Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Rozwiązaniem równiania \(\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}\) jest liczba

A. $ -2 $
B. $ 2$
C. $ 4$
D. $ -4$
Rozwiązanie

Pamiętaj o dziedzinie funkcji

Dziedzina funkcji: nie dzielimy przez zero (mianownik różny od zera) $$3(x+2)\neq0 $$ $$x\neq-2$$ Mnożymy na krzyż: $$\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}$$ $$9\cdot(x-2)=3(x+2) $$ $$9x-18=3x+6$$ $$6x=24 $$ $$x=4$$
Odpowiedź
C. $ 4$

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 6 (0 - 1)

Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)

A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
D. nie ma rozwiązań.
Rozwiązanie

Zacznij od wyznaczenia dziedziny.

Dziedzina funkcji $$2x+1\neq0 \\ 2x\neq-1 \\ x\neq-\frac{1}{2}$$ To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\). Rozwiązanie równania. Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika: $$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1) \\ x\cdot(2x+1)-1=0 \\ 2x^2+x-1=0$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe \(a=2,\,b=1,\,c=-1\) $$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$. Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).
Odpowiedź
A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne -2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa

A. $ -8 $
B. $ -\frac{1}{2} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ 8 $
Rozwiązanie Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy: $$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2 \\ f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2 \\ f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2 \\ f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1 \\ f(2)=-\frac{2}{4} \\ f(2)=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
B. $ -\frac{1}{2} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 7 (0 - 1)

Równanie \(\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} = 0\)

A. ma dwa rozwiązania: $x = 0, x = -2$
B. ma jedno rozwiązanie: $ x = 0 $
C. ma dwa rozwiązania: $ x = -2, x = 2 $
D. ma trzy rozwiązania: $ x = -2, x = 0, x = 2 $
Rozwiązanie Uwaga: $2$ i $-2$ nie nalezy do dziedziny (nie dzielimy przez zero), dlatego jedynym rozwiązaniem jest zero.
Odpowiedź
B. ma jedno rozwiązanie: $ x = 0 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\ne -2\), jest liczba należąca do przedziału

A. $ (-2,1) $
B. $ \langle 1,+\infty ) $
C. $ (-\infty ,-5) $
D. $ \langle -5,-2) $
Rozwiązanie $$\frac{x+1}{x+2}=3 \quad\bigg/\cdot(x+2) \\ x+1=3(x+2) \\ x+1=3x+6 \\ -2x=5 \\ x=-2,5$$ To oznacza, że rozwiązanie równania należy do przedziału \(x\in\langle-5,-2)\).
Odpowiedź
D. $ \langle -5,-2) $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa

A. $ -\frac{8}{5} $
B. $ -\frac{4\sqrt{2}}{3} $
C. $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $
D. $ -\frac{4}{3} $
Rozwiązanie Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem: $$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Odpowiedź
C. $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa

A. $ 2-4\sqrt{2} $
B. $ 1-2\sqrt{2} $
C. $ 1+2\sqrt{2} $
D. $ 2+4\sqrt{2} $
Rozwiązanie Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$ Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\ f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$
Odpowiedź
A. $ 2-4\sqrt{2} $