Ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n \ge 1\), spełnia warunek \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\). Wtedy
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \text{ dla } n \ge 2 $$
Wykorzystaj własność sąsiednich wyrazów ciągu artymetycznego
$$a_{4}=\frac{ a_{3} + a_{5}}{2} $$ W związku z tym: $$a_{3}+a_{4}+a_{5}=15 \\ 2a_{4} +a_{4} =15 \\ 3a_{4}=15 \\ a_{4}=5$$Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x, x + 4, 16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $$ {a_n}^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1} \text{ dla } n \ge 2$$
Wykorzystaj własność sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ $$(x+4)^2=x\cdot16 \\ x^2+8x+16=16x \\ x^2-8x+16=0$$ Liczymy deltę dla \(a=1,\,b=-8,\,c=16\) $$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$ Delta równa zero, otrzymujemy jedno rozwiązanie: $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$
Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiamy do wzorów z Karty
Z treści zadania: dziewiąty wyraz $$a_{9}=a_{1}+8r \\ a_{1}+8r=34$$ i suma ośmiu początkowych wyrazów $$ S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 = 110 \\ 110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \\ a_{1}+a_{8}=27,5 \\ a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \\ 2a_{1}+7r=27,5$$ Musimy rozwiązać układ równań $$\begin{cases} a_{1}+8r=34 \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ Wyznaczamy \(a_{1}\) z pierwszego równania: $$\begin{cases} a_{1}=34-8r \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ i otrzymujemy $$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \\ 68-16r+7r=27,5 \\ 68-9r=27,5 \\ -9r=-40,5 \\ r=4,5$$ Skoro \(r=4,5\) to $$a_{1}=34-8r \\ a_{1}=34-8\cdot4,5 \\ a_{1}=34-36 -2$$ To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle \), gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\). Stąd wynika, że
I sposób
Pierwszą liczbą całkowitą, która jest większa od -10 jest -9. Jak będziemy sumować to zauważmy, że $$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$ W zadaniu suma liczb całkowitych jest równa \(21\). Suma od -9 do 9 jest równa 0, to idąc dalej, czyli dodając \(10\) oraz \(11\) otrzymamy \(21\), więc k = 11.II sposób
Możemy użyć wzory na sumę ciągu arytmetycznegoWszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\ge1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa
W ciągu arytmetycznym $(a\_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S\_{10}=\frac{15}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = \frac{5 - 2n}{6}\) dla \(n\ge 1\). Ciąg ten jest
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$
Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$
Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_4 + a_5 + a_6 = 12\). Wtedy
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \text{ dla } n \ge 2 $$
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = 2\sqrt{2}\), \(a_3 = 4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$: $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \text{ dla } n \ge 2$$
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $$ {a_n}^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1} \text{ dla } n \ge 2$$
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $( a_n )$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + ( n - 1) r$$
Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n$$
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a\_n)\), określony dla \(n\ge 1\), w którym spełniona jest równość \(a\_{21}+a\_{24}+a\_{27}+a\_{30}=100\). Oblicz sumę \(a\_{25}+a\_{26}\).
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(2a_3=a_2+a_1+1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa
Dany jest ciąg geometryczny \((x,2x^2,4x^3,8)\) o wyrazach nieujemnych. Wtedy
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a\_n)\), określonego dla \(n\ge 1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a\_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.
W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: \(a_1=5\), \(a_2=11\). Wtedy
Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny \((24,6,a-1)\). Stąd wynika, że
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: wyraz \(a_1=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S\_3=33\). Oblicz różnicę: \(a\_{16}-a\_{13}\).
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(8\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-216)\). Iloraz tego ciągu jest równy
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=6(n-16)\) dla \(n\ge 1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1=72\) i \(a_4=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a\_5+a\_6+a\_7+…+a\_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\ge 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).