Matura 2017 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)
Na rysunku przedstawiona jest prosta \(k\) o równaniu \(y=ax\), przechodząca przez punkt \(A=(2,-3)\) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt \(\alpha \) nachylenia tej prostej od osi \(Ox\). Zatem
A. $ a=-\frac{2}{3} $
B. $ a=-\frac{3}{2} $
C. $ a=\frac{2}{3} $
D. $ a=\frac{3}{2} $
Rozwiązanie
Nasz kąt ma swój wierzchołek w początku układu współrzędnych oraz jedno z jego ramion pokrywa się z osią iksów. W takiej sytuacji możemy skorzystać ze wzoru znajdującego w tablicach matematycznych: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$$ \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta \(k\) będąca ramieniem zaznaczonego kąta. W naszym przypadku podstawimy więc współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-3\): $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$
Odpowiedź
Matura 2017 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie
A. $ y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2} $
B. $ y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2} $
C. $ y=4x-12 $
D. $ y=4x+12 $
Rozwiązanie
Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć: $$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4) \\ a=4$$ To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\). Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej. Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. $$y=4x+b \\ 4=4\cdot(-2)+b \\ 4=-8+b \\ b=12$$ Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).
Odpowiedź
Matura 2016 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\). Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem
A. $ g(x)=2x+2 $
B. $ g(x)=2x-2 $
C. $ g(x)=-2x+2 $
D. $ g(x)=-2x-2 $
Rozwiązanie
Sporządzenie rysunku poglądowego. Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0,2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\). Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).
Odpowiedź
Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 23 (0 - 1)
Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem
A. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
C. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
D. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
Rozwiązanie
Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\). Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\). Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\). Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\). Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
Matura 2016 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)
Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że
A. $ P=(1,2) $
B. $ P=(-1,2) $
C. $ P=(-1,-2) $
D. $ P=(1,-2) $
Rozwiązanie
Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań: \begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases} Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\). Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\): $$2\cdot(-1)-3y=4 \\ -2-3y=4 \\ -3y=6 \\ y=-2$$ To oznacza, że \(P=(-1,-2)\).
Odpowiedź
Matura 2016 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)
Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
A. $ 8 $
B. $ 6 $
C. $ -6 $
D. $ -8 $
Rozwiązanie
Miejsce zerowe funkcji to argument (x) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero $f(x)=0$.
Obliczamy miejsce zerowe $$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\ x+8=0 \\ x=-8$$
Odpowiedź
Matura 2016 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)
Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy
A. $ m=2 $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=\frac{1}{3} $
D. $ m=-2 $
Rozwiązanie
Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem: $$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\ 2m=-m+1 \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
Matura 2015 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)
Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych
A. $ (0,-3) $
B. $ (-3,0) $
C. $ (0,2) $
D. $ (0,3) $
Rozwiązanie
O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\).
Odpowiedź
Matura 2015 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że
A. $ b=-\frac{8}{3} $
B. $ b=\frac{4}{3} $
C. $ b=4 $
D. $ b=-\frac{3}{2} $
Rozwiązanie
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\). Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli: $$-3x+4=0 \\ -3x=-4 \\ x=\frac{4}{3}$$ Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\). Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem: $$2x+b=0 \\ 2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\ \frac{8}{3}+b=0 \\ b=-\frac{8}{3}$$
Odpowiedź
Matura 2015 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)
Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:
A. $ m=2 $
B. $ m=-2 $
C. $ m=-2-2\sqrt{2} $
D. $ m=2+2\sqrt{2} $
Rozwiązanie
Utworzenie równania z parametrem \(m\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie: $$m^2=4m-4$$ Rozwiązanie powstałego równania. Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem: $$m^2=4m-4 \\ m^2-4m+4=0 \\ (m-2)^2=0 \\ m-2=0 \\ m=2$$
Odpowiedź
Matura 2015 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)
Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla
A. $ m=-\frac{1}{2} $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=1 $
D. $ m=2 $
Rozwiązanie
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem: $$2m\cdot4m^2=-1 \\ 8m^3=-1 \\ m^3=-\frac{1}{8} \\ m=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
