Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 2x - 11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

A. $ (-2, -3) $
B. $ (-2, -12) $
C. $ (1, -8) $
D. $ (1, -12) $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Wykorzystaj wzory na wierzchołek paraboli W= (p,q)

Ze wzoru funkcji odczytujemy a=1 i =-2. Wynika z tego, że $$p=\frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot1} =\frac{2}{2} =1$$ Do obliczenia \(q\) musimy najpierw policzyć deltę($\Delta=b^2-4ac$): $$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-11)=4-(-44)=4+44=48$$ W związku z tym: $$q=\frac{-\Delta}{4a} =\frac{-48}{4\cdot1} =-12$$ Otrzymujemy współrzędne wierzchołka \(W= (p,q)=(1,-12)\).
Odpowiedź
D. $ (1, -12) $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x) = -3(x-2)(x-9)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

A. $ x_1 + x_2 = 11 $
B. $ x_1 + x_2 = -11 $
C. $ x_1 + x_2 = 33 $
D. $ x_1 + x_2 = -33$
Wzór

Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$

Wzory Viéte’a. Jeżli $\Delta \ge 0$ to $$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a},$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Odczytaj pierwiastki z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej

I sposób

Funkcja przedstawiona jest w postaci iloczynowej, zatem pierwiastkami (rozwiązaniami) są liczby dla których jeden z nawiasów jest równy zero. $$-3(x-2)(x-9)=0 \\ x-2=0 \quad\lor\quad x-9=0 $$ $$ x=2 \quad\lor\quad x=9$$ Funkcja ma dwa miejsca zerowe \(x_1=2, x_2=9\), zatem: $$x_{1}+x_{2}=2+9=11$$

II sposób

Mnożymy nawiasy i porzedstawiamy funkcję w postaci ogólnej $$f(x) = -3(x-2)(x-9) = -3x^2+33x-54.$$ Podstawiając do wzoru Viete'a $$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} =\frac{-33}{-3}=11 $$
Odpowiedź
A. $ x_1 + x_2 = 11 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Największą wartością funkcji \(y = -(x-2)^2 + 4\) w przedziale \(\langle 3, 5\rangle\) jest

A. $ 0 $
B. $ 5 $
C. $ 4 $
D. $ 3 $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.

Odczytujemy z tablic postać kanoniczną funkcji kwadratowej i z treści zadania odczytujemy \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2,4)\). Współrzędna x=2 wierzchołka nie należy do \(\langle3,5\rangle\). Teraz musimy sprawdzić wartości na brzegach przedziału \(x=3\) oraz \(x=5\). Podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy: $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3 $$ $$ f(5)=-(5-2)^2+4=-9+4=-5.$$ Największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).
Odpowiedź
D. $ 3 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(x^2 + 6x - 16 \lt 0\).

Wzór

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $$f ( x ) = ax^2 + bx + c$$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $ax^2 + bx + c = 0$ ), zależy od wyróżnika $$\Delta = b^2 - 4ac :$$ $$\text{- gdy } \Delta < 0,$$ to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), $$\text{ - gdy }\Delta = 0,$$ to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$ $$\text{- gdy }\Delta >0,$$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap polega na obliczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na zapisaniu zbioru rozwiązań nierówności.

Zaczynamy od znalezienia pierwiastków funcji kwadratowej. Odczytujemy \(a=1,\,b=6,\,c=-16\) $$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot(-16)=36-(-64)=36+64=100 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{100}=10$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6-10}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6+10}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.$$ Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór: $$x\in(-8,2)$$ Pamiętaj, że nawaiasy są otwarte $( , )$ bo nierówność jest ostra $\lt$.
Odpowiedź
\(x\in(-8,2)\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 10 (0 - 1)

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle \) jest

A. $ 4 $
B. $ 3 $
C. $ 0 $
D. $ 5 $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.

W treści zadania jest funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej, z której odczytujemy \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2,4)\). Zauważamy, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\). Obliczamy wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\): $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \\ f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$ Największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).
Odpowiedź
B. $ 3 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 12 (0 - 1)

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.

A.
B.
C.
D.
Odpowiedź
D.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x\lt 0\).

Wzór

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $$f ( x ) = ax^2 + bx + c$$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $ax^2 + bx + c = 0$ ), zależy od wyróżnika $$\Delta = b^2 - 4ac :$$ $$\text{- gdy } \Delta < 0,$$ to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), $$\text{ - gdy }\Delta = 0,$$ to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$ $$\text{- gdy }\Delta >0,$$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$

Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap polega na obliczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na zapisaniu zbioru rozwiązań nierówności.

I sposób

Wyłączamy czynnik $(1− x)$ przed nawias i zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej $(1− x)(2x +1)< 0$, a następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego $y=(1−x)(2x+1)$ $$ x_{1}=1 \text { oraz } x_{2}=-\frac{1}{2} $$

II sposób

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci $−2x^2 +x+1<0$ obliczamy wyróżnik tego trójmianu: $$\Delta=1−4⋅(−2)⋅1=9$$ Pierwiastki równania $$ x_{1}=\frac{-1-3}{-4}=1 \text { oraz } x_{2}=\frac{-1+3}{-4}=-\frac{1}{2} $$
Odpowiedź
Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: $$ \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(1,+\infty) $$

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

I sposób

Ponieważ prosta o równaniu $x = 7$ jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, więc pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa $7$, czyli $$ -\frac{b}{2 a}=7, -\frac{b}{2}=7 $$ Stąd $b=−14$. Wykres funkcji przechodzi przez punkt $A = (0, −5)$, więc wyraz wolny $c$ we wzorze funkcji jest równy $c = −5 $.

II sposób

Ponieważ prosta o równaniu x = 7 jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, więc wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej $$ f(x)=(x-7)^{2}+q $$ Punkt A = (0, −5) leży na tym wykresie, wiec f (0) = −5 , czyli $$ \begin{array}{c}{-5=(0-7)^{2}+q} \\ {-5=49+q} \\ {q=-54}\end{array} $$ Zatem $f ( x ) = ( x − 7 )^2 − 54 $. Przekształcając tę postać kanoniczną do postaci ogólnej, otrzymujemy $$f(x)=x^{2}-14 x+49-54$$ $$f(x)=x^{2}-14 x-5$$
Odpowiedź
Wartości współczynników b i c są równe: $$b = −14 , c = −5$$

Matura 2018 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x) = -2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

A. $ x_1 + x_2 = -8 $
B. $ x_1 + x_2 = 8 $
C. $ x_1 + x_2 = -2$
D. $ x_1 + x_2 = 2 $
Wzór

Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie Z postaci iloczynowej mozemy odczytać miejsca zerowe (rozwiązania) $x_1 = -3$ , $x_2 = 5$ $$ x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2$$
Odpowiedź
D. $ x_1 + x_2 = 2 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 6x - 3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

A. $ (-6, 69) $
B. $ (-6, -3) $
C. $ (6, -3) $
D. $ (3, -12) $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie $$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3,$$ $$ q=\frac{-\Delta}{4a} = -\frac{ (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}{4} = \frac{-(36+12)}{4} = -12$$
Odpowiedź
D. $ (3, -12) $

Matura 2018 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 3x \gt 5\).

Rozwiązanie $$2x^{ 2} - 3x > 5$$ $$2x^{ 2} - 3x - 5 > 0$$ Liczymy pierwiastki z Delty ($\Delta = 49$) $$x_1 = -1, x_2 = \frac{5}{2} $$ Ramiona skierowane w góre i przedziały otwarte: $$ x \in (-\infty,-1) \cup (\frac{5}{2},\infty)$$
Odpowiedź
$x \in ( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 5 } { 2 } , + \infty \right)$

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\). Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

A. $ b\lt 0, c\gt 0 $
B. $ b\lt 0, c\lt 0 $
C. $ b\gt 0, c\gt 0 $
D. $ b\gt 0, c\lt 0 $
Rozwiązanie Ustalenie znaku współczynnika \(c\). Zacznijmy od prostszego współczynnika, a mianowicie współczynnika \(c\). Z własności postaci ogólnej funkcji kwadratowej (czyli tej zapisanej w treści zadania) wynika, że o ile współczynnik \(a\) decyduje o tym czy ramiona są skierowane do góry czy do dołu, o tyle współczynnik \(c\) mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków dla \(y=2\), to współczynnik \(c=2\). W naszym przypadku parabola przecina oś igreków w dodatnim miejscu, a to oznacza, że \(c\gt0\). Ustalenie znaku współczynnika \(b\). Ze współczynnikiem \(b\) nie wiążą się jakieś szczególne cechy, ale możemy poznać znak tego współczynnika korzystając z wierzchołka paraboli. Ze wzorów na współrzędną iksową paraboli (czyli współrzędną \(p\)) wynika, że: $$p=\frac{-b}{2a}$$ Współczynnik \(a\) jest akurat znany i jest on równy \(1\), bo przed \(x^2\) we wzorze funkcji nie stoi żadna wartość. Współrzędna iksowa wierzchołka (czyli współrzędna \(p\)) jest dodatnia, co widzimy na rysunku. To by oznaczało, że: $$\frac{-b}{2a}\gt0 \\ \frac{-b}{2\cdot1}\gt0 \\ \frac{-b}{2}\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\ -b\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \\ b\lt0$$ Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności. To oznacza, że \(b\lt 0, c\gt 0\).
Odpowiedź
A. $ b\lt 0, c\gt 0 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2+x-6\le 0\).

Odpowiedź
\(x\in\left\langle-2, \frac{3}{2}\right\rangle\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 4)

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Odpowiedź
\(-\frac{16}{3}\)

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) oraz \(f(-1)=f(3)=1\). Współczynnik \(b\) jest równy

A. $ -2 $
B. $ -1 $
C. $ 0 $
D. $ 3 $
Rozwiązanie Z treści zadania wynika, że dla \(x=-1\) oraz dla \(x=3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(1\). W związku z tym podstawiając te dane do wzoru funkcji powstaną nam dwa równania z których stworzymy układ równań: $$\begin{cases} 1=(-1)^2-1b+c \\ 1=3^2+3b+c \end{cases}$$ $$\begin{cases} 1=1-b+c \\ 1=9+3b+c \end{cases}$$ $$\begin{cases} -b+c=0 \\ 3b+c=-8 \end{cases}$$ Teraz odejmując te równania stronami otrzymamy: $$-4b=8 \\ b=-2$$
Odpowiedź
A. $ -2 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu

A. $ y=-5 $
B. $ y=5 $
C. $ y=-4 $
D. $ y=4 $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych funkcji. Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe: $$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0 \\ x=3 \quad\lor\quad x=7$$ Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli. Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem \(p\). Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym: $$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\ p=\frac{3+7}{2} \\ p=\frac{10}{2} \\ p=5$$ Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli. Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=5\). To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem \(q\)). Zatem: $$q=(5-3)(7-5) \\ q=2\cdot2 \\ q=4$$ W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa \(q=4\), to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej \(y=4\).
Odpowiedź
D. $ y=4 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 12 (0 - 1)

Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem

A. $ f(x)=(x+2017)^2 $
B. $ f(x)=x^2-2017 $
C. $ f(x)=(x+2017)(x-2017) $
D. $ f(x)=x^2+2017 $
Rozwiązanie Skoro punkt \(A=(2017,0)\) należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji \(x=2017\) powinniśmy otrzymać wynik \(y=0\). Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając \(x=2017\) otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu \(4034^2\). Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość \(2017^2-2017\) i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć \(2017^2+2017\). Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą \(0\), a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć \(0\), a więc tam otrzymamy \(4034\cdot0=0\).
Odpowiedź
C. $ f(x)=(x+2017)(x-2017) $

Matura 2017 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), o miejscach zerowych: \(-3\) i \(1\). Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

A. $ 1 $
B. $ 2 $
C. $ 3 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej odpowiada miejscu przecięcia się paraboli z osią \(Oy\). Widzimy wyraźnie, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\), zatem współczynnik \(c=3\).
Odpowiedź
C. $ 3 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 29 (0 - 4)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).

Odpowiedź
\(a=-\frac{1}{2}\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

A. $ \langle 5,+\infty ) $
B. $ (-\infty ,5\rangle $
C. $ (-\infty ,-5\rangle $
D. $ \langle -5,+\infty ) $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera. $$(x-1)(x-9)=0 \\ x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\ x=1 \quad\lor\quad x=9$$ Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli. Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem: $$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$ Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja \(f\) jest rosnąca: Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy. Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną \(x_{W}\)) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc \(\langle5,+\infty)\).
Odpowiedź
A. $ \langle 5,+\infty ) $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek

A. $ a\lt -1 $
B. $ -1\le a\lt 0 $
C. $ 0\le a\lt \frac{1}{3} $
D. $ a\gt \frac{1}{3} $
Rozwiązanie Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(\Delta\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych: Obliczenie delty. Współczynniki: \(a=1,\,b=2,\,c=3a\) $$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$ Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\). Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\): $$4-12a\lt0 \\ -12a\lt-4 \\ 12a\gt4 \\ a\gt\frac{1}{3}$$ (Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)
Odpowiedź
D. $ a\gt \frac{1}{3} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \).

Odpowiedź
Analizowana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w miejscu który jest jej wierzchołkiem i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 10 (0 - 1)

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.

A. $ (-\infty ,3\rangle $
B. $ (-\infty ,5\rangle $
C. $ (-\infty ,11\rangle $
D. $ \langle 6,+\infty ) $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych funkcji. Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując \(-2(x+5)(x-11)\) do zera: $$-2(x+5)(x-11)=0 \\ x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$ Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli. Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik \(a=-2\) stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną \(x\) wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób: $$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$ To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,3\rangle\).
Odpowiedź
A. $ (-\infty ,3\rangle $

Matura 2016 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. $ (-\infty,-2\rangle $
B. $ \langle -2,4 \rangle $
C. $ \langle 4,+\infty ) $
D. $ (-\infty,9\rangle $
Rozwiązanie Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty,9\rangle\).
Odpowiedź
D. $ (-\infty,9\rangle $

Matura 2016 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1,2 \rangle \) jest równa

A. $ 2 $
B. $ 5 $
C. $ 8 $
D. $ 9 $
Rozwiązanie Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(5\) dla \(x=-1\).
Odpowiedź
B. $ 5 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 11 (0 - 1)

Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

A. $ y=2\cdot (x+3)^2+5 $
B. $ y=-2\cdot (x-3)^2+5 $
C. $ y=-2\cdot (x+3)^2+5 $
D. $ y=-2\cdot (x-3)^2-5 $
Rozwiązanie Równanie paraboli o wierzchołku \(W=(p,q)\) możemy zapisać jako: $$y=a(x-p)^2+q$$ W naszym przypadku \(p=-3\) oraz \(q=5\), zatem: $$y=a(x-(-3))^2+5 \\ y=a(x+3)^2+5$$ Zgodnie z tym wzorem pasowałyby nam pierwsza i trzecia odpowiedź, ale wiemy jeszcze, że parabola ma mieć ramiona skierowane do dołu, tak więc współczynnik \(a\) musi być mniejszy od zera. Taka sytuacja jest w trzeciej odpowiedzi, więc poszukiwanym wzorem jest $$y=-2\cdot(x+3)^2+5$$
Odpowiedź
C. $ y=-2\cdot (x+3)^2+5 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne

A. $ (4,2) $
B. $ (0,2) $
C. $ (2,0) $
D. $ (2,4) $
Rozwiązanie Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2,2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0,2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ (0,2) $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 34 (0 - 5)

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).

Odpowiedź
\(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeśli \(f(3)=4\), to

A. $ f(1)=18 $
B. $ f(1)=6 $
C. $ f(1)=0 $
D. $ f(1)=-6 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości współczynnika \(c\). Skoro \(f(3)=4\), to znaczy że po podstawieniu \(x=3\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(4\). To z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika \(c\). $$3^2+3+c=4 \\ 9+3+c=4 \\ 12+c=4 \\ c=-8$$ To oznacza, że nasza funkcja przybiera postać \(f(x)=x^2+x-8\). Obliczenie wartości \(f(1)\). Znamy już pełny wzór funkcji, więc sprawdźmy która z odpowiedzi będzie prawidłowa, podstawiając \(x=1\). $$1^2+1-8=1+1-8=-6$$ Czyli \(f(1)=-6\).
Odpowiedź
D. $ f(1)=-6 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 29 (0 - 2)

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).

Odpowiedź
Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\).