Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!


Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $$\sin\alpha = \frac{a}{c}\quad \sin\beta = \frac{b}{c} $$ $$\cos\alpha = \frac{b}{c}\quad \cos\beta = \frac{a}{c} $$ $$\mathrm{tg}\alpha = \frac{a}{b}\quad \mathrm{tg}\beta = \frac{b}{a} $$

▸ Zadania z tym wzorem

Definicje funkcji trygonometrycznych. $$\sin\alpha=\frac{y}{r}$$ $$\cos\alpha=\frac{x}{r}$$ $$\textrm{tg}\alpha=\frac{y}{x},\text{ gdy }x\neq 0$$ gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ jest promieniem wodzącym punktu $M$

▸ Zadania z tym wzorem

Wykresy funkcji trygonometrycznych

▸ Zadania z tym wzorem

Związki między funkcjami tego samego kąta. $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ $$\textrm{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \text{ dla } \alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \quad k \text{ - całkowite}$$

▸ Zadania z tym wzorem

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych.

$\alpha$ $ 0^\circ / 0 $$ 30^\circ / \frac{\pi}{6} $$ 45^\circ / \frac{\pi}{4} $$ 60^\circ / \frac{\pi}{3} $$ 90^\circ / \frac{\pi}{2} $
$\sin\alpha $$ 0 $$ \frac{1}{2} $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 1 $
$\cos\alpha $$ 1 $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ \frac{1}{2} $$ 0 $
$\textrm{tg}\alpha $$ 0 $$ \frac{\sqrt{3}}{3} $$ 1 $$ \sqrt{3} $nie istnieje

▸ Zadania z tym wzorem

Funkcje sumy i różnicy kątów. Dla dowolnych kątów $\alpha$, $\beta$ zachodzą równości: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ Ponadto mamy równości: $$\textrm{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\textrm{tg}\alpha+\textrm{tg}\beta}{1-\textrm{tg}\alpha\cdot\textrm{tg}\beta}$$ $$\textrm{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\textrm{tg}\alpha-\textrm{tg}\beta}{1+\textrm{tg}\alpha\cdot\textrm{tg}\beta}$$ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

▸ Zadania z tym wzorem

Funkcje podwojonego kąta. $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-\sin^2\alpha$$ Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych. $$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$ $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta))$$ $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))$$ $$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$$ Wybrane wzory redukcyjne $$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$$ $$\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$$ $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$ $$\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$$ $$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$ $$\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$$ $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$ $$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha$$ $$\mathrm{tg}(180^\circ-\alpha)=-\mathrm{tg}\alpha$$ $$\mathrm{tg}(180^\circ+\alpha)=\mathrm{tg}\alpha$$ Okresowość funkcji trygonometrycznych $$\sin(\alpha+k\cdot360^\circ)=\sin\alpha$$ $$\cos(\alpha+k\cdot360^\circ)=\cos\alpha$$ $$\mathrm{tg}(\alpha+k\cdot 180^\circ)=\mathrm{tg}\alpha$$ $$k \text{ - całkowite}$$

▸ Zadania z tym wzorem