Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o \(10\%\) zmniejszytła się o \(2018\) zł. Ten towar po tej obniżce kosztował

A. $ 20180 $ zł
B. $ 18162 $ zł
C. $ 2108 $ zł
D. $ 2028 $ zł
Rozwiązanie

Przeczytaj uważnie treść zadania

Jeśli C to początkowa cena towaru, a obniżka o 10% wyniosła 2018zł to: $$0,1 C =2018zł \quad\bigg/\cdot10 \\ C=20180zł$$ Towar kosztował na początku 20180zł. Obniżka wyniosła 2018zł , zatem po obniżce towar kosztował: $$20180zł-2018zł=18162zł$$
Odpowiedź
B. $ 18162 $ zł

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa

A. $ 2^{\frac{1}{6}} $
B. $ 2^{\frac{1}{5}} $
C. $ 2^{\frac{1}{3}} $
D. $ 2^{\frac{2}{3}} $
Wzór

Niech $m$, $n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: dla $a \neq 0:$ $$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ oraz } a^0=1,$$ dla $a\ge 0$: $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m},$$ dla $a>0$ $$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$$

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie

Zamień pierwiastek na potęgę

$$\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\sqrt{2^\frac{1}{3}} $$ $$=(2^\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}= 2^{\frac{1}{6}}$$
Odpowiedź
A. $ 2^{\frac{1}{6}} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Dane są liczby \(x=4{,}5\cdot 10^{-8}\) oraz \(y=1{,}5\cdot 10^{2}\). Wtedy iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy

A. $ 3\cdot 10^{-10} $
B. $ 3\cdot 10^{-6} $
C. $ 6{,}75\cdot 10^{-10} $
D. $ 6{,}75\cdot 10^{-4} $
Wzór

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie $$\frac{x}{y}=\frac{4,5\cdot10^{-8}}{1,5\cdot10^{2}}=\frac{4,5}{1,5}\cdot\frac{10^{-8}}{10^{2}} $$ $$=3\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}$$
Odpowiedź
A. $ 3\cdot 10^{-10} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba \(\log_496-\log_46\) jest równa

A. $ \log_490 $
B. $ \log_696 $
C. $ 4 $
D. $ 2 $
Wzór

Dla dowolnych liczb $x > 0$ , $y > 0$ oraz $r$ zachodzą wzory: $$\log_a ( x \cdot y ) = \log_a x + \log_a y$$ $$\log_a x^r = r \cdot \log_a x$$ $$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

▸ Więcej wzorów z działu Logarytmy
Rozwiązanie

Wzór na różnicę logarytmów

$$\log_{4}96-\log_{4}6=\log_{4}\frac{96}{6}=\log_{4}16=2$$
Odpowiedź
D. $ 2 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla

A. $ a=\sqrt{13} $
B. $ a=1 $
C. $ a=0 $
D. $ a=\sqrt{13}+1 $
Wzór

Dla dowolnych liczb $a$, $b$: $$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$( a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$( a + b )^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$( a - b )^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

▸ Więcej wzorów z działu Wzory skroconego mnozenia
Rozwiązanie

Użyj wzoru skróconego mnożenia

I sposób

$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$ porównujemy z prawą stroną równania: $$13+4\sqrt{3}=a^2+4\sqrt{3}+12$$ $$a = 1$$

II sposób

Metodą eliminacji podstaw kolejne odpowiedzi pod $a$ i sprawdź, która jest poprawna.
Odpowiedź
B. $ a=1 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y.\) wskaż ten układ.

A. $ \begin{cases} y=-2x+8 \\ y=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2} \end{cases} $
B. $ \begin{cases} y=2x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \end{cases} $
C. $ \begin{cases} y=x-1 \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \end{cases} $
D. $ \begin{cases} y=3x-7 \\ y=-\frac{2}{3}x+4 \end{cases} $
Rozwiązanie Odczytujemy z wykresu punkt przecięcia $$ x = 3, y = 2$$ Metodą eliminacji podstawiamy do układów równań.
Odpowiedź
B. $ \begin{cases} y=2x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \end{cases} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Rozwiązaniem równiania \(\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}\) jest liczba

A. $ -2 $
B. $ 2$
C. $ 4$
D. $ -4$
Rozwiązanie

Pamiętaj o dziedzinie funkcji

Dziedzina funkcji: nie dzielimy przez zero (mianownik różny od zera) $$3(x+2)\neq0 $$ $$x\neq-2$$ Mnożymy na krzyż: $$\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}$$ $$9\cdot(x-2)=3(x+2) $$ $$9x-18=3x+6$$ $$6x=24 $$ $$x=4$$
Odpowiedź
C. $ 4$

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Dane są funkcje \(f(x) = 3^x\) oraz \(g(x) = f(-x)\), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Punkt wspólny wykresów funkcji \(f\) i \(g\)

A. nie istnieje
B. ma współrzędne $(1, 0)$.
C. ma współrzędne $(0, 1)$.
D. ma współrzędne $(0, 0)$.
Rozwiązanie

Zrób rysunek

Punkt wspólny obliczymy ze wzoru: $$f(x) = 3^x = g(x) = f(-x) = 3^{-x}$$ $$3^x = 3^{-x}$$ Zauważmy, że równość zachodzi gdy $$x = -x $$ a to jest prawdziwe tylko dla $x=0$. Następnie dla $x=0$ $f(0) = 3^0 = 1$. Punkt przeciecia wykresów funkcji to $$P = (0,1)$$
Odpowiedź
C. ma współrzędne $(0, 1)$.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Punkt \( \bigl(1, \sqrt{3}\bigl)\) należy do wykresu funkcji \(y = 2\sqrt{3}x + b\). Współczynnik \(b\) jest równy

A. $ 7 $
B. $ 3\sqrt{3}$
C. $ -5$
D. $ -\sqrt{3} $
Rozwiązanie Podstawiamy \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) $$y=2\sqrt{3}x+b $$ $$\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b $$ odejmujemy stronami $-2\sqrt{3} $ $$b=-\sqrt{3}$$
Odpowiedź
D. $ -\sqrt{3} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 2x - 11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

A. $ (-2, -3) $
B. $ (-2, -12) $
C. $ (1, -8) $
D. $ (1, -12) $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Wykorzystaj wzory na wierzchołek paraboli W= (p,q)

Ze wzoru funkcji odczytujemy a=1 i =-2. Wynika z tego, że $$p=\frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot1} =\frac{2}{2} =1$$ Do obliczenia \(q\) musimy najpierw policzyć deltę($\Delta=b^2-4ac$): $$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-11)=4-(-44)=4+44=48$$ W związku z tym: $$q=\frac{-\Delta}{4a} =\frac{-48}{4\cdot1} =-12$$ Otrzymujemy współrzędne wierzchołka \(W= (p,q)=(1,-12)\).
Odpowiedź
D. $ (1, -12) $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x) = -3(x-2)(x-9)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

A. $ x_1 + x_2 = 11 $
B. $ x_1 + x_2 = -11 $
C. $ x_1 + x_2 = 33 $
D. $ x_1 + x_2 = -33$
Wzór

Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$

Wzory Viéte’a. Jeżli $\Delta \ge 0$ to $$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a},$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Odczytaj pierwiastki z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej

I sposób

Funkcja przedstawiona jest w postaci iloczynowej, zatem pierwiastkami (rozwiązaniami) są liczby dla których jeden z nawiasów jest równy zero. $$-3(x-2)(x-9)=0 \\ x-2=0 \quad\lor\quad x-9=0 $$ $$ x=2 \quad\lor\quad x=9$$ Funkcja ma dwa miejsca zerowe \(x_1=2, x_2=9\), zatem: $$x_{1}+x_{2}=2+9=11$$

II sposób

Mnożymy nawiasy i porzedstawiamy funkcję w postaci ogólnej $$f(x) = -3(x-2)(x-9) = -3x^2+33x-54.$$ Podstawiając do wzoru Viete'a $$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} =\frac{-33}{-3}=11 $$
Odpowiedź
A. $ x_1 + x_2 = 11 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Największą wartością funkcji \(y = -(x-2)^2 + 4\) w przedziale \(\langle 3, 5\rangle\) jest

A. $ 0 $
B. $ 5 $
C. $ 4 $
D. $ 3 $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.

Odczytujemy z tablic postać kanoniczną funkcji kwadratowej i z treści zadania odczytujemy \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2,4)\). Współrzędna x=2 wierzchołka nie należy do \(\langle3,5\rangle\). Teraz musimy sprawdzić wartości na brzegach przedziału \(x=3\) oraz \(x=5\). Podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy: $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3 $$ $$ f(5)=-(5-2)^2+4=-9+4=-5.$$ Największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).
Odpowiedź
D. $ 3 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n \ge 1\), spełnia warunek \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\). Wtedy

A. $ a_4 = 5 $
B. $ a_4 = 6 $
C. $ a_4 = 3 $
D. $ a_4 = 4 $
Wzór

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \text{ dla } n \ge 2 $$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie

Wykorzystaj własność sąsiednich wyrazów ciągu artymetycznego

$$a_{4}=\frac{ a_{3} + a_{5}}{2} $$ W związku z tym: $$a_{3}+a_{4}+a_{5}=15 \\ 2a_{4} +a_{4} =15 \\ 3a_{4}=15 \\ a_{4}=5$$
Odpowiedź
A. $ a_4 = 5 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x, x + 4, 16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa

A. $ 8 $
B. $ 4 $
C. $ 2 $
D. $ 0 $
Wzór

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $$ {a_n}^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1} \text{ dla } n \ge 2$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie

Wykorzystaj własność sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego

$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ $$(x+4)^2=x\cdot16 \\ x^2+8x+16=16x \\ x^2-8x+16=0$$ Liczymy deltę dla \(a=1,\,b=-8,\,c=16\) $$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$ Delta równa zero, otrzymujemy jedno rozwiązanie: $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$
Odpowiedź
B. $ 4 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 15 (0 - 1)

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(3\), a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) jest równa \(\sqrt{3}\). Zatem:

A. $ \alpha = 60^\circ $
B. $ \alpha \in (40^\circ, 60^\circ) $
C. $ \alpha \in (30^\circ, 40^\circ) $
D. $ \alpha = 30^\circ $
Wzór

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

$\alpha [^\circ]$ $\sin(\alpha)$
$\cos(\beta)$
$\mathrm{tg}\alpha $ $\beta[^\circ]$
00,00000,000090
10,01750,017589
20,03490,034988
30,05230,052487
40,06980,069986
50,08720,087585
60,10450,105184
70,12190,122883
80,13920,140582
90,15640,158481
100,17360,176380
110,19080,194479
120,20790,212678
130,22500,230977
140,24190,249376
150,25880,267975
160,27560,286774
170,29240,305773
180,30900,324972
190,32560,344371
200,34200,364070
210,35840,383969
220,37460,404068
230,39070,424567
240,40670,445266
250,42260,466365
260,43840,487764
270,45400,509563
280,46950,531762
290,48480,554361
300,50000,577460
310,51500,600959
320,52990,624958
330,54460,649457
340,55920,674556
350,57360,700255
360,58780,726554
370,60180,753653
380,61570,781352
390,62930,809851
400,64280,839150
410,65610,869349
420,66910,900448
430,68200,932547
440,69470,965746
450,70711,000045
460,71931,035544
470,73141,072443
480,74311,110642
490,75471,150441
500,76601,191840
510,77711,234939
520,78801,279938
530,79861,327037
540,80901,376436
550,81921,428135
560,82901,482634
570,83871,539933
580,84801,600332
590,85721,664331
600,86601,732130
610,87461,804029
620,88291,880728
630,89101,962627
640,89882,050326
650,90632,144525
660,91352,246024
670,92052,355923
680,92722,475122
690,93362,605121
700,93972,747520
710,94552,904219
720,95113,077718
730,95633,270917
740,96133,487416
750,96593,732115
760,97034,010814
770,97444,331513
780,97814,704612
790,98165,144611
800,98485,671310
810,98776,31389
820,99037,11548
830,99258,14437
840,99459,51446
850,996211,43015
860,997614,30074
870,998619,08113
880,999428,63632
890,999857,29001
901,0000-0

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $$\sin\alpha = \frac{a}{c}\quad \sin\beta = \frac{b}{c} $$ $$\cos\alpha = \frac{b}{c}\quad \cos\beta = \frac{a}{c} $$ $$\mathrm{tg}\alpha = \frac{a}{b}\quad \mathrm{tg}\beta = \frac{b}{a} $$

▸ Więcej wzorów z działu Trygonometria
Rozwiązanie

Zrób rysunek pomocniczy

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin\alpha\approx\frac{1,73}{3} \\ \sin\alpha\approx0,58.$$ Sprawdzamy tablicę wartości kąta sinus i szukamy w przybliżeniu \(0,58\). W tablicach możemy odczytać, że dla kąta \(36°\) sinus przyjmuje wartość \(0,5878\). Stąd też wiemy, że \(\alpha\in(30°, 40°)\).
Odpowiedź
C. $ \alpha \in (30^\circ, 40^\circ) $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Wtedy

A. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{16}{15} $
B. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{16} $
C. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{15} $
D. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{6}{20} $
Wzór

Związki między funkcjami tego samego kąta. $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ $$\textrm{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \text{ dla } \alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \quad k \text{ - całkowite}$$

▸ Więcej wzorów z działu Trygonometria
Rozwiązanie

Zapamiętaj: Sinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie.

$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ sin^2\alpha+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1 \\ sin^2\alpha+\frac{9}{25}=1 \\ sin^2\alpha=\frac{16}{25} \\ \sin\alpha=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad \sin\alpha=-\sqrt{\frac{16}{25}} \\ \sin\alpha=\frac{4}{5} \quad\lor\quad \sin\alpha=-\frac{4}{5}$$ Wartość ujemną odrzucamy , zatem zostaje nam \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\). \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) możemy zapisać, że: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \\ \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{5}:\frac{3}{5} \\ \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} \\ \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{3}$$ Zatem \(\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha\). $$\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{15}$$
Odpowiedź
A. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{16}{15} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 17 (0 - 1)

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\), \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha + \beta = 114^\circ\). Wynika stąd, że

A. $ \beta = 19^\circ $
B. $ \beta = 38^\circ $
C. $ \beta = 57^\circ $
D. $ \beta = 76^\circ $
Wzór

Kąty w okręgu. Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.

▸ Więcej wzorów z działu Planimetria
Rozwiązanie

Jeżeli dwa kąty są oparte na tym samym łuku, to miara kąta środkowego jest dwukrotnie większa od miary kąta wpisanego

$$\alpha=2\beta$$ Z treści zadania otrzymamy: $$\alpha+\beta=114° \\ 2\beta+\beta=114° \\ 3\beta=114° \\ \beta=38°$$
Odpowiedź
B. $ \beta = 38^\circ $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 18 (0 - 1)

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa \(80^\circ\). Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę

A. $ 120^\circ $
B. $ 125^\circ $
C. $ 130^\circ $
D. $ 135^\circ $
Rozwiązanie

Zapamiętaj: suma dwóch kątów przy jednym boku równoległoboku jest równa \(180°\)

Oznaczamy te dwa kąty jako \(\alpha\) oraz \(\beta\) to \(\alpha+\beta=180°\). Z treści zadania wynika, że jeden z tych kątów jest o \(80°\) większy od drugiego, więc możemy zapisać, że: $$\alpha=\beta-80°$$ W związku z tym: $$\alpha+\beta=180° \\ \beta-80°+\beta=180° \\ 2\beta-80°=180° \\ 2\beta=260° \\ \beta=130°$$
Odpowiedź
C. $ 130^\circ $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 19 (0 - 1)

Pole trójkąta o bokach długości \(4\) oraz \(9\) i kącie między nimi o mierze \(60^\circ\) jest równe

A. $ 18 $
B. $ 9 $
C. $ 18\sqrt{3} $
D. $ 9\sqrt{3} $
Wzór

Wzory na pole trójkąta. $$P_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$$

$$P_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \gamma $$

$$P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a^2\frac{\sin\beta\cdot\sin\gamma}{\sin\alpha}=2R^2\cdot\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma$$

$$P_{\triangle ABC}=\frac{abc}{4R}=rp=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

▸ Więcej wzorów z działu Planimetria
Rozwiązanie

Wykorzystaj jeden z wzorów na pole trójkąta

$$P=\frac{1}{2}ab\cdot \sin\alpha \\ P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot \sin 60° \\ P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ P=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ P=9\sqrt{3}$$
Odpowiedź
D. $ 9\sqrt{3} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Proste o równaniach \(y = (3m - 4)x + 2\) oraz \(y = (12 - m)x + 3m\) są równoległe, gdy

A. $ m = 4 $
B. $ m = 3 $
C. $ m = -4 $
D. $ m = -3 $
Wzór

Para prostych. Dwie proste o równaniach kierunkowych $$y = a_1 x + b_1,\quad y = a_2 x + b_2$$ spełniają jeden z następujących warunków: $$\text{- są równoległe, gdy } a_1 = a_2$$ $$\text{- są prostopadłe, gdy } a_1 a_2 = -1$$ $$\text{- tworzą kąt ostry } \varphi \text { i } \mathrm{tg}\varphi =\frac{a_1 - a_2}{1 +a_1 a_2}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są sobie równe

Porównujemy współczynniki $$3m-4=12-m \\ 4m=16 \\ m=4$$
Odpowiedź
A. $ m = 4 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Punkt \(A = (-3, 2)\) jest końcem odcinka \(AB\), a punkt \(M = (4, 1)\) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka \(AB\) jest równa

A. $ 2\sqrt{5} $
B. $ 4\sqrt{5} $
C. $ 5\sqrt{2} $
D. $ 10\sqrt{2} $
Wzór

Odcinek. Długość odcinka o końcach w punktach $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$ dana jest wzorem: $$|AB| = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2}.$$ Współrzędne środka odcinka $AB$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right) $$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie

I sposób

Obliczamy długość odcinka \(AM\) korzystając ze wzoru: $$|AM|=\sqrt{(x_{M}-x_{A})^2+(y_{M}-y_{A})^2} \\ |AM|=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-2)^2} \\ |AM|=\sqrt{(4+3)^2+(-1)^2} \\ |AM|=\sqrt{7^2+(-1)^2} \\ |AM|=\sqrt{49+1} \\ |AM|=\sqrt{50} \\ |AM|=\sqrt{25\cdot2} \\ |AM|=5\sqrt{2}$$ Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AB\) to znaczy, że odcinek \(AM\) stanowi połowę długości odcinka \(AB\). W związku z tym: $$|AB|=2\cdot|AM| \\ |AB|=2\cdot5\sqrt{2} \\ |AB|=10\sqrt{2}$$

II sposób

Możemy też ze wzoru na środek odcinka policzyć drugi koniec a następnie długość.
Odpowiedź
D. $ 10\sqrt{2} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 22 (0 - 1)

Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

A. $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3} $
B. $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $
C. $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $
Rozwiązanie

Zrób rysunek pomocniczy

Z własności sześcianu wiemy, że przekątna sześcianu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więć $$\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \sin\alpha=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Odpowiedź
D. $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 23 (0 - 1)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \(10\sqrt{2}\). Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

A. $ 50\pi $
B. $ 100\pi $
C. $ 200\pi $
D. $ 250\pi $
Wzór

Walec. $$P_b=2\pi rh$$ $$P=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością walca

▸ Więcej wzorów z działu Stereometria
Rozwiązanie

W tym zadaniu wysokość walca to długość boku kwadratu $h=a$

Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W związku z tym: $$a\sqrt{2}=10\sqrt{2} \\ a=10 .$$ Z treści zadania $$h = a = 10$$ Promień podstawy walca jest połową długości boku kwadratu, zatem: $$r=10:2 =5$$. Obliczamy pole powierzchni bocznej, korzystając ze wzoru: $$P_{b}=2\pi rH =2\pi\cdot5\cdot10 =100\pi$$
Odpowiedź
B. $ 100\pi $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena65432
Liczba ocen23551
Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa

A. $ 3 $
B. $ 3{,}5 $
C. $ 4 $
D. $ 4{,}5 $
Wzór

Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ danych liczbowych $a_1 \le a_2 \le a_3 \le … \le a_n$ jest:
dla $n$ nieparzystych: $$a_{\frac{n+1}{2}} \text{ (środkowy wyraz ciągu)}$$ dla $n$ parzystych: $$\frac{1}{2}\left(a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1}\right)$$

▸ Więcej wzorów z działu Parametry danych statystycznych
Rozwiązanie

Mediana to wartość środkowa

I sposób

Układamy oceny w kolejności rosnącej $$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$ Łącznie mamy \(2+3+5+5+1=16\). Z wzoru na medianę mamy średnią ósmej i dziewiątej oceny, zatem: $$m=\frac{4+4}{2} =\frac{8}{2} =4$$

II sposób

Układamy oceny w kolejności rosnącej $$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$ Skreślamy kolejno po jednej ocenie z prawej i lewej, aż zostaną nam $$4, 4$$ średnia tych 2 ocen to oczywiście 4.
Odpowiedź
C. $ 4 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

W grupie liczącej \(29\) uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe

A. $ \frac{14}{15} $
B. $ \frac{1}{14} $
C. $ \frac{14}{29} $
D. $ \frac{15}{29} $
Wzór

Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Niech $\Omega$ będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A\subset\Omega$ jest równe $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},$$ gdzie $|A|$ oznacza liczbę elementów zbioru $A$, zaś $|\Omega|$ - liczbę elementów zbioru $\Omega$.

▸ Więcej wzorów z działu Rachunek prawdopodobienstwa
Rozwiązanie Losujemy jedną osobę spośród \(29\) uczniów, zatem \(|Ω|=29\). Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której wylosujemy dziewczynę. Skoro chłopców jest \(15\), to dziewczyn mamy \(29-15=14\), zatem \(|A|=14\). $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{29}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{14}{29} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(x^2 + 6x - 16 \lt 0\).

Wzór

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $$f ( x ) = ax^2 + bx + c$$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $ax^2 + bx + c = 0$ ), zależy od wyróżnika $$\Delta = b^2 - 4ac :$$ $$\text{- gdy } \Delta < 0,$$ to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), $$\text{ - gdy }\Delta = 0,$$ to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$ $$\text{- gdy }\Delta >0,$$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap polega na obliczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na zapisaniu zbioru rozwiązań nierówności.

Zaczynamy od znalezienia pierwiastków funcji kwadratowej. Odczytujemy \(a=1,\,b=6,\,c=-16\) $$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot(-16)=36-(-64)=36+64=100 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{100}=10$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6-10}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6+10}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.$$ Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór: $$x\in(-8,2)$$ Pamiętaj, że nawaiasy są otwarte $( , )$ bo nierówność jest ostra $\lt$.
Odpowiedź
\(x\in(-8,2)\)

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\Bigl(x^3 + 27\Bigl)\Bigl(x^2 - 16\Bigl) = 0\).

Wzór

W szczególności: $$a^2 - b^2 = ( a - b )( a + b ),$$ $$a^2 - 1 = ( a - 1)( a + 1),$$ $$a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + ab + b^2 ),$$ $$a^3 - 1 = ( a - 1) ( a^2 + a + 1),$$ $$a^3 + b^3 = ( a + b ) ( a^2 - ab + b^2 ),$$ $$a^3 + 1 = ( a + 1) ( a^2 - a + 1),$$ $$a^n - 1 = ( a - 1) (1 + a + \dots + a^{n -1} )$$

▸ Więcej wzorów z działu Wzory skroconego mnozenia
Rozwiązanie

Wzory skróconego mnożenia

Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym: $$(x^3+27)(x^2-16)=0 \\ x^3+27=0 \quad\lor\quad x^2-16=0 \\ x^3=-27 \quad\lor\quad x^2=16 \\ x=-3 \quad\lor\quad x=4 \quad\lor\quad x=-4$$
Odpowiedź
\(x=-3 \lor x=4 \lor x=-4\)

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 28 (0 - 2)

W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Z wierzchołka \(D\) poprowadzono prostą przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

Wzór

Równoległobok. Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: $$P=ah=a\cdot b\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot\sin\varphi$$

▸ Więcej wzorów z działu Planimetria

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a + b)\biggl(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\biggl) \ge 4\).

Rozwiązanie

\(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, więc dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności nie zmieniamy znaku nierówności

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4 \\ 1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b \\ a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a \\ a^2+b^2\ge2ab \\ a^2-2ab+b^2\ge0 \\ (a-b)^2\ge0$$ Nierówność zawsze prawdziwa.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$

Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie

Podstawiamy do wzorów z Karty

Z treści zadania: dziewiąty wyraz $$a_{9}=a_{1}+8r \\ a_{1}+8r=34$$ i suma ośmiu początkowych wyrazów $$ S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 = 110 \\ 110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \\ a_{1}+a_{8}=27,5 \\ a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \\ 2a_{1}+7r=27,5$$ Musimy rozwiązać układ równań $$\begin{cases} a_{1}+8r=34 \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ Wyznaczamy \(a_{1}\) z pierwszego równania: $$\begin{cases} a_{1}=34-8r \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ i otrzymujemy $$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \\ 68-16r+7r=27,5 \\ 68-9r=27,5 \\ -9r=-40,5 \\ r=4,5$$ Skoro \(r=4,5\) to $$a_{1}=34-8r \\ a_{1}=34-8\cdot4,5 \\ a_{1}=34-36 -2$$ To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).
Odpowiedź
\(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\)

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 2)

Punkty \(A = (2, 4)\), \(B = (0, 0)\), \(C = (4, -2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Odpowiedź
\(y=\frac{1}{3}x\)

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 5)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Odpowiedź
\(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 33 (0 - 4)

Ze zbioru \(A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B = \{-1, 0, 1, 2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są - odpowiednio - współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{8}\)

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 34 (0 - 4)

W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość \(5\), a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

Odpowiedź
\(P=30\)