Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!


Cechy przystawania trójkątów. To, że dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są przystające $( \Delta ABC \equiv \Delta DEF )$, możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów: $$\text{- cecha przystawania bok - bok - bok:}$$ odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: $|AB| = |DE|, |AC| = |DF|, |BC| = |EF|$ $$\text{ cecha przystawania bok - kąt - bok:}$$ dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. $|AB| = |DE|$ , $|AC| = |DF|$ ,$|\angle BAC| =| \angle EDF|$ $$\text{ cecha przystawania kąt - bok - kąt:}$$ jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. $|AB| = |DE|$ , $|\angle BAC| =| \angle EDF|$ , $|\angle ABC| =| \angle DEF|$

▸ Zadania z tym wzorem

Cechy podobieństwa trójkątów. To, że dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne $( \Delta ABC \sim \triangle DEF )$, możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów: $$\text{- cecha podobieństwa bok - bok - bok: }$$długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np. $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|BC|}{|EF|}$ $$\text{- cecha podobieństwa bok - kąt - bok:}$$ długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|}$, $|\angle BAC| =| \angle EDF|$ $$\text{- cecha podobieństwa kąt - kąt - kąt:}$$ dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): $|\angle BAC| =| \angle EDF|$ , $|\angle ABC| =| \angle DEF|$, $|\angle ACB| =| \angle DFE|$

▸ Zadania z tym wzorem

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie $ABC$: $a, b, c$ - długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków $A, B, C$,
$2 p = a + b + c$ - obwód trójkąta,
$\alpha, \beta, \gamma$ - miary kątów przy wierzchołkach $A, B, C$,
$h_a , h_b , h_c$ - wysokości opuszczone z wierzchołków $A, B, C$,
$R, r$ - promienie okręgów opisanego i wpisanego

▸ Zadania z tym wzorem

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego). W trójkącie $ABC$ kąt $\gamma$ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy $$a^2 + b^2 = c^2.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym. Załóżmy, że kąt $\gamma$ jest prosty. Wówczas: $$h_c^2=|AD|\cdot |DB|$$ $$h_c=\frac{ab}{c}$$ $$a=c\cdot\sin\alpha=c\cdot\cos\beta$$ $$a=b\cdot\textrm{tg}\alpha=b\cdot\frac{1}{\textrm{tg}\beta}$$ $$R=\frac{1}{2}c$$ $$r=\frac{a+b-c}{2}=p-c$$

▸ Zadania z tym wzorem

Twierdzenie sinusów. $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

▸ Zadania z tym wzorem

Twierdzenie cosinusów. $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$ $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

▸ Zadania z tym wzorem

Wzory na pole trójkąta. $$P_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$$

$$P_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \gamma $$

$$P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a^2\frac{\sin\beta\cdot\sin\gamma}{\sin\alpha}=2R^2\cdot\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma$$

$$P_{\triangle ABC}=\frac{abc}{4R}=rp=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

▸ Zadania z tym wzorem

Trójkąt równoboczny. $a$ - długość boku $h$-wysokość trójkąta $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$P_{\triangle ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

▸ Zadania z tym wzorem

Twierdzenie Talesa.\ Jeżeli proste równoległe $AA^\prime$ i $BB^\prime$ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie $O$, to $$\frac{OA}{OA^\prime}=\frac{OB}{OB^\prime}.$$

▸ Zadania z tym wzorem

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Jeżeli proste $AA^\prime$ i $BB^\prime$ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie $O$ oraz $\frac{OA}{OA^\prime}=\frac{OB}{OB^\prime}$, to proste $AA^\prime$ i $BB^\prime$ są równoległe.

▸ Zadania z tym wzorem

Trapez. Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
Wzór na pole trapezu: $$P=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

▸ Zadania z tym wzorem

Równoległobok. Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: $$P=ah=a\cdot b\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot\sin\varphi$$

▸ Zadania z tym wzorem

Romb. Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych jednakowej długości.
Wzory na pole rombu: $$P=ah=a^2\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|$$

▸ Zadania z tym wzorem

Deltoid. Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu: $$P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|$$

▸ Zadania z tym wzorem

Koło. Wzór na pole koła o promieniu $r$: $$P=\pi r^2$$ Obwód koła o promieniu $r$: $$Ob=2\pi r$$

▸ Zadania z tym wzorem

Wycinek koła. Wzór na pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\alpha$ wyrażonym w stopniach: $$P=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$ Długość łuku wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\alpha$ wyrażonym w stopniach: $$l=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$

▸ Zadania z tym wzorem

Kąty w okręgu. Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.

▸ Zadania z tym wzorem

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą. Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ i jego cięciwa $AB$. Prosta $AC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Wtedy $$|\angle AOB|=2\cdot|\angle CAB|,$$ przy czym wybieramy ten z kątów środkowych $AOB$, który jest oparty na łuku znajdującym się wenątrz kąta $CAB$.

▸ Zadania z tym wzorem

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej. Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach $A$ i $B$ oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie $C$. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie $P$, to $$|PA|\cdot|PB|=|PC|^2$$

▸ Zadania z tym wzorem

Okrąg opisany na czworokącie. Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe $180^\circ$: $$\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ$$

▸ Zadania z tym wzorem

Okrąg wpisany w czworokąt. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: $$a+c=b+d$$

▸ Zadania z tym wzorem