Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 1 (0 - 1)

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

A. $ 4 $
B. $ 1 $
C. $ \sqrt{2} $
D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $
Wzór

Dla dowolnych liczb $a$, $b$: $$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$( a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$( a + b )^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$( a - b )^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

▸ Więcej wzorów z działu Wzory skroconego mnozenia
Rozwiązanie

Wykorzystaj wzory skróconego mnożenia

I sposób

$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1 \\ x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1 \\ x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1 \\ x=\sqrt{2}+1$$ Na podstawie wzóru skróconego mnożenia: $$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$ Teraz podstawiamy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\) $$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$

II sposób

Możemy od razu podstawić do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale trzeba uważać, żeby nie pomylić się w rachunkach
Odpowiedź
A. $ 4 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 2 (0 - 1)

Dane są liczby: \(a=\log_{\frac{1}{2}}8\), \(b=\log_48\), \(c=\log_4\frac{1}{2}\). Liczby te spełniają warunek

A. $ a\gt b\gt c $
B. $ b\gt a\gt c $
C. $ c\gt b\gt a $
D. $ b\gt c\gt a $
Odpowiedź
D. $ b\gt c\gt a $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 3 (0 - 1)

Wskaż liczbę spełniającą nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)\gt 0\).

A. $ 5 $
B. $ 16 $
C. $ -4 $
D. $ -2 $
Rozwiązanie Motodą eliminacji podstawiamy kolejno każdą z odpowiedzi: Odp. A. \(x=5\) \((4-5)(5+3)(5+4)\gt0 \\ -1\cdot8\cdot9\gt0 \\ -72\gt0\) Nierówność jest fałszywa. Odp. B. \(x=16\) \((4-16)(16+3)(16+4)\gt0 \\ -12\cdot19\cdot20\gt0 \\ -4560\gt0\) Nierówność jest fałszywa. Odp. C. \(x=-4\) \((4-(-4)(-4+3)(-4+4)\gt0 \\ 8\cdot(-1)\cdot0\gt0 \\ 0\gt0\) Nierówność jest fałszywa. Odp. D. \(x=-2\) \((4-(-2))(-2+3)(-2+4)\gt0 \\ 6\cdot1\cdot2\gt0 \\ 12\gt0\) Nierówność jest prawdziwa.
Odpowiedź
D. $ -2 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 4 (0 - 1)

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

A. $ 2200 $ złotych
B. $ 2300 $ złotych
C. $ 2400 $ złotych
D. $ 3000 $ złotych
Rozwiązanie Jeśli cena komputera przed obniżkami to C. Cena komputera po pierwszej obniżce $$C-0,1C=0,9C.$$ Cena komputera po drugiej obniżce $$0,9\cdot0,9 C=0,81C$$ Po dwóch obniżkach komputer kosztował \(1944\) złotych, czyli: $$0,81C=1944zł \quad\bigg/ : 0,81 \\ C=2400zł.$$
Odpowiedź
C. $ 2400 $ złotych

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 5 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle \), gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\). Stąd wynika, że

A. $ k=9 $
B. $ k=11 $
C. $ k=21 $
D. $ k=31 $
Rozwiązanie

I sposób

Pierwszą liczbą całkowitą, która jest większa od -10 jest -9. Jak będziemy sumować to zauważmy, że $$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$ W zadaniu suma liczb całkowitych jest równa \(21\). Suma od -9 do 9 jest równa 0, to idąc dalej, czyli dodając \(10\) oraz \(11\) otrzymamy \(21\), więc k = 11.

II sposób

Możemy użyć wzory na sumę ciągu arytmetycznego
Odpowiedź
B. $ k=11 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 6 (0 - 1)

Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)

A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
D. nie ma rozwiązań.
Rozwiązanie

Zacznij od wyznaczenia dziedziny.

Dziedzina funkcji $$2x+1\neq0 \\ 2x\neq-1 \\ x\neq-\frac{1}{2}$$ To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\). Rozwiązanie równania. Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika: $$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1) \\ x\cdot(2x+1)-1=0 \\ 2x^2+x-1=0$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe \(a=2,\,b=1,\,c=-1\) $$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$. Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).
Odpowiedź
A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 7 (0 - 1)

Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

A. $ 2 $
B. $ 0 $
C. $ 1 $
D. $ 6 $
Rozwiązanie

Potrzeby jest kalkulator

Dzielimy na kalkulatorze \(224\) przez \(1111\) i otrzymujemy: $$224:1111=0,20162016...=0,(2016)$$ Okres ułamka składa się z czterech liczb, dlatego czwartą, ósmą, dwunastą, szesnastą i w konsekwencji dwudziestą liczbą po przecinku jest 6.
Odpowiedź
D. $ 6 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 8 (0 - 1)

Liczba \(\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\) jest równa

A. $ 0 $
B. $ 2^{20}-2 $
C. $ 2^{19} $
D. $ 4-2^{10} $
Wzór

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie Wykonując działania na potęgach możemy zapisać, że: $$\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}=\frac{(2^3)^{20}-2\cdot(2^2)^{20}}{2^{20}\cdot (2^2)^{10}}= \\ \frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{20}\cdot2^{20}}=\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{40}}= \\ \frac{2^{40}\cdot(2^{20}-2)}{2^{40}}=2^{20}-2$$
Odpowiedź
B. $ 2^{20}-2 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne -2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa

A. $ -8 $
B. $ -\frac{1}{2} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ 8 $
Rozwiązanie Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy: $$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2 \\ f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2 \\ f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2 \\ f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1 \\ f(2)=-\frac{2}{4} \\ f(2)=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
B. $ -\frac{1}{2} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 10 (0 - 1)

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle \) jest

A. $ 4 $
B. $ 3 $
C. $ 0 $
D. $ 5 $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.

W treści zadania jest funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej, z której odczytujemy \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2,4)\). Zauważamy, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\). Obliczamy wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\): $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \\ f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$ Największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).
Odpowiedź
B. $ 3 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla

A. $ m=1 $
B. $ m=0 $
C. $ m=-1 $
D. $ m=-2 $
Odpowiedź
C. $ m=-1 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 12 (0 - 1)

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.

A.
B.
C.
D.
Odpowiedź
D.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 13 (0 - 1)

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\ge1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A. $ q=\frac{2}{3} $
B. $ q=\frac{3}{2} $
C. $ q=6 $
D. $ q=5 $
Rozwiązanie Wiedząc, że \(q=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) możemy równanie z treści zadania rozpisać w następujący sposób: $$3a_{2}=2a_{3} \quad\bigg/:a_{2} \\ 3=\frac{2a_{3}}{a_{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\ \frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3}{2} \\ q=\frac{3}{2}$$
Odpowiedź
B. $ q=\frac{3}{2} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 14 (0 - 1)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

A. $ r=-16 $
B. $ r=-\frac{1}{2} $
C. $ r=-\frac{1}{32} $
D. $ r=15\frac{1}{2} $
Rozwiązanie Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru - to będzie liczba znajdująca się przed \(n\). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów, to możemy po prostu obliczyć wartość np. pierwszego oraz drugiego wyrazu (podstawiając \(n=1\) oraz \(n=2\)) i z nich wyznaczyć różnicę: $$a_{1}=16-\frac{1}{2}\cdot1=16-\frac{1}{2}=15\frac{1}{2} \\ a_{2}=16-\frac{1}{2}\cdot2=16-1=15$$ Teraz znając wartości dwóch wyrazów możemy bez przeszkód obliczyć różnicę ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \\ r=15-15\frac{1}{2} \\ r=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
B. $ r=-\frac{1}{2} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 15 (0 - 1)

Liczba \(1-\operatorname{tg} 40^\circ \) jest

A. ujemna.
B. dodatnia, ale mniejsza od $ 0{,}1 $
C. większa od $ 0{,}1 $, ale mniejsza od $0{,}5$
D. większa od $0{,}5$
Rozwiązanie Z tablic matematycznych możemy odczytać, że \(tg40°\approx0,8391\). W związku z tym: $$1-tg40°=1-0,8391=0,1609$$ To oznacza, że otrzymany wynik jest większy od \(0,1\), ale mniejszy od \(0,5\).
Odpowiedź
C. większa od $ 0{,}1 $, ale mniejsza od $0{,}5$

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 16 (0 - 1)

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AOC\) jest równe

A. $ \frac{1}{2}r^2 $
B. $ \frac{1}{4}r^2 $
C. $ \frac{\pi}{4}r^2 $
D. $ \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 $
Rozwiązanie Odcinki \(OC\) oraz \(BC\) są na pewno sobie równe, a to dlatego że mają długość promienia okręgu. Skoro więc z założeń zapisanych w treści zadania wynika, że odcinek \(BC\) jest równy odcinkowi \(OB\), to znaczy że trójkąt \(OBC\) jest równoboczny: Obliczenie miary kąta \(AOC\). Skoro trójkąt \(OBC\) jest równoboczny, to znaczy że wszystkie jego kąty mają miarę \(60°\). Jeden z kątów tego trójkąta (a dokładniej kąt \(COB\)) jest kątem przyległym do kąta \(AOC\). Skoro suma kątów przyległych jest równa \(60°\), to oznacza, że: $$|\sphericalangle AOC|=180°-60°=120°$$ Obliczenie wartości \(sin120°\). Do obliczenia pola powierzchni trójkąta \(AOC\) będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole trójkąta: $$P=\frac{1}{2}ab\cdot \sin\alpha$$ W związku z tym za chwilę potrzebować znać wartość \(sin120°\), a tej nie ma zapisanej w tablicach matematycznych. Musimy więc skorzystać ze wzorów redukcyjnych np.: $$sin(90°+\alpha)=\cos\alpha \\ sin120°=sin(90°+30°)=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Obliczenie pola trójkąta \(AOC\). Teraz możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem. W naszym przypadku \(a=r\) oraz \(b=r\), zatem: $$P=\frac{1}{2}ab\cdot \sin\alpha \\ P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot sin120° \\ P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ P=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$
Odpowiedź
D. $ \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 17 (0 - 1)

Okrąg o środku \(S_1=(2,1)\) i promieniu \(r\) oraz okrąg o środku \(S_2=(5,5)\) i promieniu \(4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy

A. $ r=1 $
B. $ r=2 $
C. $ r=3 $
D. $ r=4 $
Rozwiązanie Obliczenie długości między środkami okręgów. Znamy współrzędne obydwu punktów. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zatem zapisać, że: $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{S_{2}}-x_{S_{1}})^2+(y_{S_{2}}-y_{S_{1}})^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{3^2+4^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{9+16} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{25} \\ |S_{1}S_{2}|=5$$ Obliczenie długości promienia małego okręgu. Z rysunku widzimy, że odcinek \(S_{1}S_{2}\) jest sumą długości promieni małego i dużego okręgu. Skoro promień dużego okręgu ma miarę \(R=4\), to: $$|S_{1}S_{2}|=r+R \\ 5=r+R \\ 5=r+4 \\ r=1$$
Odpowiedź
A. $ r=1 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 18 (0 - 1)

Długości boków trapezu równoramiennego są równe \(12, 13, 2, 13\). Wysokość \(h\) tego trapezu jest równa

A. $ 5 $
B. $ 8 $
C. $ 10 $
D. $ 12 $
Rozwiązanie Korzystając z własności trapezu równoramiennego możemy narysować taką oto sytuację: Obliczenie wysokości trapezu. Wysokość trapezu obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: $$5^2+h^2=13^2 \\ 25+h^2=169 \\ h^2=144 \\ h=12 \quad\lor\quad h=-12$$ Z racji tego iż wysokość nie może być ujemna, to zostaje nam \(h=12\).
Odpowiedź
D. $ 12 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 19 (0 - 1)

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku \(4:3:3:2\). Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

A. $ 60^\circ $
B. $ 50^\circ $
C. $ 40^\circ $
D. $ 30^\circ $
Rozwiązanie Skoro kąty w czworokącie mają stosunek miar równy \(4:3:3:2\) to możemy zapisać, że miary tych kątów są równe: \(4x,3x,3x,2x\). Suma miar kątów w czworokącie jest równa zawsze \(360°\), zatem: $$4x+3x+3x+2x=360° \\ 12x=360° \\ x=30°$$ Najmniejszy kąt ma miarę \(2x\), czyli \(2\cdot30°=60°\).
Odpowiedź
A. $ 60^\circ $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 20 (0 - 1)

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \(27\pi\). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

A. $ 9 $
B. $ 6 $
C. $ 3 $
D. $ 2 $
Rozwiązanie Objętość walca możemy wyliczyć ze wzoru: $$V=πr^2\cdot H$$ Z treści zadania wynika, że \(H=r\), zatem: $$V=πr^2\cdot r \\ V=πr^3 \\ 27π=πr^3 \\ 27=r^3 \\ r=3$$
Odpowiedź
C. $ 3 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 21 (0 - 1)

Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

A. $ \frac{4}{3} $
B. $ 12 $
C. $ \sqrt{17} $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Narysujmy sobie stożek, zaznaczając na nim kąt \(\alpha\) którego tangens będziemy musieli wyznaczyć: To oznacza, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{r}\). Stworzenie i rozwiązanie równania. Z treści zadania wynika, że stożek oraz kula mają jednakowy promień, a ich objętości są sobie równe, zatem: $$\frac{1}{3}πr^2H=\frac{4}{3}πr^3 \quad\bigg/:πr^2 \\ \frac{1}{3}H=\frac{4}{3}r \quad\bigg/\cdot3 \\ H=4r \\ \frac{H}{r}=4$$ W pierwszym kroku ustaliliśmy, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{r}\), zatem \(\operatorname{tg}\alpha=4\).
Odpowiedź
D. $ 4 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 22 (0 - 1)

Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

A. $ 0{,}5 $
B. $ 1 $
C. $ 2 $
D. $ 2{,}5 $
Rozwiązanie Obliczenie liczby książek przeczytanych przez ankietowanych. Zgodnie z informacjami w tabelce liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa: $$23\cdot0+14\cdot1+28\cdot2+17\cdot3+11\cdot4+7\cdot5= \\ =0+14+56+51+44+35=200$$ Obliczenie średniej arytmetycznej. Skoro \(100\) osób przeczytało \(200\) książek, to średnia liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa: $$\frac{200}{100}=2$$
Odpowiedź
C. $ 2 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 23 (0 - 1)

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \(15\). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

A. $ 9 $
B. $ 7 $
C. $ 6 $
D. $ 5 $
Rozwiązanie Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków. Wiemy, że suma krawędzi i wierzchołków jest równa \(15\), zatem: $$3n+2n=15 \\ 5n=15 \\ n=3$$ To oznacza, że w podstawie graniastosłupa znajduje się trójkąt. Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, liczba krawędzi będzie równa \(3n\), czyli \(3\cdot3=9\).
Odpowiedź
A. $ 9 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 24 (0 - 1)

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry \(0\) i \(2\), jest równa

A. $ 8\cdot 8\cdot 8\cdot 3 $
B. $ 8\cdot 7\cdot 6\cdot 3 $
C. $ 8\cdot 10\cdot 10\cdot 4 $
D. $ 9\cdot 8\cdot 7\cdot 4 $
Rozwiązanie Ustalmy na ile sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby. Pierwszą cyfrę możemy wpisać na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) Drugą cyfrę możemy wpisać także na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) Trzecią cyfrę możemy wpisać również na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) Czwartą cyfrę możemy wpisać na \(3\) sposoby: \(\{4,6,8\}\), bo musi być to liczba parzysta W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia możemy takich liczb utworzyć: $$8\cdot8\cdot8\cdot3$$
Odpowiedź
A. $ 8\cdot 8\cdot 8\cdot 3 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 25 (0 - 1)

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

A. $ \frac{1}{16} $
B. $ \frac{3}{8} $
C. $ \frac{1}{4} $
D. $ \frac{3}{4} $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. W każdym losowaniu możemy trafić na jedną z dwóch kul: czarną lub białą. Skoro więc losujemy kule czterokrotnie, to wszystkich możliwych kombinacji losowania mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\). Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie dokładnie trzech białych kul. To oznacza, że sprzyjającymi zdarzeniami będą: $$(b,b,b,c), (b,b,c,b), (b,c,b,b), (c,b,b,b)$$ Są to więc tylko cztery takie przypadki, zatem możemy zapisać, że \(|A|=4\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{1}{4} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x\lt 0\).

Wzór

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $$f ( x ) = ax^2 + bx + c$$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $ax^2 + bx + c = 0$ ), zależy od wyróżnika $$\Delta = b^2 - 4ac :$$ $$\text{- gdy } \Delta < 0,$$ to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), $$\text{ - gdy }\Delta = 0,$$ to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$ $$\text{- gdy }\Delta >0,$$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$

Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap polega na obliczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na zapisaniu zbioru rozwiązań nierówności.

I sposób

Wyłączamy czynnik $(1− x)$ przed nawias i zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej $(1− x)(2x +1)< 0$, a następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego $y=(1−x)(2x+1)$ $$ x_{1}=1 \text { oraz } x_{2}=-\frac{1}{2} $$

II sposób

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci $−2x^2 +x+1<0$ obliczamy wyróżnik tego trójmianu: $$\Delta=1−4⋅(−2)⋅1=9$$ Pierwiastki równania $$ x_{1}=\frac{-1-3}{-4}=1 \text { oraz } x_{2}=\frac{-1+3}{-4}=-\frac{1}{2} $$
Odpowiedź
Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: $$ \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(1,+\infty) $$

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

I sposób

Ponieważ prosta o równaniu $x = 7$ jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, więc pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa $7$, czyli $$ -\frac{b}{2 a}=7, -\frac{b}{2}=7 $$ Stąd $b=−14$. Wykres funkcji przechodzi przez punkt $A = (0, −5)$, więc wyraz wolny $c$ we wzorze funkcji jest równy $c = −5 $.

II sposób

Ponieważ prosta o równaniu x = 7 jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, więc wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej $$ f(x)=(x-7)^{2}+q $$ Punkt A = (0, −5) leży na tym wykresie, wiec f (0) = −5 , czyli $$ \begin{array}{c}{-5=(0-7)^{2}+q} \\ {-5=49+q} \\ {q=-54}\end{array} $$ Zatem $f ( x ) = ( x − 7 )^2 − 54 $. Przekształcając tę postać kanoniczną do postaci ogólnej, otrzymujemy $$f(x)=x^{2}-14 x+49-54$$ $$f(x)=x^{2}-14 x-5$$
Odpowiedź
Wartości współczynników b i c są równe: $$b = −14 , c = −5$$

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 28 (0 - 2)

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).

Rozwiązanie Niech n , n +1, n + 2 , n + 3 będą czterema kolejnymi liczbami naturalnymi. Sumujemy kwadraty tych liczb i odpowiednio tę sumę porządkujemy:$$ n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+(n+3)^{2} $$ $$=4 n^{2}+12 n+14 $$ $$= 4 n^{2}+12 n+8+6 $$ $$=4\left(n^{2}+3 n+2\right)+6$$ $$=4(n+1)(n+2)+6$$ Oczywiście liczba postaci 4(n +1)(n + 2) jest podzielna przez 4 . Ponadto n +1 i n + 2 to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest parzysta. Zatem iloczyn 4(n +1)(n + 2) jest podzielny przez 4 i przez 2, czyli jest podzielny przez 8. Stąd wynika, że liczba 4(n +1)(n + 2)+ 6 przy dzieleniu przez 8 daje resztę równą 6. To kończy dowód.
Odpowiedź
Wykazano rozpisując iloczyn czterech liczb naturalnych.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 29 (0 - 2)

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.

Wzór

Cechy przystawania trójkątów. To, że dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są przystające $( \Delta ABC \equiv \Delta DEF )$, możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów: $$\text{- cecha przystawania bok - bok - bok:}$$ odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: $|AB| = |DE|, |AC| = |DF|, |BC| = |EF|$ $$\text{ cecha przystawania bok - kąt - bok:}$$ dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. $|AB| = |DE|$ , $|AC| = |DF|$ ,$|\angle BAC| =| \angle EDF|$ $$\text{ cecha przystawania kąt - bok - kąt:}$$ jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. $|AB| = |DE|$ , $|\angle BAC| =| \angle EDF|$ , $|\angle ABC| =| \angle DEF|$

▸ Więcej wzorów z działu Planimetria
Rozwiązanie
Dorysowujemy odcinek FG, taki że punkt G jest środkiem odcinka EC. Ponieważ EC = 2DE , więc otrzymujemy równość DE = EG = GC. Zatem GC = FB ,a skoro $\sphericalangle $GCB = $\sphericalangle $FBC =90°,więc $\sphericalangle $FGC =90°,skądwynika,że trójkąt FEG jest prostokątny. Ponieważ AD=FG, $\sphericalangle $ADE= $\sphericalangle $FGE=90° i DE=EG, więc z cechy bkb wnioskujemy, że trójkąty AED i FEG są przystające. Niech $\sphericalangle $DAE = \alpha . Wtedy z przystawania tych trójkątów wnosimy, że $\sphericalangle $EFG = \alpha . Ponieważ odcinki PC i FG są równoległe, więc $\sphericalangle $FPB = $\sphericalangle $EFG = \alpha (kąty odpowiadające). Ponieważ $\sphericalangle $FPB = $\sphericalangle $EFG =\alpha BF = DE , $\sphericalangle $PBF =90°= $\sphericalangle $ADE oraz,zatemnamocy cechy kbk trójkąty AED i PFB są przystające.
Odpowiedź
Wykazano korzystając z podobieństwa trójkątów.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 30 (0 - 2)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }\).

Rozwiązanie Równanie $ \sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2} $ podnosimy obustronnie do kwadratu $$ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha=2 $$ a następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy $ 1+2 \sin \alpha \cos \alpha=2,$ zatem $ \sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{2} $ Następnie korzystamy ze związku między funkcjami tego samego kąta $$ \operatorname{tg} \alpha+\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $$ $$=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$ $$=\frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$$ $$=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2 $$
Odpowiedź
\(2\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 31 (0 - 2)

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od \(0\) do \(4\)) i liczbę uzyskanych reszek (również od \(0\) do \(4\)). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Za każdym razem rzucając monetą możemy otrzymać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. Skoro rzucamy monetą czterokrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych będzie \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2\). Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której orłów jest więcej niż reszek. Wypiszmy sobie te zdarzenia: $$(O,O,O,O), (O,O,O,R), (O,O,R,O), (O,R,O,O), (R,O,O,O)$$ Widzimy, że takich zdarzeń jest dokładnie pięć, więc możemy zapisać, że \(|A|=5\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{16}$$
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{5}{16}\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 32 (0 - 5)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź
\(P_{b}=96\sqrt{41}\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 33 (0 - 4)

W ciągu arytmetycznym $(a\_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S\_{10}=\frac{15}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Odpowiedź
\(a_{1}=-\frac{3}{4}\) oraz \(r=\frac{1}{4}\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 34 (0 - 4)

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

Odpowiedź
\(B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\)