Dane są funkcje \(f(x) = 3^x\) oraz \(g(x) = f(-x)\), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Punkt wspólny wykresów funkcji \(f\) i \(g\)

Rozwiązanie

Zrób rysunek

Punkt wspólny obliczymy ze wzoru: $$f(x) = 3^x = g(x) = f(-x) = 3^{-x}$$ $$3^x = 3^{-x}$$ Zauważmy, że równość zachodzi gdy $$x = -x $$ a to jest prawdziwe tylko dla $x=0$. Następnie dla $x=0$ $f(0) = 3^0 = 1$. Punkt przeciecia wykresów funkcji to $$P = (0,1)$$

Odpowiedź

C. ma współrzędne $(0, 1)$.

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x) = a^x\) (gdzie \(a \gt 0\) i \(a \ne 1\)), należy punkt \(P = (2, 9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x) = f(x) - 2\).

Rozwiązanie

Punkt $P=(2,9)$ należy do wykresu $$9 = a^2 \iff a = 3 ( \text{ bo } a>0)$$ Zbiór wartości funcji $$g(x) = 3^x - 2,\quad ZW = (-2,\infty )$$

Odpowiedź

$ZW = (-2,\infty )$

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge 4.\)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=a^x\). Punkt \(A=(1,2)\) należy do wykresu funkcji. Podstawa \(a\) potęgi jest równa

Rozwiązanie

Wykres funkcji możemy zapisać jako \(y=a^x\). Teraz znacznie lepiej widać, że możemy do wzoru tej funkcji po prostu podstawić współrzędne punktu \(A=(1,2)\) i tym samym wyznaczyć podstawę potęgi, zatem: $$y=a^x \\ 2=a^1$$ No i teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi pierwszej aby otrzymać \(2\)? Oczywiście \(2\), tak więc prawidłową odpowiedzią będzie \(a=2\).

Odpowiedź

D. $ 2 $