrt{7}\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 34 (0 - 2)

Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\).

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{4}{21}\)