Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n \ge 1\), spełnia warunek \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\). Wtedy

A. $ a_4 = 5 $
B. $ a_4 = 6 $
C. $ a_4 = 3 $
D. $ a_4 = 4 $
Wzór

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \text{ dla } n \ge 2 $$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie

Wykorzystaj własność sąsiednich wyrazów ciągu artymetycznego

$$a_{4}=\frac{ a_{3} + a_{5}}{2} $$ W związku z tym: $$a_{3}+a_{4}+a_{5}=15 \\ 2a_{4} +a_{4} =15 \\ 3a_{4}=15 \\ a_{4}=5$$
Odpowiedź
A. $ a_4 = 5 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x, x + 4, 16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa

A. $ 8 $
B. $ 4 $
C. $ 2 $
D. $ 0 $
Wzór

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $$ {a_n}^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1} \text{ dla } n \ge 2$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie

Wykorzystaj własność sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego

$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ $$(x+4)^2=x\cdot16 \\ x^2+8x+16=16x \\ x^2-8x+16=0$$ Liczymy deltę dla \(a=1,\,b=-8,\,c=16\) $$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$ Delta równa zero, otrzymujemy jedno rozwiązanie: $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$
Odpowiedź
B. $ 4 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$

Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie

Podstawiamy do wzorów z Karty

Z treści zadania: dziewiąty wyraz $$a_{9}=a_{1}+8r \\ a_{1}+8r=34$$ i suma ośmiu początkowych wyrazów $$ S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 = 110 \\ 110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \\ a_{1}+a_{8}=27,5 \\ a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \\ 2a_{1}+7r=27,5$$ Musimy rozwiązać układ równań $$\begin{cases} a_{1}+8r=34 \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ Wyznaczamy \(a_{1}\) z pierwszego równania: $$\begin{cases} a_{1}=34-8r \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ i otrzymujemy $$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \\ 68-16r+7r=27,5 \\ 68-9r=27,5 \\ -9r=-40,5 \\ r=4,5$$ Skoro \(r=4,5\) to $$a_{1}=34-8r \\ a_{1}=34-8\cdot4,5 \\ a_{1}=34-36 -2$$ To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).
Odpowiedź
\(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 5 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle \), gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\). Stąd wynika, że

A. $ k=9 $
B. $ k=11 $
C. $ k=21 $
D. $ k=31 $
Rozwiązanie

I sposób

Pierwszą liczbą całkowitą, która jest większa od -10 jest -9. Jak będziemy sumować to zauważmy, że $$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$ W zadaniu suma liczb całkowitych jest równa \(21\). Suma od -9 do 9 jest równa 0, to idąc dalej, czyli dodając \(10\) oraz \(11\) otrzymamy \(21\), więc k = 11.

II sposób

Możemy użyć wzory na sumę ciągu arytmetycznego
Odpowiedź
B. $ k=11 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 13 (0 - 1)

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\ge1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A. $ q=\frac{2}{3} $
B. $ q=\frac{3}{2} $
C. $ q=6 $
D. $ q=5 $
Rozwiązanie Wiedząc, że \(q=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) możemy równanie z treści zadania rozpisać w następujący sposób: $$3a_{2}=2a_{3} \quad\bigg/:a_{2} \\ 3=\frac{2a_{3}}{a_{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\ \frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3}{2} \\ q=\frac{3}{2}$$
Odpowiedź
B. $ q=\frac{3}{2} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 14 (0 - 1)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

A. $ r=-16 $
B. $ r=-\frac{1}{2} $
C. $ r=-\frac{1}{32} $
D. $ r=15\frac{1}{2} $
Rozwiązanie Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru - to będzie liczba znajdująca się przed \(n\). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów, to możemy po prostu obliczyć wartość np. pierwszego oraz drugiego wyrazu (podstawiając \(n=1\) oraz \(n=2\)) i z nich wyznaczyć różnicę: $$a_{1}=16-\frac{1}{2}\cdot1=16-\frac{1}{2}=15\frac{1}{2} \\ a_{2}=16-\frac{1}{2}\cdot2=16-1=15$$ Teraz znając wartości dwóch wyrazów możemy bez przeszkód obliczyć różnicę ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \\ r=15-15\frac{1}{2} \\ r=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
B. $ r=-\frac{1}{2} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 33 (0 - 4)

W ciągu arytmetycznym $(a\_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S\_{10}=\frac{15}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Odpowiedź
\(a_{1}=-\frac{3}{4}\) oraz \(r=\frac{1}{4}\)

Matura 2018 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = \frac{5 - 2n}{6}\) dla \(n\ge 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $ r = -\frac{1}{3} $.
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $ r = -2 $.
C. geometryczny i jego iloraz jest równy $ q = -\frac{1}{3} $.
D. geometryczny i jego iloraz jest równy $ q = \frac{5}{6} $.
Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$

Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$ a_n = \frac{5 - 2n}{6} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} n = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} n $$ pasuje do ciagu arytmetycznego
Odpowiedź
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $ r = -2 $.

Matura 2018 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_4 + a_5 + a_6 = 12\). Wtedy

A. $ a_5 = 4 $
B. $ a_5 = 3 $
C. $ a_5 = 6 $
D. $ a_5 = 5 $
Wzór

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \text{ dla } n \ge 2 $$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$ a_5 = \frac{a_4 + a_6 }{2} $$ $$ 2 a_5 = a_4 + a_6$$ $$ a_4 + a_5 + a_6 = a_5 + 2 a_5 = 3 a_5 = 12 $$ $$a_5 = 4$$
Odpowiedź
A. $ a_5 = 4 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = 2\sqrt{2}\), \(a_3 = 4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. $ a_n = \bigl(\sqrt{2}\bigl)^n $
B. $ a_n = \Biggl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggl)^n $
C. $ a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}} $
D. $ a_n = \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigl)^n}{2} $
Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$: $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \text{ dla } n \ge 2$$

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $$ {a_n}^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1} \text{ dla } n \ge 2$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$ a_2 = a _ { 1} \cdot q $$ $$ 2\sqrt { 2} = \sqrt { 2} \cdot q , q = 2 $$ $$ a _ { n } = a _ { 1} \cdot q ^ { n - 1} = \sqrt { 2} \cdot 2^ { n - 1} = \sqrt { 2} \cdot 2^ { n - 1} \cdot \frac { \sqrt { 2} } { \sqrt { 2} } = \frac { 2\cdot 2^ { n - 1} } { \sqrt { 2} } = \frac { 2^ { n } } { \sqrt { 2} } $$
Odpowiedź
C. $ a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wzór

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$

Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$

▸ Więcej wzorów z działu Ciagi
Rozwiązanie $$S_{12} = \frac{a_1+a_{12}}{2} 12 $$ $$162 = \frac{a_1+30}{2} 12 $$ $$162 = (a_1+30 )6 $$ $$27 = a_1+30 $$ $$ a_1 = 27 -30 = -3 $$
Odpowiedź
$ a_1 = -3 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla

A. $ n=10 $
B. $ n=11 $
C. $ n=12 $
D. $ n=13 $
Rozwiązanie Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Znamy dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, zatem różnica między nimi da nam odpowiedź na pytanie jaka jest różnica tego ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \\ r=9-2 \\ r=7$$ Wyznaczenie wartości \(n\). Szukamy wartości \(n\) dla której ciąg przyjmuje wartość równą \(79\) (czyli tak naprawdę chcemy się dowiedzieć który wyraz tego ciągu jest równy \(79\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ 79=2+(n-1)\cdot7 \\ 79=2+7n-7 \\ 79=7n-5 \\ 84=7n \\ n=12$$
Odpowiedź
C. $ n=12 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że

A. $ x=18 $
B. $ x=6 $
C. $ x=\frac{85}{6} $
D. $ x=\frac{6}{85} $
Rozwiązanie Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając nasze wyrazy otrzymamy: $$(3x)^2=81\cdot4 \\ 9x^2=9\cdot9\cdot4 \\ x^2=9\cdot4 \\ x^2=36 \\ x=6 \quad\lor\quad x=-6$$ Z racji tego iż ciąg ma mieć wyrazy dodatnie, to zostaje nam \(x=6\).
Odpowiedź
B. $ x=6 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 2)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a\_n)\), określony dla \(n\ge 1\), w którym spełniona jest równość \(a\_{21}+a\_{24}+a\_{27}+a\_{30}=100\). Oblicz sumę \(a\_{25}+a\_{26}\).

Odpowiedź
\(a_{25}+a_{26}=50\)

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 13 (0 - 1)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(2a_3=a_2+a_1+1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

A. $ 0 $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym: $$2a_{3}=a_{2}+a_{1}+1 \\ 2(a_{1}+2r)=a_{1}+r+a_{1}+1 \\ 2a_{1}+4r=2a_{1}+r+1 \\ 3r=1 \\ r=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{1}{3} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 14 (0 - 1)

Dany jest ciąg geometryczny \((x,2x^2,4x^3,8)\) o wyrazach nieujemnych. Wtedy

A. $ x=0 $
B. $ x=1 $
C. $ x=2 $
D. $ x=4 $
Rozwiązanie Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych (niekoniecznie pierwszych) wyrazów zachodzi równanie: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawmy więc do tego trzy następujące po sobie wyrazy - najlepiej będzie wybrać wyraz drugi, trzeci i czwarty, bo ten czwarty jest znaną nam wartością liczbową. W związku z tym otrzymamy: $${a_{3}}^2=a_{2}\cdot a_{4} \\ (4x^3)^2=2x^2\cdot8 \\ 16x^6=16x^2 \quad\bigg/:16x^2 \\ x^4=1 \\ x=1 \quad\lor\quad x=-1$$ Skoro ciąg ma mieć wyrazy nieujemne, to zostaje nam że \(x=1\).
Odpowiedź
B. $ x=1 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 30 (0 - 2)

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a\_n)\), określonego dla \(n\ge 1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a\_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.

Odpowiedź
\(r=2\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: \(a_1=5\), \(a_2=11\). Wtedy

A. $ a_{14}=71 $
B. $ a_{12}=71 $
C. $ a_{11}=71 $
D. $ a_{10}=71 $
Rozwiązanie Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć różnicę ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \\ r=11-5 \\ r=6$$ Wskazanie wyrazu, którego wartość jest równa \(71\). Po odpowiedziach widzimy, że tak naprawdę poszukujemy wyrazu, którego wartość jest równa \(71\), czyli \(a_{n}=71\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ 71=5+(n-1)\cdot6 \\ 66=6n-6 \\ 6n=72 \\ n=12$$ To oznacza, że pożądaną wartość ma dwunasty wyraz tego ciągu, zatem prawidłową odpowiedzią jest \(a_{12}=71\).
Odpowiedź
B. $ a_{12}=71 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny \((24,6,a-1)\). Stąd wynika, że

A. $ a=\frac{5}{2} $
B. $ a=\frac{2}{5} $
C. $ a=\frac{3}{2} $
D. $ a=\frac{2}{3} $
Rozwiązanie Zgodnie z własnościami ciągu geometrycznego między trzema kolejnymi wyrazami ciągu zachodzi następująca równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\ 6^2=24\cdot(a-1) \\ 36=24a-24 \\ 60=24a \\ a=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}$$
Odpowiedź
A. $ a=\frac{5}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: wyraz \(a_1=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S\_3=33\). Oblicz różnicę: \(a\_{16}-a\_{13}\).

Odpowiedź
\(a_{16}-a_{13}=9\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(8\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-216)\). Iloraz tego ciągu jest równy

A. $ -\frac{224}{3} $
B. $ -3 $
C. $ -9 $
D. $ -27 $
Rozwiązanie Iloraz \(q\) wyznaczymy sobie z następującego wzoru: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ Znamy czwarty wyraz ciągu, znamy też pierwszy, więc wystarczy podstawić te wszystkie dane do powyższego wzoru: $$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\ -216=8\cdot q^3 \\ q^3=-27 \\ q=-3$$
Odpowiedź
B. $ -3 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy

A. $ 3 $
B. $ 6 $
C. $ 7 $
D. $ 10 $
Rozwiązanie Podstawiając \(n=2\) do wzoru na sumę wyrazów obliczymy sumę dwóch pierwszych wyrazów, a podstawiając \(n=1\) otrzymamy tak naprawdę wartość pierwszego wyrazu. Różnica między tymi wynikami będzie więc odpowiadać wartości drugiego wyrazu tego ciągu. Zatem: $$a_{2}=S_{2}-S_{1} \\ a_{2}=2\cdot2^2+2-(2\cdot1^2+1) \\ a_{2}=2\cdot4+2-(2\cdot1+1) \\ a_{2}=10-3 \\ a_{2}=7$$
Odpowiedź
C. $ 7 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 4)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Odpowiedź
\(S_{671}=676368\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 11 (0 - 1)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=6(n-16)\) dla \(n\ge 1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $ -54 $
B. $ -126 $
C. $ -630 $
D. $ -270 $
Rozwiązanie Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. Aby obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów będziemy potrzebować wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{10}\): $$a_{1}=6\cdot(1-16)=6\cdot(-15)=-90 \\ a_{10}=6\cdot(10-16)=6\cdot(-6)=-36$$ Sumę dziesięciu pierwszych wyrazów obliczymy za pomocą wzoru: $$S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \\ S_{10}=\frac{-90+(-36)}{2}\cdot10 \\ S_{10}=(-126)\cdot5 \\ S_{10}=-630$$
Odpowiedź
C. $ -630 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 12 (0 - 1)

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1=72\) i \(a_4=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A. $ q=\frac{1}{2} $
B. $ q=\frac{1}{6} $
C. $ q=\frac{1}{4} $
D. $ q=\frac{1}{8} $
Rozwiązanie Aby obliczyć iloraz \(q\) posłużymy się wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ Skoro znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, to podstawmy te informacje do powyższego wzoru, wyznaczając w ten sposób iloraz \(q\). $$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\ 9=72\cdot q^3 \\ q^3=\frac{9}{72} \\ q^3=\frac{1}{8} \\ q=\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
A. $ q=\frac{1}{2} $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 31 (0 - 5)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a\_5+a\_6+a\_7+…+a\_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

Odpowiedź
\(a_{1}=567\), \(r=-42\) oraz \(a_{14}=21\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

A. $ \frac{37}{2} $
B. $ -\frac{37}{2} $
C. $ -\frac{5}{2} $
D. $ \frac{5}{2} $
Rozwiązanie Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wartość czternastego wyrazu oraz różnicę ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ a_{14}=a_{1}+(14-1)r \\ 8=a_{1}+13\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ 8=a_{1}-\frac{39}{2} \\ a_{1}=\frac{55}{2}$$ Obliczenie wartości siódmego wyrazu. Korzystając z tego samego wzoru co przed chwilą obliczymy wartość siódmego wyrazu: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ a_{7}=a_{1}+(7-1)r \\ a_{7}=\frac{55}{2}+6\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ a_{7}=\frac{55}{2}-\frac{18}{2} \\ a_{7}=\frac{37}{2}$$
Odpowiedź
A. $ \frac{37}{2} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 15 (0 - 1)

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $ -4 $
B. $ 1 $
C. $ 0 $
D. $ -1 $
Rozwiązanie Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego: $${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\ {a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\ {a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\ (2x+3)^2=x\cdot(4x+3) \\ 4x^2+12x+9=4x^2+3x \\ 9x+9=0 \\ 9x=-9 \\ x=-1$$ Skoro nasz pierwszy wyraz jest równy \(x\) to znaczy że jego wartość wynosi dokładnie \(-1\).
Odpowiedź
D. $ -1 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\ge 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź
Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

A. $ 77 $
B. $ 84 $
C. $ 91 $
D. $ 98 $
Rozwiązanie Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. W zadaniu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ Skoro ma to być ciąg składający się z liczb podzielnych przez \(7\), to każda kolejna liczba będzie o \(7\) większa od swojej poprzedniczki, zatem \(r=7\). Obliczenie wartości dwunastego wyrazu. Najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(7\) jest oczywiście \(14\), więc \(a_{1}=14\). Szukamy wartości dwunastego wyrazu, więc podstawiamy \(n=12\) i dokonujemy obliczeń: $$a_{12}=a_{1}+(12-1)r \\ a_{12}=a_{1}+11r \\ a_{12}=14+11\cdot7 \\ a_{12}=14+77 \\ a_{12}=91$$
Odpowiedź
C. $ 91 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 15 (0 - 1)

Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy

A. $ -1 $
B. $ \frac{31}{33} $
C. $ \frac{9}{11} $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem: $$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1} \\ a_{5}=\frac{32-1}{32+1} \\ a_{5}=\frac{31}{33}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{31}{33} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 13 (0 - 1)

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A. $ q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} $
B. $ q=\frac{1}{3} $
C. $ q=3 $
D. $ q=\sqrt[3]{3} $
Rozwiązanie Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie: $$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \\ q^3=3 \\ q=\sqrt[3]{3}$$
Odpowiedź
D. $ q=\sqrt[3]{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 34 (0 - 5)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Odpowiedź
\(k=11\)