Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa

A. $ \frac{73}{9} $
B. $ \frac{71}{9} $
C. $ -\frac{73}{9} $
D. $ -\frac{71}{9} $
Rozwiązanie Podstawiając do wyrażenia liczby z treści zadania otrzymamy: $$a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}=-8-\left(\frac{1}{3}\right)^2=-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}$$
Odpowiedź
C. $ -\frac{73}{9} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(9^9\cdot 81^2\) jest równa

A. $ 81^4 $
B. $ 81 $
C. $ 9^{13} $
D. $ 9^{36} $
Rozwiązanie Wykonując działania na potęgach otrzymamy: $$9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot(9)^{2\cdot2}=9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}$$
Odpowiedź
C. $ 9^{13} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \(\log_48+5\log_42\) jest równa

A. $ 2 $
B. $ 4 $
C. $ 2+\log_45 $
D. $ 1+\log_410 $
Rozwiązanie Korzystając z działań na logarytmach całość możemy rozpisać w następujący sposób: $$log_{4}8+5log_{4}2=log_{4}2^3+log_{4}2^5=log_{4}(2^3\cdot2^5)=log_{4}2^8=log_{4}(2^2)^4=log_{4}4^4=4$$
Odpowiedź
B. $ 4 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 4 (0 - 1)

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o \(30\%\). Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

A. o mniej niż $50\%$, ale więcej niż $40\%$.
B. o mniej niż $60\%$, ale więcej niż $50\%$.
C. dokładnie o $60\%$.
D. o więcej niż $60\%$.
Rozwiązanie Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym: $$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2 \\ P_{2}=π{r_{2}}^2$$ Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.
Odpowiedź
D. o więcej niż $60\%$.

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Liczba (\(2\sqrt{7}-5)^2\cdot (2\sqrt{7}+5)^2 \) jest równa

A. $ 9 $
B. $ 3 $
C. $ 2809 $
D. $ 28-20\sqrt{7} $
Rozwiązanie Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że: $$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Odpowiedź
A. $ 9 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek: \(11\le 2x-7\le 15\).

A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie Aby się nie zgubić w obliczeniach, to najlepiej jest tego typu nierówności rozbić na dwie części: $$11\le2x-7\le15 \\ 11\le2x-7 \quad\land\quad 2x-7\le15 \\ 18\le2x \quad\land\quad 2x\le22 \\ 9\le x \quad\land\quad x\le11 \\ x\ge9 \quad\land\quad x\le11$$ Szukamy zatem rysunku na którym zaznaczono zbiór liczb większych lub równych \(9\) i mniejszych lub równych \(11\). Taka sytuacja jest przedstawiona na ostatnim rysunku.
Odpowiedź
D.

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

A. $ \begin{cases} 2(a+b)=60 \\ a+10=b \end{cases} $
B. $ \begin{cases} 2a+b=60 \\ 10b=a \end{cases} $
C. $ \begin{cases} 2ab=60 \\ a-b=10 \end{cases} $
D. $ \begin{cases} 2(a+b)=60 \\ 10a=b \end{cases} $
Rozwiązanie Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem: $$2a+2b=60 \\ 2(a+b)=60$$ Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.
Odpowiedź
A. $ \begin{cases} 2(a+b)=60 \\ a+10=b \end{cases} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\ne -2\), jest liczba należąca do przedziału

A. $ (-2,1) $
B. $ \langle 1,+\infty ) $
C. $ (-\infty ,-5) $
D. $ \langle -5,-2) $
Rozwiązanie $$\frac{x+1}{x+2}=3 \quad\bigg/\cdot(x+2) \\ x+1=3(x+2) \\ x+1=3x+6 \\ -2x=5 \\ x=-2,5$$ To oznacza, że rozwiązanie równania należy do przedziału \(x\in\langle-5,-2)\).
Odpowiedź
D. $ \langle -5,-2) $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Linę o długości \(100\) metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

A. $ 41\frac{2}{3} $ metra.
B. $ 33\frac{1}{3} $ metra.
C. $ 60 $ metrów.
D. $ 25 $ metrów.
Rozwiązanie Skoro stosunek długości lin wynosi \(3:4:5\) to możemy zapisać, że kawałki te mają długości \(3x,4x,5x\). W związku z tym: $$3x+4x+5x=100 \\ 12x=100 \\ x=\frac{100}{12} \\ x=\frac{25}{3}[m]$$ Nas interesuje długość najdłuższego boku, czyli tego co ma długość \(5x\), zatem: $$5x=5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}[m]$$
Odpowiedź
A. $ 41\frac{2}{3} $ metra.

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\). Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

A. $ b\lt 0, c\gt 0 $
B. $ b\lt 0, c\lt 0 $
C. $ b\gt 0, c\gt 0 $
D. $ b\gt 0, c\lt 0 $
Rozwiązanie Ustalenie znaku współczynnika \(c\). Zacznijmy od prostszego współczynnika, a mianowicie współczynnika \(c\). Z własności postaci ogólnej funkcji kwadratowej (czyli tej zapisanej w treści zadania) wynika, że o ile współczynnik \(a\) decyduje o tym czy ramiona są skierowane do góry czy do dołu, o tyle współczynnik \(c\) mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków dla \(y=2\), to współczynnik \(c=2\). W naszym przypadku parabola przecina oś igreków w dodatnim miejscu, a to oznacza, że \(c\gt0\). Ustalenie znaku współczynnika \(b\). Ze współczynnikiem \(b\) nie wiążą się jakieś szczególne cechy, ale możemy poznać znak tego współczynnika korzystając z wierzchołka paraboli. Ze wzorów na współrzędną iksową paraboli (czyli współrzędną \(p\)) wynika, że: $$p=\frac{-b}{2a}$$ Współczynnik \(a\) jest akurat znany i jest on równy \(1\), bo przed \(x^2\) we wzorze funkcji nie stoi żadna wartość. Współrzędna iksowa wierzchołka (czyli współrzędna \(p\)) jest dodatnia, co widzimy na rysunku. To by oznaczało, że: $$\frac{-b}{2a}\gt0 \\ \frac{-b}{2\cdot1}\gt0 \\ \frac{-b}{2}\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\ -b\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \\ b\lt0$$ Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności. To oznacza, że \(b\lt 0, c\gt 0\).
Odpowiedź
A. $ b\lt 0, c\gt 0 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla

A. $ n=10 $
B. $ n=11 $
C. $ n=12 $
D. $ n=13 $
Rozwiązanie Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Znamy dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, zatem różnica między nimi da nam odpowiedź na pytanie jaka jest różnica tego ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \\ r=9-2 \\ r=7$$ Wyznaczenie wartości \(n\). Szukamy wartości \(n\) dla której ciąg przyjmuje wartość równą \(79\) (czyli tak naprawdę chcemy się dowiedzieć który wyraz tego ciągu jest równy \(79\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ 79=2+(n-1)\cdot7 \\ 79=2+7n-7 \\ 79=7n-5 \\ 84=7n \\ n=12$$
Odpowiedź
C. $ n=12 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że

A. $ x=18 $
B. $ x=6 $
C. $ x=\frac{85}{6} $
D. $ x=\frac{6}{85} $
Rozwiązanie Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając nasze wyrazy otrzymamy: $$(3x)^2=81\cdot4 \\ 9x^2=9\cdot9\cdot4 \\ x^2=9\cdot4 \\ x^2=36 \\ x=6 \quad\lor\quad x=-6$$ Z racji tego iż ciąg ma mieć wyrazy dodatnie, to zostaje nam \(x=6\).
Odpowiedź
B. $ x=6 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Stąd wynika, że

A. $ \cos \alpha =\frac{24}{49} $
B. $ \cos \alpha =\frac{5}{7} $
C. $ \cos \alpha =\frac{25}{49} $
D. $ \cos \alpha =\frac{5\sqrt{6}}{7} $
Rozwiązanie Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ \left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\ \frac{4\cdot6}{49}+cos^2\alpha=1 \\ \frac{24}{49}+cos^2\alpha=1 \\ cos^2\alpha=\frac{25}{49} \\ \cos\alpha=\frac{5}{7} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\frac{5}{7}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym, zatem zostaje nam \(\cos\alpha=\frac{5}{7}\).
Odpowiedź
B. $ \cos \alpha =\frac{5}{7} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) i \(C\) (zobacz rysunek). Kąt \(ABC\) ma miarę \(121^\circ \), a kąt \(BOC\) ma miarę \(40^\circ \). Kąt \(AOB\) ma miarę

A. $ 59^\circ $
B. $ 50^\circ $
C. $ 81^\circ $
D. $ 78^\circ $
Rozwiązanie Wyznaczenie miary kąta \(CBO\). Na wstępie musimy dostrzec, że trójkąty \(BCO\) oraz \(ABO\) są równoramienne, bo ich ramiona mają długość równą promieniowi okręgu. Spójrzmy zatem na trojkąt \(BCO\). Wiemy, że kąt \(BOC\) ma miarę \(40°\), a to oznacza, że kąt \(CBO\) znajdujący się przy podstawie ma miarę: $$|\sphericalangle CBO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$ Wyznaczenie miary kąta \(ABO\). Wiemy, że kąt \(ABC\) ma miarę \(121°\) i widzimy na rysunku, że składa się on z kątów \(CBO\) oraz \(ABO\). Miarę kąta \(CBO\) wyliczyliśmy przed chwilą, zatem: $$|\sphericalangle ABO|=121°-70°=51°$$ Wyznaczenie miary kąta \(AOB\). Spójrzmy teraz na trójkąt \(ABO\). Wiemy że kąty przy podstawie mają tutaj \(51°\), bo jest to trójkąt równoramienny, zatem kąt \(AOB\) ma miarę: $$|\sphericalangle AOB|=180°-2\cdot51°=180°-102°=78°$$
Odpowiedź
D. $ 78^\circ $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 15 (0 - 1)

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AB\), a ponadto \(|AE|=|DE|=4\), \(|AB|=6\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CE\) ma długość

A. $ \frac{16}{3} $
B. $ \frac{8}{3} $
C. $ 8 $
D. $ 6 $
Rozwiązanie Trójkąty \(ABC\) oraz \(EDC\) są podobne (cecha kąt-kąt-kąt), zatem możemy zapisać prostą propocję: $$\frac{|CA|}{|AB|}=\frac{|CE|}{|ED|} \\ \frac{|CE|+4}{6}=\frac{|CE|}{4}$$ Mnożąc na krzyż otrzymamy: $$4\cdot(|CE|+4)=6|CE| \\ 4|CE|+16=6|CE| \\ 16=2|CE| \\ |CE|=8$$
Odpowiedź
C. $ 8 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość

A. $ 3\sqrt{2} $
B. $ 2\sqrt{3} $
C. $ 2\sqrt{6} $
D. $ 6\sqrt{2} $
Rozwiązanie Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy obliczyć, że: $$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ 6\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ 24\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\ a^2=24 \\ a=\sqrt{24} \quad\lor\quad a=-\sqrt{24}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=\sqrt{24}\), co możemy jeszcze rozpisać jako: $$a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$
Odpowiedź
C. $ 2\sqrt{6} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 17 (0 - 1)

Punkty \(B=(-2,4)\) i \(C=(5,1)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe

A. $ 29 $
B. $ 40 $
C. $ 58 $
D. $ 74 $
Rozwiązanie Obliczenie długości boku kwadratu. Skoro punktu \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odległość między tymi punktami jest równa długości boku kwadratu. Korzystając zatem ze wzoru na długość odcinka wyjdzie nam, że: $$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\ |BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} \\ |BC|=\sqrt{(5+2)^2+(-3)^2} \\ |BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2} \\ |BC|=\sqrt{49+9} \\ |BC|=\sqrt{58}$$ Obliczenie pola kwadratu. Skoro bok kwadratu jest równy \(\sqrt{58}\), to znaczy że: $$P=|BC|^2 \\ P=(\sqrt{58})^2 \\ P=58$$
Odpowiedź
C. $ 58 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 18 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy \(ABCD\) to

A. $ \sphericalangle SAO $
B. $ \sphericalangle SAB $
C. $ \sphericalangle SOA $
D. $ \sphericalangle ASB $
Rozwiązanie Kąt nachylenia krawędzi bocznej do ostrosłupa tworzą boki \(SA\) oraz \(AO\), zatem poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle SAO\).
Odpowiedź
A. $ \sphericalangle SAO $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 19 (0 - 1)

Graniastosłup ma \(14\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

A. $ 14 $
B. $ 21 $
C. $ 28 $
D. $ 26 $
Rozwiązanie Ustalenie jaki wielokąt znajduje się w podstawie graniastosłupa. Z własności graniastosłupa wynika, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków. W związku z tym: $$2n=14 \\ n=7$$ To oznacza, że w podstawie znajduje się siedmiokąt. Ustalenie liczby krawędzi ostrosłupa. Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. My już wiemy, że w przypadku tego graniastosłupa \(n=7\), zatem: $$3n=3\cdot7=21$$
Odpowiedź
B. $ 21 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(Ox\). Prosta \(k\) ma równanie

A. $ x-4=0 $
B. $ x-y=0 $
C. $ y+4=0 $
D. $ x+y=0 $
Rozwiązanie Jeżeli prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) to musi ona wyglądać w ten sposób: Widzimy wyraźnie, że prosta \(k\) wyraża się równaniem \(x=4\). Takiej odpowiedzi nie mamy, ale przenosząc czwórkę na lewą stronę otrzymamy \(x-4=0\) i to jest poszukiwane przez nas równanie.
Odpowiedź
A. $ x-4=0 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ \) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\) (zobacz rysunek). Prosta \(l\) ma równanie

A. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} $
B. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3} $
C. $ y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3} $
D. $ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3} $
Rozwiązanie Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\). Nasza prosta będzie wyrażać się wzorem \(y=ax+b\). Musimy teraz ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi iksów. W związku z tym: $$a=tg30° \\ a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Ustalenie wartości współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina się z osią igreków. Widzimy, że prosta przecina oś igreków dla \(y=-\sqrt{3}\), zatem \(b=-\sqrt{3}\). To oznacza, że prosta \(l\) wyrażona jest równaniem \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\).
Odpowiedź
A. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 22 (0 - 1)

Dany jest stożek o wysokości \(6\) i tworzącej \(3\sqrt{5}\). Objętość tego stożka jest równa

A. $ 36\pi $
B. $ 18\pi $
C. $ 108\pi $
D. $ 54\pi $
Rozwiązanie Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację: Obliczenie długości promienia podstawy. Do objętości potrzebna nam jest znajomość promienia podstawy, a tę wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa: $$r^2+h^2=l^2 \\ r^2+6^2=(3\sqrt{5})^2 \\ r^2+36=9\cdot5 \\ r^2+36=45 \\ r^2=9 \\ r=3 \quad\lor\quad r=-3$$ Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo promień musi mieć dodatnią długość, zatem \(r=3\). Obliczenie objętości stożka. Mamy już wszystkie potrzebne miary, zatem podstawiając do wzoru na objętość stożka otrzymamy: $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot h \\ V=\frac{1}{3}πr^2\cdot h \\ V=\frac{1}{3}π\cdot3^2\cdot6 \\ V=\frac{1}{3}π\cdot9\cdot6 \\ V=3π\cdot6 \\ V=18π$$
Odpowiedź
B. $ 18\pi $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 23 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

A. $ 8 $
B. $ 9 $
C. $ 10 $
D. $ 16 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości \(x\). Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że: $$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9 \\ \frac{x+56}{8}=9 \\ x+56=72 \\ x=16$$ Uporządkowanie wszystkich wyrazów. Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej): $$2,4,6,8,10,12,14,16$$ Wyznaczenie mediany. Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem: $$m=\frac{8+10}{2} \\ m=\frac{18}{2} \\ m=9$$
Odpowiedź
B. $ 9 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż \(2017\)?

A. $ 2016 $
B. $ 2017 $
C. $ 1016 $
D. $ 1017 $
Rozwiązanie Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2017\) to: $$1000,1001,1002,...,2015,2016$$ Ile jest tych liczb? Jak wykonamy odejmowanie \(2016-1000\) to otrzymamy zły wynik. Wydaje się to nielogiczne, ale zastanówmy się co by było, gdyby zadanie brzmiało: "ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych od \(1002\)?". My wiemy że są tylko dwie takie liczby: \(1000\) oraz \(1001\). Gdybyśmy wtedy wykonali działanie \(1001-1000\) to także wyszłaby nam nieprawda. Jak więc do tego zadania podejść poprawnie? Wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(2017\) jest \(2016\), bo są to liczby od \(1\) do \(2016\). Od tej puli \(2016\) liczb naturalnych musimy odrzucić \(999\) liczb, które nie są czterocyfrowe (od \(1\) do \(999\)) i wtedy dowiemy się ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2017\). Zatem: $$2016-999=1017$$
Odpowiedź
D. $ 1017 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

Z pudełka, w którym jest tylko \(6\) kul białych i \(n\) kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{1}{3}\). Liczba kul czarnych jest równa

A. $ n=9 $
B. $ n=2 $
C. $ n=18 $
D. $ n=12 $
Rozwiązanie W pudełku jest \(6+n\) kul (n - liczba kul czarnych). Losujemy jedną kulę, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6+n\). Sprzyjającymi zdarzeniami wylosowanie kuli białej \(|A|=6\), a prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{1}{3}\). Otrzymujemy: $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \\ \frac{1}{3}=\frac{6}{6+n} \quad\bigg/\cdot(6+n) \\ \frac{1}{3}\cdot(6+n)=6 \\ 2+\frac{1}{3}n=6 \\ \frac{1}{3}n=4 \\ n=12$$
Odpowiedź
D. $ n=12 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2+x-6\le 0\).

Odpowiedź
\(x\in\left\langle-2, \frac{3}{2}\right\rangle\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \((x^2-6)(3x+2)=0\).

Odpowiedź
\(x=\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{6} \lor x=-\frac{2}{3}\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 28 (0 - 2)

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge 4.\)


Matura 2017 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ \) i \(|\sphericalangle ABC|=60^\circ \). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).


Matura 2017 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Ze zbioru liczb \(\{1,2,4,5,10\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 2)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a\_n)\), określony dla \(n\ge 1\), w którym spełniona jest równość \(a\_{21}+a\_{24}+a\_{27}+a\_{30}=100\). Oblicz sumę \(a\_{25}+a\_{26}\).

Odpowiedź
\(a_{25}+a_{26}=50\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 4)

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Odpowiedź
\(-\frac{16}{3}\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 33 (0 - 4)

Punkt \(C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \(ABC\), którego wierzchołek \(A\) leży na osi \(Ox\), a wierzchołek \(B\) na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka \(C\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(D=(3,4)\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \(AB\).

Odpowiedź
\(A=\left(\frac{25}{3},0\right)\), \(B=\left(0,\frac{25}{4}\right)\), \(|AB|=\frac{125}{12}\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 34 (0 - 5)

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB=90^\circ |\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Odpowiedź
\(V=192\)