Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 2x - 11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .
Wykorzystaj wzory na wierzchołek paraboli W= (p,q)
Ze wzoru funkcji odczytujemy a=1 i =-2. Wynika z tego, że $$p=\frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot1} =\frac{2}{2} =1$$ Do obliczenia \(q\) musimy najpierw policzyć deltę($\Delta=b^2-4ac$): $$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-11)=4-(-44)=4+44=48$$ W związku z tym: $$q=\frac{-\Delta}{4a} =\frac{-48}{4\cdot1} =-12$$ Otrzymujemy współrzędne wierzchołka \(W= (p,q)=(1,-12)\).Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x) = -3(x-2)(x-9)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem
Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$
Wzory Viéte’a. Jeżli $\Delta \ge 0$ to $$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a},$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$$
Odczytaj pierwiastki z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej
I sposób
Funkcja przedstawiona jest w postaci iloczynowej, zatem pierwiastkami (rozwiązaniami) są liczby dla których jeden z nawiasów jest równy zero. $$-3(x-2)(x-9)=0 \\ x-2=0 \quad\lor\quad x-9=0 $$ $$ x=2 \quad\lor\quad x=9$$ Funkcja ma dwa miejsca zerowe \(x_1=2, x_2=9\), zatem: $$x_{1}+x_{2}=2+9=11$$II sposób
Mnożymy nawiasy i porzedstawiamy funkcję w postaci ogólnej $$f(x) = -3(x-2)(x-9) = -3x^2+33x-54.$$ Podstawiając do wzoru Viete'a $$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} =\frac{-33}{-3}=11 $$Największą wartością funkcji \(y = -(x-2)^2 + 4\) w przedziale \(\langle 3, 5\rangle\) jest
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$
Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.
Odczytujemy z tablic postać kanoniczną funkcji kwadratowej i z treści zadania odczytujemy \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2,4)\). Współrzędna x=2 wierzchołka nie należy do \(\langle3,5\rangle\). Teraz musimy sprawdzić wartości na brzegach przedziału \(x=3\) oraz \(x=5\). Podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy: $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3 $$ $$ f(5)=-(5-2)^2+4=-9+4=-5.$$ Największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).Rozwiąż nierówność \(x^2 + 6x - 16 \lt 0\).
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $$f ( x ) = ax^2 + bx + c$$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $ax^2 + bx + c = 0$ ), zależy od wyróżnika $$\Delta = b^2 - 4ac :$$ $$\text{- gdy } \Delta < 0,$$ to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), $$\text{ - gdy }\Delta = 0,$$ to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$ $$\text{- gdy }\Delta >0,$$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap polega na obliczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na zapisaniu zbioru rozwiązań nierówności.
Zaczynamy od znalezienia pierwiastków funcji kwadratowej. Odczytujemy \(a=1,\,b=6,\,c=-16\) $$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot(-16)=36-(-64)=36+64=100 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{100}=10$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6-10}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6+10}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.$$ Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór: $$x\in(-8,2)$$ Pamiętaj, że nawaiasy są otwarte $( , )$ bo nierówność jest ostra $\lt$.Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle \) jest
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .
Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.
W treści zadania jest funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej, z której odczytujemy \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2,4)\). Zauważamy, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\). Obliczamy wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\): $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \\ f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$ Największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.
Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x\lt 0\).
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $$f ( x ) = ax^2 + bx + c$$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $ax^2 + bx + c = 0$ ), zależy od wyróżnika $$\Delta = b^2 - 4ac :$$ $$\text{- gdy } \Delta < 0,$$ to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), $$\text{ - gdy }\Delta = 0,$$ to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$ $$\text{- gdy }\Delta >0,$$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap polega na obliczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na zapisaniu zbioru rozwiązań nierówności.
I sposób
Wyłączamy czynnik $(1− x)$ przed nawias i zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej $(1− x)(2x +1)< 0$, a następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego $y=(1−x)(2x+1)$ $$ x_{1}=1 \text { oraz } x_{2}=-\frac{1}{2} $$II sposób
Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci $−2x^2 +x+1<0$ obliczamy wyróżnik tego trójmianu: $$\Delta=1−4⋅(−2)⋅1=9$$ Pierwiastki równania $$ x_{1}=\frac{-1-3}{-4}=1 \text { oraz } x_{2}=\frac{-1+3}{-4}=-\frac{1}{2} $$Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$
I sposób
Ponieważ prosta o równaniu $x = 7$ jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, więc pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa $7$, czyli $$ -\frac{b}{2 a}=7, -\frac{b}{2}=7 $$ Stąd $b=−14$. Wykres funkcji przechodzi przez punkt $A = (0, −5)$, więc wyraz wolny $c$ we wzorze funkcji jest równy $c = −5 $.II sposób
Ponieważ prosta o równaniu x = 7 jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, więc wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej $$ f(x)=(x-7)^{2}+q $$ Punkt A = (0, −5) leży na tym wykresie, wiec f (0) = −5 , czyli $$ \begin{array}{c}{-5=(0-7)^{2}+q} \\ {-5=49+q} \\ {q=-54}\end{array} $$ Zatem $f ( x ) = ( x − 7 )^2 − 54 $. Przekształcając tę postać kanoniczną do postaci ogólnej, otrzymujemy $$f(x)=x^{2}-14 x+49-54$$ $$f(x)=x^{2}-14 x-5$$Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x) = -2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem
Jeśli $\Delta \ge 0$ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f ( x ) = a ( x - x_1 )( x - x_2 ).$$
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 6x - 3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $( p, q )$ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a > 0,$ do dołu, gdy $a < 0$ .
Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 3x \gt 5\).
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\). Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:
Rozwiąż nierówność \(2x^2+x-6\le 0\).
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) oraz \(f(-1)=f(3)=1\). Współczynnik \(b\) jest równy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu
Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), o miejscach zerowych: \(-3\) i \(1\). Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale
Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \).
Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1,2 \rangle \) jest równa
Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne
Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeśli \(f(3)=4\), to
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).