Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!


Odcinek. Długość odcinka o końcach w punktach $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$ dana jest wzorem: $$|AB| = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2}.$$ Współrzędne środka odcinka $AB$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right) $$

▸ Zadania z tym wzorem

Wektory. Współrzędne wektora $\overline{AB}$: $$\overline{AB}= [x_B - x_A,y_B - y_A].$$

▸ Zadania z tym wzorem

Jeżeli $\vec{u}=[u_1,u_2]$, $\vec{v}=[v_1,v_2]$ są wektorami, zaś $a$ jest liczbą, to $$\vec{u}+\vec{v}=[u_1+v_1,u_2+v_2]$$ $$a\cdot\vec{u}=[a\cdot u_1, a\cdot u_2]$$

▸ Zadania z tym wzorem

Równanie ogólne prostej: $$Ax + By + C = 0,$$ gdzie $A^2 + B^2 \neq 0$ (tj. współczynniki $A, B$ nie są równocześnie równe $0$).

▸ Zadania z tym wzorem

Jeżeli $A = 0$ , to prosta jest równoległa do osi $Ox$; jeżeli $B = 0$ , to prosta jest równoległa do osi $Oy$; jeżeli $C = 0$ , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

▸ Zadania z tym wzorem

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: $$y = ax + b.$$ Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy prostej: $a = \textrm{tg} \alpha$ Współczynnik $b$ wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina.

▸ Zadania z tym wzorem

Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt $P = ( x_0 , y_0 ) :$ $$y = a ( x - x_0 ) + y_0.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$: $$( y - y_A )( x_B - x_A ) - ( y_B - y_A )( x - x_A ) = 0.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Prosta i punkt: Odległość punktu $P = ( x_0 , y_0 )$ od prostej o równaniu $Ax + By + C = 0$ jest dana wzorem: $$\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Para prostych. Dwie proste o równaniach kierunkowych $$y = a_1 x + b_1,\quad y = a_2 x + b_2$$ spełniają jeden z następujących warunków: $$\text{- są równoległe, gdy } a_1 = a_2$$ $$\text{- są prostopadłe, gdy } a_1 a_2 = -1$$ $$\text{- tworzą kąt ostry } \varphi \text { i } \mathrm{tg}\varphi =\frac{a_1 - a_2}{1 +a_1 a_2}.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Dwie proste o równaniach ogólnych: $$A_1 x + B_1 y + C_1 = 0, \quad A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$$ - są równoległe, gdy $$ A_1 B_2 - A_2 B_1 = 0$$ - są prostopadłe, gdy $$ A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$$ - tworzą kąt ostry $\varphi$ gdzie $$ \mathrm{tg}\, \varphi = \frac{A_1 B_2 - A_2 B_1}{A_1 A_2 + B_1 B_2}.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$ , $C = ( x_C , y_C )$, jest dane wzorem:

$$P_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} | ( x_B - x_A )( y_C - y_A ) - ( y_B - y_A )( x_C - x_A )|.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: $$ \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3} , \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)$$

▸ Zadania z tym wzorem

Przekształcenia geometryczne:

▸ Zadania z tym wzorem

Równanie okręgu o środku w punkcie $S = ( a, b )$ i promieniu $r > 0$ : $$( x - a )^2 + ( y - b)^2 = r^2$$ lub $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0,$$ gdy $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$.

▸ Zadania z tym wzorem