Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2017 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Liczba \(5^8\cdot 16^{-2}\) jest równa:

A. $ 10^8 $
B. $ \left(\frac{5}{2}\right)^8 $
C. $ 10 $
D. $ \frac{5}{2} $
Rozwiązanie Pamiętając o tym, że \(16=2^4\), a także korzystając ze wzorów \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) oraz \(a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób: $$5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot(2^4)^{-2}=5^8\cdot2^{-8}= \\ 5^8\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{5^{8}}{2^{8}}=\left(\frac{5}{2}\right)^8$$
Odpowiedź
A. $ 10^8 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

A. $ 3 $
B. $ 2 $
C. $ \sqrt[3]{52} $
D. $ 2\sqrt[3]{2} $
Rozwiązanie Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem: $$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$
Odpowiedź
C. $ \sqrt[3]{52} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(2\log_23-2\log_25\) jest równa

A. $ \log_2 \frac{3}{5} $
B. $ \log_2 \frac{9}{5} $
C. $ \log_2 \frac{6}{25} $
D. $ \log_2 \frac{9}{25} $
Rozwiązanie W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów: $$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \\ \log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$ Zatem: $$2\log_{2}3-2\log_{2}5=\log_{2}3^2-\log_{2}5^2= \\ =\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}$$
Odpowiedź
A. $ \log_2 \frac{3}{5} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o \(120\%\) i obecnie jest równa \(8910\). Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?

A. $ 1782 $
B. $ 4050 $
C. $ 7128 $
D. $ 7425 $
Rozwiązanie Wprowadzenie oznaczeń do zadania. \(x\) - liczba zwierząt w 2011 roku \(x\) plus \(120\%x\), czyli \(2,2x\) - obecna liczba zwierząt Ułożenie i rozwiązania równania. Zgodnie z treścią zadania: $$2,2x=8910 \\ x=4050$$
Odpowiedź
A. $ 1782 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Równość \((x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\) jest

A. fałszywa dla każdej liczby $ x $
B. prawdziwa dla $ x=-\sqrt{2} $
C. prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $
D. prawdziwa dla $ x=-1$
Rozwiązanie Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\). W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\). Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\). Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że: $$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \\ \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \\ x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \\ x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$ No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).
Odpowiedź
C. prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)\gt 0\) nie należy liczba:

A. $ 1 $
B. $ -1 $
C. $ 3 $
D. $ -3 $
Rozwiązanie Do powyższej nierówności możemy podstawić po kolei każdą z odpowiedzi i sprawdzić tym samym, która z nich nie będzie należeć do zbioru rozwiązań. Można też po prostu rozwiązać taką nierówność, dzieląc obie strony przez \((x^4+1)\). Możemy tak zrobić i być pewni, że nie zmieni się znak nierówności, bo wartość \((x^4+1)\) jest zawsze dodatnia, zatem: $$(x^4+1)(2-x)\gt0 \quad\bigg/:(x^4+1) \\ 2-x\gt0 \\ -x\gt-2 \quad\bigg/:(-1) \\ x\lt2$$ Jedyną liczbą spośród podanych odpowiedzi, która nie spełnia tej nierówności jest \(3\).
Odpowiedź
D. $ -3 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 7 (0 - 1)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(2-3x\ge 4\).

A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie $$2-3x\ge4 \\ -3x\ge2 \quad\bigg/:(-3) \\ x\le-\frac{2}{3}$$ Pamiętaj, że dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności. Rozwiązanie naszej nierówności zostało więc przedstawione na czwartym rysunku.
Odpowiedź
D.

Matura 2017 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\)

A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
D. ma dokładnie pięć rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Rozwiązanie Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie: $$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\ x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$ Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).
Odpowiedź
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

Matura 2017 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12\) jest liczba

A. $ \sqrt{3}-4 $
B. $ -2\sqrt{3}+1 $
C. $ 4\sqrt{3}-1 $
D. $ -\sqrt{3}+12 $
Rozwiązanie Aby obliczyć miejsce zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli sprawdzić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą zero. $$\sqrt{3}(x+1)-12=0 \\ \sqrt{3}(x+1)=12 \quad\bigg/:\sqrt{3} \\ x+1=\frac{12}{\sqrt{3}} \\ x+1=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\ x+1=\frac{12\sqrt{3}}{3} \\ x+1=4\sqrt{3} \\ x=4\sqrt{3}-1$$
Odpowiedź
C. $ 4\sqrt{3}-1 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), o miejscach zerowych: \(-3\) i \(1\). Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

A. $ 1 $
B. $ 2 $
C. $ 3 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej odpowiada miejscu przecięcia się paraboli z osią \(Oy\). Widzimy wyraźnie, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\), zatem współczynnik \(c=3\).
Odpowiedź
C. $ 3 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=a^x\). Punkt \(A=(1,2)\) należy do wykresu funkcji. Podstawa \(a\) potęgi jest równa

A. $ -\frac{1}{2} $
B. $ \frac{1}{2} $
C. $ -2 $
D. $ 2 $
Rozwiązanie Wykres funkcji możemy zapisać jako \(y=a^x\). Teraz znacznie lepiej widać, że możemy do wzoru tej funkcji po prostu podstawić współrzędne punktu \(A=(1,2)\) i tym samym wyznaczyć podstawę potęgi, zatem: $$y=a^x \\ 2=a^1$$ No i teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi pierwszej aby otrzymać \(2\)? Oczywiście \(2\), tak więc prawidłową odpowiedzią będzie \(a=2\).
Odpowiedź
D. $ 2 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: \(a_1=5\), \(a_2=11\). Wtedy

A. $ a_{14}=71 $
B. $ a_{12}=71 $
C. $ a_{11}=71 $
D. $ a_{10}=71 $
Rozwiązanie Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć różnicę ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \\ r=11-5 \\ r=6$$ Wskazanie wyrazu, którego wartość jest równa \(71\). Po odpowiedziach widzimy, że tak naprawdę poszukujemy wyrazu, którego wartość jest równa \(71\), czyli \(a_{n}=71\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ 71=5+(n-1)\cdot6 \\ 66=6n-6 \\ 6n=72 \\ n=12$$ To oznacza, że pożądaną wartość ma dwunasty wyraz tego ciągu, zatem prawidłową odpowiedzią jest \(a_{12}=71\).
Odpowiedź
B. $ a_{12}=71 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny \((24,6,a-1)\). Stąd wynika, że

A. $ a=\frac{5}{2} $
B. $ a=\frac{2}{5} $
C. $ a=\frac{3}{2} $
D. $ a=\frac{2}{3} $
Rozwiązanie Zgodnie z własnościami ciągu geometrycznego między trzema kolejnymi wyrazami ciągu zachodzi następująca równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\ 6^2=24\cdot(a-1) \\ 36=24a-24 \\ 60=24a \\ a=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}$$
Odpowiedź
A. $ a=\frac{5}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

Jeżeli \(m=\sin 50^\circ \), to

A. $ m=\sin 40^\circ $
B. $ m=\cos 40^\circ $
C. $ m=\cos 50^\circ $
D. $ m=\operatorname{tg} 50^\circ $
Rozwiązanie Skorzystamy z jednego ze wzorów redukcyjnych: $$sin(90°-\alpha)=\cos\alpha \\ sin50°=sin(90°-40°)=cos40°$$
Odpowiedź
B. $ m=\cos 40^\circ $

Matura 2017 Maj. Zadanie 15 (0 - 1)

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leży punkt \(C\) (zobacz rysunek). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(\alpha \) ma miarę

A. $ 116^\circ $
B. $ 114^\circ $
C. $ 112^\circ $
D. $ 110^\circ $
Rozwiązanie Wyznaczenie miary kąta \(CAO\). Trójkąt \(AOC\) jest na pewno równoramienny, a jego ramionami są boki \(AO\) oraz \(CO\). Skąd to wiemy? Obydwa te boki są długością promienia naszego okręgu. To z kolei oznacza, że kąty przy podstawie \(AC\) mają równą miarę, zatem: $$|\sphericalangle CAO|=|\sphericalangle ACO|=56°$$ Obliczenie miary kąta \(COB\), czyli kąta \(\alpha\). Obliczony przed chwilą kąt \(CAO\) oraz nasz kąt \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku \(CB\). W związku z tym miara kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Zatem: $$|\sphericalangle CAO|=56°\cdot2=112°$$
Odpowiedź
C. $ 112^\circ $

Matura 2017 Maj. Zadanie 16 (0 - 1)

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10\), \(|BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek). Długość odcinka \(DE\) jest równa

A. $ 22 $
B. $ 20 $
C. $ 12 $
D. $ 11 $
Rozwiązanie Skoro odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(CA\), to trójkąty \(ABC\) oraz \(EBD\) są trójkątami podobnymi (na mocy cechy kąt-kąt-kąt). Stosunek boków odpowiadających sobie będzie taki sam, co pozwoli ułożyć nam następujące równanie: $$\frac{|DE|}{|CA|}=\frac{|BD|}{|BC|} \\ \frac{|DE|}{24}=\frac{10}{10+2} \\ \frac{|DE|}{24}=\frac{10}{12} \quad\bigg/\cdot24 \\ |DE|=\frac{240}{12} \\ |DE|=20$$
Odpowiedź
B. $ 20 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 17 (0 - 1)

Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku jest równy

A. $ \left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a $
B. $ \left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a $
C. $ (3+\sqrt{3})a $
D. $ (2+\sqrt{2})a $
Rozwiązanie W tym zadaniu najprościej będzie wykorzystać własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Z tych własności wynika wprost, że długość dłuższej przyprostokątnej jest równa \(|AB|=a\sqrt{3}\), a długość przeciwprostokątnej wynosi \(|AC|=2a\). Obwód trójkąta będzie więc równy: $$Obw=a+a\sqrt{3}+2a \\ Obw=3a+a\sqrt{3} \\ Obw=(3+\sqrt{3})a$$ Gdybyśmy o tych własnościach nie pamiętali, to do wyznaczenia długości boków zawsze możemy posłużyć się jeszcze funkcjami trygonometrycznymi: Wyznaczenie długości boku \(AB\): $$tg30°=\frac{a}{|AB|} \\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{|AB|} \quad\bigg/\cdot |AB| \\ a=\frac{\sqrt{3}}{3}|AB| \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\ |AB|=\frac{3}{\sqrt{3}}a \\ |AB|=\frac{3\sqrt{3}}{3}a \\ |AB|=a\sqrt{3}$$ Wyznaczenie długości boku \(AC\): $$sin30°=\frac{a}{|AC|} \\ \frac{1}{2}=\frac{a}{|AC|} \quad\bigg/\cdot |AC| \\ a=\frac{1}{2}|AC| \quad\bigg/\cdot2 \\ |AC|=2a$$
Odpowiedź
C. $ (3+\sqrt{3})a $

Matura 2017 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiona jest prosta \(k\) o równaniu \(y=ax\), przechodząca przez punkt \(A=(2,-3)\) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt \(\alpha \) nachylenia tej prostej od osi \(Ox\). Zatem

A. $ a=-\frac{2}{3} $
B. $ a=-\frac{3}{2} $
C. $ a=\frac{2}{3} $
D. $ a=\frac{3}{2} $
Rozwiązanie Nasz kąt ma swój wierzchołek w początku układu współrzędnych oraz jedno z jego ramion pokrywa się z osią iksów. W takiej sytuacji możemy skorzystać ze wzoru znajdującego w tablicach matematycznych: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$$ \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta \(k\) będąca ramieniem zaznaczonego kąta. W naszym przypadku podstawimy więc współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-3\): $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$
Odpowiedź
B. $ a=-\frac{3}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie

A. $ y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2} $
B. $ y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2} $
C. $ y=4x-12 $
D. $ y=4x+12 $
Rozwiązanie Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć: $$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4) \\ a=4$$ To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\). Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej. Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. $$y=4x+b \\ 4=4\cdot(-2)+b \\ 4=-8+b \\ b=12$$ Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).
Odpowiedź
D. $ y=4x+12 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. $ A=(-1,7) $
B. $ B=(2,-3) $
C. $ C=(3,2) $
D. $ D=(5,3) $
Rozwiązanie I sposób - wyznaczając równanie okręgu. Wyznaczenie równania okręgu. To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Podstawiając współrzędne \(S=(2,3)\) i promień \(r=5\) otrzymamy: $$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \\ (x-2)^2+(y-3)^2=25$$ Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu. Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając \(A=(-1,7)\) otrzymamy: $$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \\ (-3)^2+4^2=25 \\ 9+16=25 \\ 25=25 \\ L=P$$ To oznacza, że punkt \(A\) leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów. II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków. Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków \(SA\), \(SB\), \(SC\) oraz \(SD\), a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem \(S\) stworzy odcinek o długości \(5\) (bo \(r=5\)). $$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \\ |SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \\ |SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\ |SA|=\sqrt{9+16} \\ |SA|=\sqrt{25} \\ |SA|=5$$
Odpowiedź
A. $ A=(-1,7) $

Matura 2017 Maj. Zadanie 21 (0 - 1)

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe \(140\). Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa

A. $ \sqrt{10} $
B. $ 3\sqrt{10} $
C. $ \sqrt{42} $
D. $ 3\sqrt{42} $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Oznaczmy sobie jako \(a\) krawędź podstawy oraz \(3a\) jako wysokość graniastosłupa. Pamiętaj, że w podstawie graniastosłupa znajdzie się kwadrat, bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny. Zapisanie wzoru na pole podstawy i pole ściany bocznej. Korzystając z rysunku i zawartych na nim oznaczeń zapiszmy sobie od razu wzory na pole powierzchni podstawy oraz na pole ściany bocznej: $$P_{p}=a^2 \\ P_{b}=a\cdot3a=3a^2$$ Wyznaczenie długości krawędzi podstawy. Skoro mamy dwie podstawy oraz cztery ściany boczne i znamy pole powierzchni całkowitej, to możemy ułożyć następujące równanie: $$2P_{p}+4P_{b}=140 \\ 2\cdot a^2+4\cdot3a^2=140 \\ 2a^2+12a^2=140 \\ 14a^2=140 \\ a^2=10 \\ a=\sqrt{10}$$
Odpowiedź
A. $ \sqrt{10} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 22 (0 - 1)

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

A. $ \frac{1}{2} $
B. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Skoro długość promienia podstawy oraz wysokość tego walca są sobie równe, to trójkąt \(SAO\) wygląda mniej więcej w ten sposób: Naszym zadaniem jest wyznaczenie sinusa kąta \(\alpha\). Tak naprawdę można byłoby na tym kroku zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo widzimy że jest to trójkąt równoramienny prostokątny, a więc kąt ostry musi mieć miarę \(\alpha=45°\). Skoro tak, to możemy odczytać z tablic, że: $$sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego, to można dotrzeć do tej wartości trochę dłuższym sposobem. Wyznaczenie długości odcinka \(d\). Już po samym rysunku widzimy, że odcinek \(d\) jest tak jakby przekątną kwadratu o boku długości \(r\), zatem na pewno \(d=r\sqrt{2}\). Gdybyśmy o tym nie pamiętali, to zawsze możemy się jeszcze ratować Twierdzeniem Pitagorasa: $$r^2+r^2=d^2 \\ 2r^2=d^2 \\ d=\sqrt{2r^2} \\ d=r\sqrt{2}$$ Wyznaczenie wartości sinusa kąta \(OAS\). Zgodnie z własnościami funkcji trygonometrycznych: $$\require{cancel} \sin\alpha=\frac{r}{d} \\ \sin\alpha=\frac{\cancel{r}}{\cancel{r}\sqrt{2}} \\ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 23 (0 - 1)

Dany jest stożek o wysokości \(4\) i średnicy podstawy \(12\). Objętość tego stożka jest równa

A. $ 576\pi $
B. $ 192\pi $
C. $ 144\pi $
D. $ 48\pi $
Rozwiązanie Do wzoru na objętość stożka potrzebujemy znać długość promienia podstawy. W treści zadania mamy podaną średnicę, zatem: $$r=12:2=6$$ Teraz możemy podstawić wszystkie dane z treści zadania (\(r=6\), \(H=4\)) i obliczyć poszukiwaną objętość: $$V=\frac{1}{3}πr^2 H \\ V=\frac{1}{3}π\cdot6^2\cdot4 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot36\cdot4 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot144 \\ V=48π$$
Odpowiedź
D. $ 48\pi $

Matura 2017 Maj. Zadanie 24 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: \(3,5,7,9,x,15,17,19\) jest równa \(11\). Wtedy

A. $ x=1 $
B. $ x=2 $
C. $ x=11 $
D. $ x=13 $
Rozwiązanie Ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy ułożyć następujące równanie: $$\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11 \\ \frac{75+x}{8}=11 \quad\bigg/\cdot8 \\ 75+x=88 \\ x=13$$
Odpowiedź
D. $ x=13 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(24\) losujemy jedną liczbę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem \(24\). Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

A. $ \frac{1}{4} $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ \frac{1}{8} $
D. $ \frac{1}{6} $
Rozwiązanie Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Skoro losujemy jedną z dwudziestu czterech liczb, to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: \(|Ω|=24\). Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Zdarzeniem sprzyjającym będzie trafienie na liczbę, która jest dzielnikiem liczby \(24\). Wypiszmy więc jakie dzielniki ma liczba \(24\): $$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$ Widzimy wyraźnie, że jest to osiem różnych dzielników, zatem: \(|A|=8\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{1}{3} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(8x^2-72x\le 0\).

Odpowiedź
\(x\in\langle0,9\rangle\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).


Matura 2017 Maj. Zadanie 28 (0 - 2)

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\) oraz \(|\sphericalangle APC|=\alpha \) i \(|\sphericalangle ABC|=\beta \) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\alpha =180^\circ -2\beta \).


Matura 2017 Maj. Zadanie 29 (0 - 4)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).

Odpowiedź
\(a=-\frac{1}{2}\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość \(26\) cm, a jedna z przyprostokątnych jest o \(14\) cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Odpowiedź
\(Obw=60cm\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: wyraz \(a_1=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S\_3=33\). Oblicz różnicę: \(a\_{16}-a\_{13}\).

Odpowiedź
\(a_{16}-a_{13}=9\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 32 (0 - 5)

Dane są punkty \(A=(-4,0)\) i \(M=(2,9)\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=-2x+10\). Wierzchołek \(B\) trójkąta \(ABC\) to punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) układu współrzędnych, a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia prostej \(k\) z prostą \(AM\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Odpowiedź
\(P=34\frac{5}{7}\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 33 (0 - 2)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od \(40\) i podzielna przez \(3\). Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{9}\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 34 (0 - 4)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź
\(V=\frac{\sqrt{209}}{12}\)