Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a + b)\biggl(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\biggl) \ge 4\).

Rozwiązanie

\(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, więc dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności nie zmieniamy znaku nierówności

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4 \\ 1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b \\ a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a \\ a^2+b^2\ge2ab \\ a^2-2ab+b^2\ge0 \\ (a-b)^2\ge0$$ Nierówność zawsze prawdziwa.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 28 (0 - 2)

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).

Rozwiązanie Niech n , n +1, n + 2 , n + 3 będą czterema kolejnymi liczbami naturalnymi. Sumujemy kwadraty tych liczb i odpowiednio tę sumę porządkujemy:$$ n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+(n+3)^{2} $$ $$=4 n^{2}+12 n+14 $$ $$= 4 n^{2}+12 n+8+6 $$ $$=4\left(n^{2}+3 n+2\right)+6$$ $$=4(n+1)(n+2)+6$$ Oczywiście liczba postaci 4(n +1)(n + 2) jest podzielna przez 4 . Ponadto n +1 i n + 2 to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest parzysta. Zatem iloczyn 4(n +1)(n + 2) jest podzielny przez 4 i przez 2, czyli jest podzielny przez 8. Stąd wynika, że liczba 4(n +1)(n + 2)+ 6 przy dzieleniu przez 8 daje resztę równą 6. To kończy dowód.
Odpowiedź
Wykazano rozpisując iloczyn czterech liczb naturalnych.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 29 (0 - 2)

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.

Wzór

Cechy przystawania trójkątów. To, że dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są przystające $( \Delta ABC \equiv \Delta DEF )$, możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów: $$\text{- cecha przystawania bok - bok - bok:}$$ odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: $|AB| = |DE|, |AC| = |DF|, |BC| = |EF|$ $$\text{ cecha przystawania bok - kąt - bok:}$$ dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. $|AB| = |DE|$ , $|AC| = |DF|$ ,$|\angle BAC| =| \angle EDF|$ $$\text{ cecha przystawania kąt - bok - kąt:}$$ jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. $|AB| = |DE|$ , $|\angle BAC| =| \angle EDF|$ , $|\angle ABC| =| \angle DEF|$

▸ Więcej wzorów z działu Planimetria
Rozwiązanie
Dorysowujemy odcinek FG, taki że punkt G jest środkiem odcinka EC. Ponieważ EC = 2DE , więc otrzymujemy równość DE = EG = GC. Zatem GC = FB ,a skoro $\sphericalangle $GCB = $\sphericalangle $FBC =90°,więc $\sphericalangle $FGC =90°,skądwynika,że trójkąt FEG jest prostokątny. Ponieważ AD=FG, $\sphericalangle $ADE= $\sphericalangle $FGE=90° i DE=EG, więc z cechy bkb wnioskujemy, że trójkąty AED i FEG są przystające. Niech $\sphericalangle $DAE = \alpha . Wtedy z przystawania tych trójkątów wnosimy, że $\sphericalangle $EFG = \alpha . Ponieważ odcinki PC i FG są równoległe, więc $\sphericalangle $FPB = $\sphericalangle $EFG = \alpha (kąty odpowiadające). Ponieważ $\sphericalangle $FPB = $\sphericalangle $EFG =\alpha BF = DE , $\sphericalangle $PBF =90°= $\sphericalangle $ADE oraz,zatemnamocy cechy kbk trójkąty AED i PFB są przystające.
Odpowiedź
Wykazano korzystając z podobieństwa trójkątów.

Matura 2018 Maj. Zadanie 28 (0 - 2)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \ge \frac{2}{a + b}\).

Rozwiązanie $$ \frac { 1} { 2a } + \frac { 1} { 2b } \geq \frac { 2} { a + b } $$ $$ \frac { a+b} { 2a } + \frac { a+b} { 2b } \geq 2 $$ $$ \frac{1}{2} + \frac { b} { 2a } + \frac{1}{2} + \frac { a} { 2b } \geq 2 $$ $$ \frac { b} { 2a } + \frac { a} { 2b } \geq 1 $$ $$ \frac { b} { a } + \frac { a} { b } \geq 2 $$ $$ \frac { b (ab)} { a } + \frac { a(ab)} { b } \geq 2(ab) $$ $$ b^2 + a^2 \geq 2ab$$ $$ b^2 -2ab + a^2 \geq 0$$ $$ (b-a)^2 \geq 0.$$ nierówność zawsze prawdziwa. CKD.

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 29 (0 - 2)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \((1{,}5)^{100}\lt 6^{25}\)

Odpowiedź
Wykazano sprowadzając potęgi do jednakowego wykładnika.

Matura 2017 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).


Matura 2016 Sierpień. Zadanie 28 (0 - 2)

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\)


Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 28 (0 - 2)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^4+y^4+x^2+y^2\ge 2(x^3+y^3)\)


Matura 2015 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2\).

Odpowiedź
Udowodniono wyłączając przed nawias odpowiednie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Matura 2015 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge 0\).

Odpowiedź
Udowodniono rozwiązując nierówność kwadratową i interpretując otrzymaną deltę.