Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Punkt \( \bigl(1, \sqrt{3}\bigl)\) należy do wykresu funkcji \(y = 2\sqrt{3}x + b\). Współczynnik \(b\) jest równy

A. $ 7 $
B. $ 3\sqrt{3}$
C. $ -5$
D. $ -\sqrt{3} $
Rozwiązanie Podstawiamy \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) $$y=2\sqrt{3}x+b $$ $$\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b $$ odejmujemy stronami $-2\sqrt{3} $ $$b=-\sqrt{3}$$
Odpowiedź
D. $ -\sqrt{3} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla

A. $ m=1 $
B. $ m=0 $
C. $ m=-1 $
D. $ m=-2 $
Odpowiedź
C. $ m=-1 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = \frac{1}{3}x - 1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

A. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = \Biggl( 0, \frac{1}{3} \Biggl) $.
B. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = ( 0, -1) $.
C. Funkcja $f$ jest malejąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = \Biggl( 0, \frac{1}{3} \Biggl) $.
D. Funkcja $f$ jest malejąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = ( 0, -1) $.
Rozwiązanie Funkcja jest rosnąca poniewaz $\frac{1}{3} > 0$, dla $x=0$ $y = f(0) = -1$ i dlatego $P = (x,y) = (0,-1)$ należy do wykresu funkcji
Odpowiedź
B. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P = ( 0, -1) $.

Matura 2018 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\), a punkt \(M = (3, -2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy

A. $ 1 $
B. $ \frac{3}{2} $
C. $ -\frac{3}{2} $
D. $ -1 $
Rozwiązanie Liczba $1$ jest miejscem zerowym tzn. $f(1)=0$, $$a\cdot 1 + b = 0 , b = -a $$ $M=(3,−2)$ należy do wykresu tzn. $ f(3) = -2$ $$ a\cdot 3 + b = -2 $$ $$ 3a -a = -2 $$ $$ a = -1$$
Odpowiedź
D. $ -1 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ \) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\) (zobacz rysunek). Prosta \(l\) ma równanie

A. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} $
B. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3} $
C. $ y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3} $
D. $ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3} $
Rozwiązanie Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\). Nasza prosta będzie wyrażać się wzorem \(y=ax+b\). Musimy teraz ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi iksów. W związku z tym: $$a=tg30° \\ a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Ustalenie wartości współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina się z osią igreków. Widzimy, że prosta przecina oś igreków dla \(y=-\sqrt{3}\), zatem \(b=-\sqrt{3}\). To oznacza, że prosta \(l\) wyrażona jest równaniem \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\).
Odpowiedź
A. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 7 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=21-\frac{7}{3}x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest

A. $ -9 $
B. $ -\frac{7}{3} $
C. $ 9 $
D. $ 21 $
Rozwiązanie Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy przyrównać jej wzór do zera: $$21-\frac{7}{3}x=0 \\ 21=\frac{7}{3}x \quad\bigg/\cdot\frac{3}{7}x \\ x=\frac{63}{7} \\ x=9$$
Odpowiedź
C. $ 9 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12\) jest liczba

A. $ \sqrt{3}-4 $
B. $ -2\sqrt{3}+1 $
C. $ 4\sqrt{3}-1 $
D. $ -\sqrt{3}+12 $
Rozwiązanie Aby obliczyć miejsce zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli sprawdzić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą zero. $$\sqrt{3}(x+1)-12=0 \\ \sqrt{3}(x+1)=12 \quad\bigg/:\sqrt{3} \\ x+1=\frac{12}{\sqrt{3}} \\ x+1=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\ x+1=\frac{12\sqrt{3}}{3} \\ x+1=4\sqrt{3} \\ x=4\sqrt{3}-1$$
Odpowiedź
C. $ 4\sqrt{3}-1 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiona jest prosta \(k\) o równaniu \(y=ax\), przechodząca przez punkt \(A=(2,-3)\) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt \(\alpha \) nachylenia tej prostej od osi \(Ox\). Zatem

A. $ a=-\frac{2}{3} $
B. $ a=-\frac{3}{2} $
C. $ a=\frac{2}{3} $
D. $ a=\frac{3}{2} $
Rozwiązanie Nasz kąt ma swój wierzchołek w początku układu współrzędnych oraz jedno z jego ramion pokrywa się z osią iksów. W takiej sytuacji możemy skorzystać ze wzoru znajdującego w tablicach matematycznych: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$$ \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta \(k\) będąca ramieniem zaznaczonego kąta. W naszym przypadku podstawimy więc współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-3\): $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$
Odpowiedź
B. $ a=-\frac{3}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie

A. $ y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2} $
B. $ y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2} $
C. $ y=4x-12 $
D. $ y=4x+12 $
Rozwiązanie Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć: $$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4) \\ a=4$$ To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\). Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej. Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. $$y=4x+b \\ 4=4\cdot(-2)+b \\ 4=-8+b \\ b=12$$ Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).
Odpowiedź
D. $ y=4x+12 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\). Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem

A. $ g(x)=2x+2 $
B. $ g(x)=2x-2 $
C. $ g(x)=-2x+2 $
D. $ g(x)=-2x-2 $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0,2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\). Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).
Odpowiedź
A. $ g(x)=2x+2 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 23 (0 - 1)

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem

A. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
C. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
D. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
Rozwiązanie Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\). Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\). Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\). Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\). Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$

Matura 2016 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że

A. $ P=(1,2) $
B. $ P=(-1,2) $
C. $ P=(-1,-2) $
D. $ P=(1,-2) $
Rozwiązanie Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań: \begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases} Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\). Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\): $$2\cdot(-1)-3y=4 \\ -2-3y=4 \\ -3y=6 \\ y=-2$$ To oznacza, że \(P=(-1,-2)\).
Odpowiedź
C. $ P=(-1,-2) $

Matura 2016 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

A. $ 8 $
B. $ 6 $
C. $ -6 $
D. $ -8 $
Rozwiązanie

Miejsce zerowe funkcji to argument (x) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero $f(x)=0$.

Obliczamy miejsce zerowe $$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\ x+8=0 \\ x=-8$$
Odpowiedź
D. $ -8 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

A. $ m=2 $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=\frac{1}{3} $
D. $ m=-2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem: $$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\ 2m=-m+1 \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
C. $ m=\frac{1}{3} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych

A. $ (0,-3) $
B. $ (-3,0) $
C. $ (0,2) $
D. $ (0,3) $
Rozwiązanie O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\).
Odpowiedź
A. $ (0,-3) $

Matura 2015 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że

A. $ b=-\frac{8}{3} $
B. $ b=\frac{4}{3} $
C. $ b=4 $
D. $ b=-\frac{3}{2} $
Rozwiązanie Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\). Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli: $$-3x+4=0 \\ -3x=-4 \\ x=\frac{4}{3}$$ Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\). Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem: $$2x+b=0 \\ 2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\ \frac{8}{3}+b=0 \\ b=-\frac{8}{3}$$
Odpowiedź
A. $ b=-\frac{8}{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. $ m=2 $
B. $ m=-2 $
C. $ m=-2-2\sqrt{2} $
D. $ m=2+2\sqrt{2} $
Rozwiązanie Utworzenie równania z parametrem \(m\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie: $$m^2=4m-4$$ Rozwiązanie powstałego równania. Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem: $$m^2=4m-4 \\ m^2-4m+4=0 \\ (m-2)^2=0 \\ m-2=0 \\ m=2$$
Odpowiedź
B. $ m=-2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

A. $ m=-\frac{1}{2} $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=1 $
D. $ m=2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem: $$2m\cdot4m^2=-1 \\ 8m^3=-1 \\ m^3=-\frac{1}{8} \\ m=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
D. $ m=2 $