Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Liczba \(2\log_36-\log_34\) jest równa

A. $ \log_38 $
B. $ 2\log_32 $
C. $ 4 $
D. $ 2 $
Wzór

Dla dowolnych liczb $x > 0$ , $y > 0$ oraz $r$ zachodzą wzory: $$\log_a ( x \cdot y ) = \log_a x + \log_a y$$ $$\log_a x^r = r \cdot \log_a x$$ $$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

▸ Więcej wzorów z działu Logarytmy
Rozwiązanie

Pewniak Maturalny

$$ 2\log_3 6-\log_3 4 = \log_3 6^2-\log_3 4 $$ $$= \log_3 \frac{6\cdot 6}{4} = \log_3 3^2 = 2$$
Odpowiedź
D. $ 2 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

A. $ \frac{3}{2} $
B. $ \frac{9}{4} $
C. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ \frac{3}{2\sqrt[3]{21}} $
Wzór

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie $$\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}} $$ $$= \sqrt[3]{\frac{7}{3} \frac{81}{56}}$$ $$ = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$$
Odpowiedź
A. $ \frac{3}{2} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 3 (0 - 1)

Dane są liczby \(a=3{,}6\cdot 10^{-12}\) oraz \(b=2{,}4\cdot 10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy

A. $ 8{,}64\cdot 10^{-32} $
B. $ 8{,}64\cdot 10^{32} $
C. $ 1{,}5\cdot 10^{-8} $
D. $ 1{,}5\cdot 10^{8} $
Wzór

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby $a$ definiujemy jej $n$-tą potęgę: $$a^n = \underbrace{a \cdot \dots \cdot a}_{\text{n razy}}$$

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie $$ \frac{3{,}6\cdot 10^{-12}}{2{,}4\cdot 10^{-20}} = \frac{3{,}6}{2{,}4}10^{-12+20} = 1{,}5 \cdot 10^{8}$$
Odpowiedź
D. $ 1{,}5\cdot 10^{8} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\) zł. Przed obniżką ten rower kosztował

A. $ 1000,00 $ zł
B. $ 977,50 $ zł
C. $ 865,00 $ zł
D. $ 850,15 $ zł
Rozwiązanie $$ c - 15\% c = 850$$ $$ 0{,}85 c = 850$$ $$ c = \frac{850}{0{,}85} = 1000$$
Odpowiedź
A. $ 1000,00 $ zł

Matura 2018 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}\gt \frac{1}{3}\) jest przedział

A. $ \Biggl( \frac{1}{6}, +\infty \Biggl) $
B. $ \Biggl( \frac{2}{3}, +\infty \Biggl) $
C. $ \Biggl( -\infty ,\frac{1}{6} \Biggl) $
D. $ \Biggl( -\infty ,\frac{2}{3} \Biggl) $
Rozwiązanie $$\frac{1-2x}{2}\gt \frac{1}{3}$$ $$3-6x\gt 2$$ $$ 1 \gt 6x $$ $$ \frac{1}{6} \gt x $$
Odpowiedź
C. $ \Biggl( -\infty ,\frac{1}{6} \Biggl) $

Matura 2018 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x) = -2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

A. $ x_1 + x_2 = -8 $
B. $ x_1 + x_2 = 8 $
C. $ x_1 + x_2 = -2$
D. $ x_1 + x_2 = 2 $
Wzór

Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie Z postaci iloczynowej mozemy odczytać miejsca zerowe (rozwiązania) $x_1 = -3$ , $x_2 = 5$ $$ x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2$$
Odpowiedź
D. $ x_1 + x_2 = 2 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 7 (0 - 1)

Równanie \(\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} = 0\)

A. ma dwa rozwiązania: $x = 0, x = -2$
B. ma jedno rozwiązanie: $ x = 0 $
C. ma dwa rozwiązania: $ x = -2, x = 2 $
D. ma trzy rozwiązania: $ x = -2, x = 0, x = 2 $
Rozwiązanie Uwaga: $2$ i $-2$ nie nalezy do dziedziny (nie dzielimy przez zero), dlatego jedynym rozwiązaniem jest zero.
Odpowiedź
B. ma jedno rozwiązanie: $ x = 0 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = \frac{1}{3}x - 1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

A. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = \Biggl( 0, \frac{1}{3} \Biggl) $.
B. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = ( 0, -1) $.
C. Funkcja $f$ jest malejąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = \Biggl( 0, \frac{1}{3} \Biggl) $.
D. Funkcja $f$ jest malejąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = ( 0, -1) $.
Rozwiązanie Funkcja jest rosnąca poniewaz $\frac{1}{3} > 0$, dla $x=0$ $y = f(0) = -1$ i dlatego $P = (x,y) = (0,-1)$ należy do wykresu funkcji
Odpowiedź
B. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = ( 0, -1) $.

Matura 2018 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 6x - 3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

A. $ (-6, 69) $
B. $ (-6, -3) $
C. $ (6, -3) $
D. $ (3, -12) $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie $$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3,$$ $$ q=\frac{-\Delta}{4a} = -\frac{ (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}{4} = \frac{-(36+12)}{4} = -12$$
Odpowiedź
D. $ (3, -12) $

Matura 2018 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\), a punkt \(M = (3, -2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy

A. $ 1 $
B. $ \frac{3}{2} $
C. $ -\frac{3}{2} $
D. $ -1 $
Rozwiązanie Liczba $1$ jest miejscem zerowym tzn. $f(1)=0$, $$a\cdot 1 + b = 0 , b = -a $$ $M=(3,−2)$ należy do wykresu tzn. $ f(3) = -2$ $$ a\cdot 3 + b = -2 $$ $$ 3a -a = -2 $$ $$ a = -1$$
Odpowiedź
D. $ -1 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = \frac{5 - 2n}{6}\) dla \(n\ge 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $ r = -\frac{1}{3} $.
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $ r = -2 $.
C. geometryczny i jego iloraz jest równy $ q = -\frac{1}{3} $.
D. geometryczny i jego iloraz jest równy $ q = \frac{5}{6} $.
Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$

Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$ a_n = \frac{5 - 2n}{6} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} n = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} n $$ pasuje do ciagu arytmetycznego
Odpowiedź
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $ r = -2 $.

Matura 2018 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_4 + a_5 + a_6 = 12\). Wtedy

A. $ a_5 = 4 $
B. $ a_5 = 3 $
C. $ a_5 = 6 $
D. $ a_5 = 5 $
Wzór

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \text{ dla } n \ge 2 $$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$ a_5 = \frac{a_4 + a_6 }{2} $$ $$ 2 a_5 = a_4 + a_6$$ $$ a_4 + a_5 + a_6 = a_5 + 2 a_5 = 3 a_5 = 12 $$ $$a_5 = 4$$
Odpowiedź
A. $ a_5 = 4 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = 2\sqrt{2}\), \(a_3 = 4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. $ a_n = \bigl(\sqrt{2}\bigl)^n $
B. $ a_n = \Biggl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggl)^n $
C. $ a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}} $
D. $ a_n = \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigl)^n}{2} $
Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$: $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \text{ dla } n \ge 2$$

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $$ {a_n}^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1} \text{ dla } n \ge 2$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$ a_2 = a _ { 1} \cdot q $$ $$ 2\sqrt { 2} = \sqrt { 2} \cdot q , q = 2 $$ $$ a _ { n } = a _ { 1} \cdot q ^ { n - 1} = \sqrt { 2} \cdot 2^ { n - 1} = \sqrt { 2} \cdot 2^ { n - 1} \cdot \frac { \sqrt { 2} } { \sqrt { 2} } = \frac { 2\cdot 2^ { n - 1} } { \sqrt { 2} } = \frac { 2^ { n } } { \sqrt { 2} } $$
Odpowiedź
C. $ a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\alpha\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

A. $ 27^\circ\lt\alpha\le 30^\circ $
B. $ 24^\circ\lt\alpha\le 27^\circ $
C. $ 21^\circ\lt\alpha\le 24^\circ $
D. $ 18^\circ\lt\alpha\le 21^\circ $
Wzór

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

$\alpha [^\circ]$ $\sin(\alpha)$
$\cos(\beta)$
$\mathrm{tg}\alpha $ $\beta[^\circ]$
00,00000,000090
10,01750,017589
20,03490,034988
30,05230,052487
40,06980,069986
50,08720,087585
60,10450,105184
70,12190,122883
80,13920,140582
90,15640,158481
100,17360,176380
110,19080,194479
120,20790,212678
130,22500,230977
140,24190,249376
150,25880,267975
160,27560,286774
170,29240,305773
180,30900,324972
190,32560,344371
200,34200,364070
210,35840,383969
220,37460,404068
230,39070,424567
240,40670,445266
250,42260,466365
260,43840,487764
270,45400,509563
280,46950,531762
290,48480,554361
300,50000,577460
310,51500,600959
320,52990,624958
330,54460,649457
340,55920,674556
350,57360,700255
360,58780,726554
370,60180,753653
380,61570,781352
390,62930,809851
400,64280,839150
410,65610,869349
420,66910,900448
430,68200,932547
440,69470,965746
450,70711,000045
460,71931,035544
470,73141,072443
480,74311,110642
490,75471,150441
500,76601,191840
510,77711,234939
520,78801,279938
530,79861,327037
540,80901,376436
550,81921,428135
560,82901,482634
570,83871,539933
580,84801,600332
590,85721,664331
600,86601,732130
610,87461,804029
620,88291,880728
630,89101,962627
640,89882,050326
650,90632,144525
660,91352,246024
670,92052,355923
680,92722,475122
690,93362,605121
700,93972,747520
710,94552,904219
720,95113,077718
730,95633,270917
740,96133,487416
750,96593,732115
760,97034,010814
770,97444,331513
780,97814,704612
790,98165,144611
800,98485,671310
810,98776,31389
820,99037,11548
830,99258,14437
840,99459,51446
850,996211,43015
860,997614,30074
870,998619,08113
880,999428,63632
890,999857,29001
901,0000-0

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $$\sin\alpha = \frac{a}{c}\quad \sin\beta = \frac{b}{c} $$ $$\cos\alpha = \frac{b}{c}\quad \cos\beta = \frac{a}{c} $$ $$\mathrm{tg}\alpha = \frac{a}{b}\quad \mathrm{tg}\beta = \frac{b}{a} $$

▸ Więcej wzorów z działu Trygonometria
Rozwiązanie Obliczamy sinus $$\sin \alpha = \frac{3}{8} = 0{,}375$$ i sprawdzamy tablicę wartości funkcji trygonometrycznych
Odpowiedź
C. $ 21^\circ\lt\alpha\le 24^\circ $

Matura 2018 Maj. Zadanie 15 (0 - 1)

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

A. $ 10, 15, 20 $
B. $ 20, 45, 80 $
C. $ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4} $
D. $ \sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5} $
Rozwiązanie Sprawdzamy odpowiedzi $$\frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ $$\frac{3\sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ $$\frac{4\sqrt{5}}{20} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ wszystkie proporcje są jednakowe - udało się
Odpowiedź
A. $ 10, 15, 20 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 16 (0 - 1)

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha + \beta = 111^\circ\). Wynika stąd, że

A. $ \alpha = 74^\circ $
B. $ \alpha = 76^\circ $
C. $ \alpha = 70^\circ $
D. $ \alpha = 72^\circ $
Wzór

Kąty w okręgu. Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.

▸ Więcej wzorów z działu Planimetria
Rozwiązanie

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

$$ \frac{3}{2} \alpha = 111^\circ $$ $$ \alpha = \frac{2}{3} 111^\circ = \frac{222^\circ}{3} = 74^\circ $$
Odpowiedź
A. $ \alpha = 74^\circ $

Matura 2018 Maj. Zadanie 17 (0 - 1)

Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(|KL| = a\), \(|MN| = b\), \(a\gt b\). Kąt \(KLM\) ma miarę \(60^\circ\). Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa

A. $ a - b $
B. $ 2(a - b) $
C. $ a + \frac{1}{2}b $
D. $ \frac{a + b}{2} $
Wzór

Trapez. Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
Wzór na pole trapezu: $$P=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

▸ Więcej wzorów z działu Planimetria
Odpowiedź
B. $ 2(a - b) $

Matura 2018 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Punkt \(K = (2, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM| = |LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N = (4, 3).\) Zatem

A. $ L = (5, 3) $
B. $ L = (6, 4) $
C. $ L = (3, 5) $
D. $ L = (4, 6) $
Wzór

Odcinek. Długość odcinka o końcach w punktach $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$ dana jest wzorem: $$|AB| = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2}.$$ Współrzędne środka odcinka $AB$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right) $$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie Z treści zadania wynika, ze punkt $N$ jest środkiem odcinka $|KL|$. Oznaczmy $L = (x,y)$ $$ \frac{2+x}{2} = 4 , \frac{2+y}{2} = 3$$ $$ 2+x = 8 , 2+y = 6$$ $$x = 6, y = 4$$
Odpowiedź
B. $ L = (6, 4) $

Matura 2018 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Proste o równaniach \(y = (m + 2)x + 3\) oraz \(y = (2m - 1)x - 3\) są równoległe, gdy

A. $ m = 2 $
B. $ m = 3 $
C. $ m = 0 $
D. $ m = 1 $
Wzór

Para prostych. Dwie proste o równaniach kierunkowych $$y = a_1 x + b_1,\quad y = a_2 x + b_2$$ spełniają jeden z następujących warunków: $$\text{- są równoległe, gdy } a_1 = a_2$$ $$\text{- są prostopadłe, gdy } a_1 a_2 = -1$$ $$\text{- tworzą kąt ostry } \varphi \text { i } \mathrm{tg}\varphi =\frac{a_1 - a_2}{1 +a_1 a_2}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są sobie równe

$$ m+2 = 2m-1$$ $$ m = 3 $$
Odpowiedź
B. $ m = 3 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

A. $ \alpha = 45^\circ $
B. $ 45^\circ\lt \alpha \lt 60^\circ $
C. $ \alpha\gt 60^\circ $
D. $ \alpha = 60^\circ $
Rozwiązanie Boki trójkąta $KMS$ są sobie równe, ponieważ wszystkie są przekątymi kwadratów o boku długości $4$.
Odpowiedź
D. $ \alpha = 60^\circ $

Matura 2018 Maj. Zadanie 21 (0 - 1)

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(\alpha\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa

A. $ 5 $
B. $ 3\sqrt{2} $
C. $ 5\sqrt{2} $
D. $ \frac{5\sqrt{3}}{3} $
Rozwiązanie Przekątna podstawy jest równa $5$ z tw. Pitagorasa. Wysokość graniastosłupa równa się $5$ ponieważ trójkąt $ABC$ jest równoramienny
Odpowiedź
A. $ 5 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 22 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa

A. $ \frac{5}{3}\pi r^3 $
B. $ \frac{4}{3}\pi r^3 $
C. $ \frac{2}{3}\pi r^3 $
D. $ \frac{1}{3}\pi r^3 $
Wzór

Walec. $$P_b=2\pi rh$$ $$P=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością walca

Kula. $$P=4\pi r^2$$ $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$ gdzie $r$ jest promieniem kuli

▸ Więcej wzorów z działu Stereometria
Rozwiązanie Połowa sfery plus walec $$ \frac{1}{2}\frac{4}{3}\pi r^3 + \pi r^2 \cdot r = \frac{2}{3}\pi r^3+ \pi r^3 = \frac{5}{3}\pi r^3$$
Odpowiedź
A. $ \frac{5}{3}\pi r^3 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 23 (0 - 1)

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,…,2}\_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,…,4}\_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

A. $ 2 $
B. $ 1 $
C. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $
D. $ \sqrt{2} $
Wzór

Wariancja i odchylenie standardowe.
Wariancją $n$ danych liczbowych $a_1, a_2,\ldots,a_n$ o średniej arytmetycznej $\overline{a}$ jest liczba: $$\sigma^2=\frac{(a_1-\overline{a})^2+(a_2-\overline{a})^2+\ldots+(a_n-\overline{a})^2}{n}$$ $$= \frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}{n}-(\overline{a})^2$$ Odchylenie standardowe $\sigma$ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

▸ Więcej wzorów z działu Parametry danych statystycznych
Rozwiązanie Najpierw liczymy średnią $$\bar{a} = \frac{2\cdot m + 4 \cdot m}{2m} = 3 $$ i podstawiamy do wzoru na $\sigma^2$ $$ \sigma^2 = \frac{m\cdot(2-3)^2 + m\cdot (4-3)^2}{2m } = \frac{m\cdot(-1)^2 + m\cdot (1)^2}{2m } = \frac{m+m}{2m} = 1, \sigma = 1$$
Odpowiedź
B. $ 1 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 24 (0 - 1)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?

A. $ 402 $
B. $ 403 $
C. $ 203 $
D. $ 204 $
Rozwiązanie $$1000,1005,1010, ... ,2000,2005,2010,2015$$
Odpowiedź
D. $ 204 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

A. $ \frac{15}{35} $
B. $ \frac{1}{50} $
C. $ \frac{15}{50} $
D. $ \frac{35}{50} $
Rozwiązanie Kuponów wygrywających jest $50 - 15 = 35$
Odpowiedź
D. $ \frac{35}{50} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 3x \gt 5\).

Rozwiązanie $$2x^{ 2} - 3x > 5$$ $$2x^{ 2} - 3x - 5 > 0$$ Liczymy pierwiastki z Delty ($\Delta = 49$) $$x_1 = -1, x_2 = \frac{5}{2} $$ Ramiona skierowane w góre i przedziały otwarte: $$ x \in (-\infty,-1) \cup (\frac{5}{2},\infty)$$
Odpowiedź
$x \in ( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 5 } { 2 } , + \infty \right)$

Matura 2018 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\bigl(x^3 + 125 \bigl)\bigl(x^2 - 64\bigl) = 0\).

Rozwiązanie $$\left( x ^ { 3} + 125\right) \left( x ^ { 2} - 64\right) = 0 $$ $$\left( x ^ { 3} + 5^3\right) \left( x ^ { 2} - 8^2\right) = 0 $$ $$ (x+5)(x^2-5x+5^2)(x-8)(x+8) = 0 $$ $$ (x+5)(x^2-5x+5^2)(x-8)(x+8) = 0 $$ Dla $x^2-5x+25$ Delta jest ujemna. Zbiór rozwiązań $$x \in \{-8, -5, 8 \}$$
Odpowiedź
$x \in \{-8, -5, 8 \}$

Matura 2018 Maj. Zadanie 28 (0 - 2)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \ge \frac{2}{a + b}\).

Rozwiązanie $$ \frac { 1} { 2a } + \frac { 1} { 2b } \geq \frac { 2} { a + b } $$ $$ \frac { a+b} { 2a } + \frac { a+b} { 2b } \geq 2 $$ $$ \frac{1}{2} + \frac { b} { 2a } + \frac{1}{2} + \frac { a} { 2b } \geq 2 $$ $$ \frac { b} { 2a } + \frac { a} { 2b } \geq 1 $$ $$ \frac { b} { a } + \frac { a} { b } \geq 2 $$ $$ \frac { b (ab)} { a } + \frac { a(ab)} { b } \geq 2(ab) $$ $$ b^2 + a^2 \geq 2ab$$ $$ b^2 -2ab + a^2 \geq 0$$ $$ (b-a)^2 \geq 0.$$ nierówność zawsze prawdziwa. CKD.

Matura 2018 Maj. Zadanie 29 (0 - 2)

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\). Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2} - 1\).

Rozwiązanie Oznaczmy wierzchołek kąta przez X. Odcinek $|AX|$ to przekątna kwadratu $|AX| = 2\sqrt{2}$. Promień okręgu o środku $B$ nazwiemy $r$. Zapiszemy długość odcinka $|AX|$ na dwa sposoby: $$ 2\sqrt{2} = 2 + 2r + r\sqrt{2}-r $$ $$ 2\sqrt{2} -2 = r (1+ \sqrt{2}) $$ $$ r = \frac{2 }{ (1+ \sqrt{2}) }(\sqrt{2} -1) \le \sqrt{2} -1 $$ ponieważ $$\frac{2 }{ (1+ \sqrt{2}) } \le 1.$$

Matura 2018 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x) = a^x\) (gdzie \(a \gt 0\) i \(a \ne 1\)), należy punkt \(P = (2, 9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x) = f(x) - 2\).

Rozwiązanie Punkt $P=(2,9)$ należy do wykresu $$9 = a^2 \iff a = 3 ( \text{ bo } a>0)$$ Zbiór wartości funcji $$g(x) = 3^x - 2,\quad ZW = (-2,\infty )$$
Odpowiedź
$ZW = (-2,\infty )$

Matura 2018 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$

Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$S_{12} = \frac{a_1+a_{12}}{2} 12 $$ $$162 = \frac{a_1+30}{2} 12 $$ $$162 = (a_1+30 )6 $$ $$27 = a_1+30 $$ $$ a_1 = 27 -30 = -3 $$
Odpowiedź
$ a_1 = -3 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 32 (0 - 5)

W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Rozwiązanie Dla trójkąta prostokąt $ABC$ gdzie $A = (4,3)$, $B=(10,5)$, $C = (x,2x+3)$ zachodzi tw. Pitagorasa: $$ |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 $$ $$ (10-4)^2 + (5-3)^2 + (x-10)^2+(2x+3-5)^2 = (x-4)^2 + (2x+3-3)^2 $$ $$ 36+ 4 + x^2-20x + 100 + 4x^2 -8x +4 = x^2-8x + 16 + 4x^2 $$ $$ 40 -20x + 100 -8x +4 = -8x + 16 $$ $$ -20x = -128 $$ $$ x = \frac{128}{20} = \frac{32}{5} $$ $$ y = 2\frac{32}{5} + 3 = \frac{79}{5} $$
Odpowiedź
$C = (\frac{32}{5} ,\frac{79}{5} )$

Matura 2018 Maj. Zadanie 33 (0 - 4)

Dane są dwa zbiory: \(A = \{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Rozwiązanie
Liczba jest podzielna przez 3 jeśli suma cyfr jest podzialna przez 3. Wszystkich zdarzeń jest $$|A|\cdot |B| = 7\cdot 7 = 49.$$ Przedstawiamy sumę cyfr w tabelce i jeśli jest podzielna przez 3 wpisujemy tak: Na podstawie tabelki zliczamy zdarzenia sprzyjające. Jest ich $16$. $$P = \frac{16}{49}$$
Odpowiedź
$P = \frac{16}{49}$

Matura 2018 Maj. Zadanie 34 (0 - 4)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie Wiemy, ze pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej i graniastosłup jest prawidłowy (podstawa jest trójkątem równobocznym): $$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a\cdot h$$ $$ h = \frac{a\sqrt{3}}{4} $$ Pole powierzchni to 2 podstawy + 3 ściany: $$ (2+3) \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3}$$ $$ 5a^2 = 4\cdot 45$$ $$ a^2 = 4\cdot 9 = 36$$ $$ a = 6.$$ Objętość (pole podstawy razy wysokość): $$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{6^3\cdot 3}{16} = \frac{81}{2} .$$
Odpowiedź
$V=\frac{81}{2}$