Matura 2017 Maj

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2017 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Liczba $5^8\cdot 16^{-2}$ jest równa:

A. $ 10^8 $

B. $ \left(\frac{5}{2}\right)^8 $

C. $ 10 $

D. $ \frac{5}{2} $

Rozwiązanie

Pamiętając o tym, że $16=2^4$, a także korzystając ze wzorów $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$ oraz $a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$ możemy całość rozpisać w następujący sposób: $$5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot(2^4)^{-2}=5^8\cdot2^{-8}= \\ 5^8\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{5^{8}}{2^{8}}=\left(\frac{5}{2}\right)^8$$

Odpowiedź

A. $ 10^8 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba $\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}$ jest równa

A. $ 3 $

B. $ 2 $

C. $ \sqrt[3]{52} $

D. $ 2\sqrt[3]{2} $

Rozwiązanie

Musimy rozbić liczbę $54$ na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem: $$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$

Odpowiedź

C. $ \sqrt[3]{52} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba $2\log_23-2\log_25$ jest równa

 A.  $ \log_2 \frac{3}{5} $ 
 B.  $ \log_2 \frac{9}{5} $ 
 C.  $ \log_2 \frac{6}{25} $ 
 D.  $ \log_2 \frac{9}{25} $ 

Rozwiązanie

W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów: $$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \\ \log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$ Zatem: $$2\log_{2}3-2\log_{2}5=\log_{2}3^2-\log_{2}5^2= \\ =\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}$$

Odpowiedź

A. $ \log_2 \frac{3}{5} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o $120\%$ i obecnie jest równa $8910$. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?

A. $ 1782 $

B. $ 4050 $

C. $ 7128 $

D. $ 7425 $

Rozwiązanie

Wprowadzenie oznaczeń do zadania. $x$ - liczba zwierząt w 2011 roku $x$ plus $120\%x$, czyli $2,2x$ - obecna liczba zwierząt Ułożenie i rozwiązania równania. Zgodnie z treścią zadania: $$2,2x=8910 \\ x=4050$$

Odpowiedź

A. $ 1782 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Równość $(x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2$ jest

 A.  fałszywa dla każdej liczby $ x $ 
 B.  prawdziwa dla $ x=-\sqrt{2} $ 
 C.  prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $ 
 D.  prawdziwa dla $ x=-1$ 

Rozwiązanie

Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi $A$, $B$, $C$ do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź $D$. W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci $a^2=b^2$ to aby ta równość była prawdziwa to albo $a=b$, albo $a=-b$. Przykładowo: $5^2=(-5)^2$, czyli w tym przypadku $a=-b$. Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że: $$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \\ \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \\ x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \\ x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$ No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi $C$.

Odpowiedź

C. prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Do zbioru rozwiązań nierówności $(x^4+1)(2-x)\gt 0$ nie należy liczba:

A. $ 1 $

B. $ -1 $

C. $ 3 $

D. $ -3 $

Rozwiązanie

Do powyższej nierówności możemy podstawić po kolei każdą z odpowiedzi i sprawdzić tym samym, która z nich nie będzie należeć do zbioru rozwiązań. Można też po prostu rozwiązać taką nierówność, dzieląc obie strony przez $(x^4+1)$. Możemy tak zrobić i być pewni, że nie zmieni się znak nierówności, bo wartość $(x^4+1)$ jest zawsze dodatnia, zatem: $$(x^4+1)(2-x)\gt0 \quad\bigg/:(x^4+1) \\ 2-x\gt0 \\ -x\gt-2 \quad\bigg/:(-1) \\ x\lt2$$ Jedyną liczbą spośród podanych odpowiedzi, która nie spełnia tej nierówności jest $3$.

Odpowiedź

D. $ -3 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 7 (0 - 1)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $2-3x\ge 4$.

Rozwiązanie

$$2-3x\ge4 \\ -3x\ge2 \quad\bigg/:(-3) \\ x\le-\frac{2}{3}$$ Pamiętaj, że dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności. Rozwiązanie naszej nierówności zostało więc przedstawione na czwartym rysunku.

Odpowiedź

Matura 2017 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Równanie $x(x^2-4)(x^2+4)=0$ z niewiadomą $x$

 A.  nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych 
 B.  ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych 
 C.  ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych 
 D.  ma dokładnie pięć rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych 

Rozwiązanie

Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie: $$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\ x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$ Z równania $x^2=-4$ nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą $x$ ma trzy rozwiązania: $x=0$, $x=2$ oraz $x=-2$.

Odpowiedź

C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

Matura 2017 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12$ jest liczba

A. $ \sqrt{3}-4 $

B. $ -2\sqrt{3}+1 $

C. $ 4\sqrt{3}-1 $

D. $ -\sqrt{3}+12 $

Rozwiązanie

Aby obliczyć miejsce zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli sprawdzić dla jakich argumentów $x$ funkcja przyjmuje wartość równą zero. $$\sqrt{3}(x+1)-12=0 \\ \sqrt{3}(x+1)=12 \quad\bigg/:\sqrt{3} \\ x+1=\frac{12}{\sqrt{3}} \\ x+1=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\ x+1=\frac{12\sqrt{3}}{3} \\ x+1=4\sqrt{3} \\ x=4\sqrt{3}-1$$

Odpowiedź

C. $ 4\sqrt{3}-1 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$, o miejscach zerowych: $-3$ i $1$. Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest równy

A. $ 1 $

B. $ 2 $

C. $ 3 $

D. $ 4 $

Rozwiązanie

Współczynnik $c$ w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej odpowiada miejscu przecięcia się paraboli z osią $Oy$. Widzimy wyraźnie, że parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$, zatem współczynnik $c=3$.

Odpowiedź

C. $ 3 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej $f$ określonej wzorem $f(x)=a^x$. Punkt $A=(1,2)$ należy do wykresu funkcji. Podstawa $a$ potęgi jest równa

A. $ -\frac{1}{2} $

B. $ \frac{1}{2} $

C. $ -2 $

D. $ 2 $

Rozwiązanie

Wykres funkcji możemy zapisać jako $y=a^x$. Teraz znacznie lepiej widać, że możemy do wzoru tej funkcji po prostu podstawić współrzędne punktu $A=(1,2)$ i tym samym wyznaczyć podstawę potęgi, zatem: $$y=a^x \\ 2=a^1$$ No i teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi pierwszej aby otrzymać $2$? Oczywiście $2$, tak więc prawidłową odpowiedzią będzie $a=2$.

Odpowiedź

D. $ 2 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

W ciągu arytmetycznym $a_n$, określonym dla $n\ge 1$, dane są: $a_1=5$, $a_2=11$. Wtedy

A. $ a_{14}=71 $

B. $ a_{12}=71 $

C. $ a_{11}=71 $

D. $ a_{10}=71 $

Rozwiązanie

Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć różnicę ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \\ r=11-5 \\ r=6$$ Wskazanie wyrazu, którego wartość jest równa $71$. Po odpowiedziach widzimy, że tak naprawdę poszukujemy wyrazu, którego wartość jest równa $71$, czyli $a_{n}=71$. Skorzystamy tutaj ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ 71=5+(n-1)\cdot6 \\ 66=6n-6 \\ 6n=72 \\ n=12$$ To oznacza, że pożądaną wartość ma dwunasty wyraz tego ciągu, zatem prawidłową odpowiedzią jest $a_{12}=71$.

Odpowiedź

B. $ a_{12}=71 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny $(24,6,a-1)$. Stąd wynika, że

 A.  $ a=\frac{5}{2} $ 
 B.  $ a=\frac{2}{5} $ 
 C.  $ a=\frac{3}{2} $ 
 D.  $ a=\frac{2}{3} $ 

Rozwiązanie

Zgodnie z własnościami ciągu geometrycznego między trzema kolejnymi wyrazami ciągu zachodzi następująca równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\ 6^2=24\cdot(a-1) \\ 36=24a-24 \\ 60=24a \\ a=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}$$

Odpowiedź

A. $ a=\frac{5}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

Jeżeli $m=\sin 50^\circ $, to

 A.  $ m=\sin 40^\circ $ 
 B.  $ m=\cos 40^\circ $ 
 C.  $ m=\cos 50^\circ $ 
 D.  $ m=\operatorname{tg} 50^\circ $ 

Rozwiązanie

Skorzystamy z jednego ze wzorów redukcyjnych: $$sin(90°-\alpha)=\cos\alpha \\ sin50°=sin(90°-40°)=cos40°$$

Odpowiedź

B. $ m=\cos 40^\circ $

Matura 2017 Maj. Zadanie 15 (0 - 1)

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leży punkt $C$ (zobacz rysunek). Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy $\alpha $ ma miarę

A. $ 116^\circ $

B. $ 114^\circ $

C. $ 112^\circ $

D. $ 110^\circ $

Rozwiązanie

Wyznaczenie miary kąta $CAO$. Trójkąt $AOC$ jest na pewno równoramienny, a jego ramionami są boki $AO$ oraz $CO$. Skąd to wiemy? Obydwa te boki są długością promienia naszego okręgu. To z kolei oznacza, że kąty przy podstawie $AC$ mają równą miarę, zatem: $$|\sphericalangle CAO|=|\sphericalangle ACO|=56°$$ Obliczenie miary kąta $COB$, czyli kąta $\alpha$. Obliczony przed chwilą kąt $CAO$ oraz nasz kąt $\alpha$ są oparte na tym samym łuku $CB$. W związku z tym miara kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Zatem: $$|\sphericalangle CAO|=56°\cdot2=112°$$

Odpowiedź

C. $ 112^\circ $

Matura 2017 Maj. Zadanie 16 (0 - 1)

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$, a punkt $E$ leży na boku $AB$. Odcinek $DE$ jest równoległy do boku $AC$, a ponadto $|BD|=10$, $|BC|=12$ i $|AC|=24$ (zobacz rysunek). Długość odcinka $DE$ jest równa

A. $ 22 $

B. $ 20 $

C. $ 12 $

D. $ 11 $

Rozwiązanie

Skoro odcinek $DE$ jest równoległy do boku $CA$, to trójkąty $ABC$ oraz $EBD$ są trójkątami podobnymi (na mocy cechy kąt-kąt-kąt). Stosunek boków odpowiadających sobie będzie taki sam, co pozwoli ułożyć nam następujące równanie: $$\frac{|DE|}{|CA|}=\frac{|BD|}{|BC|} \\ \frac{|DE|}{24}=\frac{10}{10+2} \\ \frac{|DE|}{24}=\frac{10}{12} \quad\bigg/\cdot24 \\ |DE|=\frac{240}{12} \\ |DE|=20$$

Odpowiedź

B. $ 20 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 17 (0 - 1)

Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku jest równy

 A.  $ \left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a $ 
 B.  $ \left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a $ 
 C.  $ (3+\sqrt{3})a $ 
 D.  $ (2+\sqrt{2})a $ 

Rozwiązanie

W tym zadaniu najprościej będzie wykorzystać własności trójkątów $30°, 60°, 90°$. Z tych własności wynika wprost, że długość dłuższej przyprostokątnej jest równa $|AB|=a\sqrt{3}$, a długość przeciwprostokątnej wynosi $|AC|=2a$. Obwód trójkąta będzie więc równy: $$Obw=a+a\sqrt{3}+2a \\ Obw=3a+a\sqrt{3} \\ Obw=(3+\sqrt{3})a$$ Gdybyśmy o tych własnościach nie pamiętali, to do wyznaczenia długości boków zawsze możemy posłużyć się jeszcze funkcjami trygonometrycznymi: Wyznaczenie długości boku $AB$: $$tg30°=\frac{a}{|AB|} \\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{|AB|} \quad\bigg/\cdot |AB| \\ a=\frac{\sqrt{3}}{3}|AB| \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\ |AB|=\frac{3}{\sqrt{3}}a \\ |AB|=\frac{3\sqrt{3}}{3}a \\ |AB|=a\sqrt{3}$$ Wyznaczenie długości boku $AC$: $$sin30°=\frac{a}{|AC|} \\ \frac{1}{2}=\frac{a}{|AC|} \quad\bigg/\cdot |AC| \\ a=\frac{1}{2}|AC| \quad\bigg/\cdot2 \\ |AC|=2a$$

Odpowiedź

C. $ (3+\sqrt{3})a $

Matura 2017 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiona jest prosta $k$ o równaniu $y=ax$, przechodząca przez punkt $A=(2,-3)$ i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt $\alpha $ nachylenia tej prostej od osi $Ox$. Zatem

 A.  $ a=-\frac{2}{3} $ 
 B.  $ a=-\frac{3}{2} $ 
 C.  $ a=\frac{2}{3} $ 
 D.  $ a=\frac{3}{2} $ 

Rozwiązanie

Nasz kąt ma swój wierzchołek w początku układu współrzędnych oraz jedno z jego ramion pokrywa się z osią iksów. W takiej sytuacji możemy skorzystać ze wzoru znajdującego w tablicach matematycznych: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$$ $x$ oraz $y$ to współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta $k$ będąca ramieniem zaznaczonego kąta. W naszym przypadku podstawimy więc współrzędne punktu $A$, czyli $x=2$ oraz $y=-3$: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Odpowiedź

B. $ a=-\frac{3}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste $k$ i $l$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $A=(-2,4)$. Prosta $k$ jest określona równaniem $y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$. Zatem prostą $l$ opisuje równanie

 A.  $ y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2} $ 
 B.  $ y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2} $ 
 C.  $ y=4x-12 $ 
 D.  $ y=4x+12 $ 

Rozwiązanie

Określenie współczynnika $a$ prostej prostopadłej. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych $a$ musi być równy $-1$. Skoro w pierwszej prostej $a=-\frac{1}{4}$, to prostopadła do niej będzie mieć: $$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4) \\ a=4$$ To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać $y=4x+b$. Określenie współczynnika $b$ prostej prostopadłej. Musimy ustalić jeszcze współczynnik $b$ naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia $A=(-2,4)$ do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. $$y=4x+b \\ 4=4\cdot(-2)+b \\ 4=-8+b \\ b=12$$ Prostą $l$ opisuje więc równanie $y=4x+12$.

Odpowiedź

D. $ y=4x+12 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Dany jest okrąg o środku $S=(2,3)$ i promieniu $r=5$. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. $ A=(-1,7) $

B. $ B=(2,-3) $

C. $ C=(3,2) $

D. $ D=(5,3) $

Rozwiązanie

I sposób - wyznaczając równanie okręgu. Wyznaczenie równania okręgu. To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$ możemy opisać równaniem: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Podstawiając współrzędne $S=(2,3)$ i promień $r=5$ otrzymamy: $$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \\ (x-2)^2+(y-3)^2=25$$ Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu. Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając $A=(-1,7)$ otrzymamy: $$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \\ (-3)^2+4^2=25 \\ 9+16=25 \\ 25=25 \\ L=P$$ To oznacza, że punkt $A$ leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów. II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków. Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków $SA$, $SB$, $SC$ oraz $SD$, a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem $S$ stworzy odcinek o długości $5$ (bo $r=5$). $$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \\ |SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \\ |SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\ |SA|=\sqrt{9+16} \\ |SA|=\sqrt{25} \\ |SA|=5$$

Odpowiedź

A. $ A=(-1,7) $

Matura 2017 Maj. Zadanie 21 (0 - 1)

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest $3$ razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe $140$. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa

A. $ \sqrt{10} $

B. $ 3\sqrt{10} $

C. $ \sqrt{42} $

D. $ 3\sqrt{42} $

Rozwiązanie

Sporządzenie rysunku poglądowego. Oznaczmy sobie jako $a$ krawędź podstawy oraz $3a$ jako wysokość graniastosłupa. Pamiętaj, że w podstawie graniastosłupa znajdzie się kwadrat, bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny. Zapisanie wzoru na pole podstawy i pole ściany bocznej. Korzystając z rysunku i zawartych na nim oznaczeń zapiszmy sobie od razu wzory na pole powierzchni podstawy oraz na pole ściany bocznej: $$P_{p}=a^2 \\ P_{b}=a\cdot3a=3a^2$$ Wyznaczenie długości krawędzi podstawy. Skoro mamy dwie podstawy oraz cztery ściany boczne i znamy pole powierzchni całkowitej, to możemy ułożyć następujące równanie: $$2P_{p}+4P_{b}=140 \\ 2\cdot a^2+4\cdot3a^2=140 \\ 2a^2+12a^2=140 \\ 14a^2=140 \\ a^2=10 \\ a=\sqrt{10}$$

Odpowiedź

A. $ \sqrt{10} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 22 (0 - 1)

Promień $AS$ podstawy walca jest równy wysokości $OS$ tego walca. Sinus kąta $OAS$ (zobacz rysunek) jest równy

 A.  $ \frac{1}{2} $ 
 B.  $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ 
 C.  $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ 
 D.  $ 1 $ 

Rozwiązanie

Sporządzenie rysunku poglądowego. Skoro długość promienia podstawy oraz wysokość tego walca są sobie równe, to trójkąt $SAO$ wygląda mniej więcej w ten sposób: Naszym zadaniem jest wyznaczenie sinusa kąta $\alpha$. Tak naprawdę można byłoby na tym kroku zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo widzimy że jest to trójkąt równoramienny prostokątny, a więc kąt ostry musi mieć miarę $\alpha=45°$. Skoro tak, to możemy odczytać z tablic, że: $$sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego, to można dotrzeć do tej wartości trochę dłuższym sposobem. Wyznaczenie długości odcinka $d$. Już po samym rysunku widzimy, że odcinek $d$ jest tak jakby przekątną kwadratu o boku długości $r$, zatem na pewno $d=r\sqrt{2}$. Gdybyśmy o tym nie pamiętali, to zawsze możemy się jeszcze ratować Twierdzeniem Pitagorasa: $$r^2+r^2=d^2 \\ 2r^2=d^2 \\ d=\sqrt{2r^2} \\ d=r\sqrt{2}$$ Wyznaczenie wartości sinusa kąta $OAS$. Zgodnie z własnościami funkcji trygonometrycznych: $$\require{cancel} \sin\alpha=\frac{r}{d} \\ \sin\alpha=\frac{\cancel{r}}{\cancel{r}\sqrt{2}} \\ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Odpowiedź

B. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 23 (0 - 1)

Dany jest stożek o wysokości $4$ i średnicy podstawy $12$. Objętość tego stożka jest równa

A. $ 576\pi $

B. $ 192\pi $

C. $ 144\pi $

D. $ 48\pi $

Rozwiązanie

Do wzoru na objętość stożka potrzebujemy znać długość promienia podstawy. W treści zadania mamy podaną średnicę, zatem: $$r=12:2=6$$ Teraz możemy podstawić wszystkie dane z treści zadania ($r=6$, $H=4$) i obliczyć poszukiwaną objętość: $$V=\frac{1}{3}πr^2 H \\ V=\frac{1}{3}π\cdot6^2\cdot4 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot36\cdot4 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot144 \\ V=48π$$

Odpowiedź

D. $ 48\pi $

Matura 2017 Maj. Zadanie 24 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: $3,5,7,9,x,15,17,19$ jest równa $11$. Wtedy

A. $ x=1 $

B. $ x=2 $

C. $ x=11 $

D. $ x=13 $

Rozwiązanie

Ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy ułożyć następujące równanie: $$\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11 \\ \frac{75+x}{8}=11 \quad\bigg/\cdot8 \\ 75+x=88 \\ x=13$$

Odpowiedź

D. $ x=13 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $24$ losujemy jedną liczbę. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem $24$. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

A. $ \frac{1}{4} $

B. $ \frac{1}{3} $

C. $ \frac{1}{8} $

D. $ \frac{1}{6} $

Rozwiązanie

Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Skoro losujemy jedną z dwudziestu czterech liczb, to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: $|Ω|=24$. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Zdarzeniem sprzyjającym będzie trafienie na liczbę, która jest dzielnikiem liczby $24$. Wypiszmy więc jakie dzielniki ma liczba $24$: $$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$ Widzimy wyraźnie, że jest to osiem różnych dzielników, zatem: $|A|=8$. Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$

Odpowiedź

B. $ \frac{1}{3} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność $8x^2-72x\le 0$.

Odpowiedź

$x\in\langle0,9\rangle$

Matura 2017 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykaż, że liczba $4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.

Matura 2017 Maj. Zadanie 28 (0 - 2)

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach $P$ i $R$, styczne zewnętrznie w punkcie $C$. Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ oraz $|\sphericalangle APC|=\alpha $ i $|\sphericalangle ABC|=\beta $ (zobacz rysunek). Wykaż, że $\alpha =180^\circ -2\beta $.

Matura 2017 Maj. Zadanie 29 (0 - 4)

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorem $f(x)=ax^2+bx+c.$ Największa wartość funkcji $f$ jest równa $6$ oraz $f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}$. Oblicz wartość współczynnika $a$.

Odpowiedź

$a=-\frac{1}{2}$

Matura 2017 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $26$ cm, a jedna z przyprostokątnych jest o $14$ cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Odpowiedź

$Obw=60cm$

Matura 2017 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, dane są: wyraz $a_1=8$ i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S\_3=33$. Oblicz różnicę: $a\_{16}-a\_{13}$.

Odpowiedź

$a_{16}-a_{13}=9$

Matura 2017 Maj. Zadanie 32 (0 - 5)

Dane są punkty $A=(-4,0)$ i $M=(2,9)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y=-2x+10$. Wierzchołek $B$ trójkąta $ABC$ to punkt przecięcia prostej $k$ z osią $Ox$ układu współrzędnych, a wierzchołek $C$ jest punktem przecięcia prostej $k$ z prostą $AM$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

Odpowiedź

$P=34\frac{5}{7}$

Matura 2017 Maj. Zadanie 33 (0 - 2)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od $40$ i podzielna przez $3$. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Odpowiedź

$P(A)=\frac{1}{9}$

Matura 2017 Maj. Zadanie 34 (0 - 4)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa $\frac{5\sqrt{3}}{4}$, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe $\frac{15\sqrt{3}}{4}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź

$V=\frac{\sqrt{209}}{12}$