Funkcje

Dane są funkcje $f(x) = 3^x$ oraz $g(x) = f(-x)$, określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Punkt wspólny wykresów funkcji $f$ i $g$

 A.  nie istnieje 
 B.  ma współrzędne $(1, 0)$. 
 C.  ma współrzędne $(0, 1)$. 
 D.  ma współrzędne $(0, 0)$. 

Rozwiązanie

Zrób rysunek

Punkt wspólny obliczymy ze wzoru: $$f(x) = 3^x = g(x) = f(-x) = 3^{-x}$$ $$3^x = 3^{-x}$$ Zauważmy, że równość zachodzi gdy $$x = -x $$ a to jest prawdziwe tylko dla $x=0$. Następnie dla $x=0$ $f(0) = 3^0 = 1$. Punkt przeciecia wykresów funkcji to $$P = (0,1)$$

Odpowiedź

C. ma współrzędne $(0, 1)$.

Punkt $ \bigl(1, \sqrt{3}\bigl)$ należy do wykresu funkcji $y = 2\sqrt{3}x + b$. Współczynnik $b$ jest równy

A. $ 7 $

B. $ 3\sqrt{3}$

C. $ -5$

D. $ -\sqrt{3} $

Rozwiązanie

Podstawiamy $x=1$ oraz $y=\sqrt{3}$ $$y=2\sqrt{3}x+b $$ $$\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b $$ odejmujemy stronami $-2\sqrt{3} $ $$b=-\sqrt{3}$$

Odpowiedź

D. $ -\sqrt{3} $

Największą wartością funkcji $y = -(x-2)^2 + 4$ w przedziale $\langle 3, 5\rangle$ jest

A. $ 0 $

B. $ 5 $

C. $ 4 $

D. $ 3 $

Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa

Rozwiązanie

Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.

Odczytujemy z tablic postać kanoniczną funkcji kwadratowej i z treści zadania odczytujemy $p=2$ oraz $q=4$, czyli $W=(2,4)$. Współrzędna x=2 wierzchołka nie należy do $\langle3,5\rangle$. Teraz musimy sprawdzić wartości na brzegach przedziału $x=3$ oraz $x=5$. Podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy: $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3 $$ $$ f(5)=-(5-2)^2+4=-9+4=-5.$$ Największą wartością funkcji w przedziale $\langle3,5\rangle$ jest wartość równa $y=3$, osiągana dla argumentu $x=3$.

Odpowiedź

D. $ 3 $

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne -2$. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $2$ jest równa

A. $ -8 $

B. $ -\frac{1}{2} $

C. $ \frac{1}{2} $

D. $ 8 $

Rozwiązanie

Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu $2$, wystarczy podstawić do wzoru funkcji $x=2$. Otrzymamy wtedy: $$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2 \\ f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2 \\ f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2 \\ f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1 \\ f(2)=-\frac{2}{4} \\ f(2)=-\frac{1}{2}$$

Odpowiedź

B. $ -\frac{1}{2} $

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ jest parabola, na której leży punkt $A=(0,-5)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=7$. Oblicz wartości współczynników $b$ i $c$.

Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa

Rozwiązanie

I sposób

Ponieważ prosta o równaniu $x = 7$ jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, więc pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa $7$, czyli $$ -\frac{b}{2 a}=7, -\frac{b}{2}=7 $$ Stąd $b=−14$. Wykres funkcji przechodzi przez punkt $A = (0, −5)$, więc wyraz wolny $c$ we wzorze funkcji jest równy $c = −5 $.

II sposób

Ponieważ prosta o równaniu x = 7 jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, więc wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej $$ f(x)=(x-7)^{2}+q $$ Punkt A = (0, −5) leży na tym wykresie, wiec f (0) = −5 , czyli $$ \begin{array}{c}{-5=(0-7)^{2}+q} \\ {-5=49+q} \\ {q=-54}\end{array} $$ Zatem $f ( x ) = ( x − 7 )^2 − 54 $. Przekształcając tę postać kanoniczną do postaci ogólnej, otrzymujemy $$f(x)=x^{2}-14 x+49-54$$ $$f(x)=x^{2}-14 x-5$$

Odpowiedź

Wartości współczynników b i c są równe: $$b = −14 , c = −5$$

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x) = a^x$ (gdzie $a \gt 0$ i $a \ne 1$), należy punkt $P = (2, 9)$. Oblicz $a$ i zapisz zbiór wartości funkcji $g$, określonej wzorem $g(x) = f(x) - 2$.

Rozwiązanie

Punkt $P=(2,9)$ należy do wykresu $$9 = a^2 \iff a = 3 ( \text{ bo } a>0)$$ Zbiór wartości funcji $$g(x) = 3^x - 2,\quad ZW = (-2,\infty )$$

Odpowiedź

$ZW = (-2,\infty )$

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^2+bx+c$. Współczynniki $b$ i $c$ spełniają warunki:

 A.  $ b\lt 0, c\gt 0 $ 
 B.  $ b\lt 0, c\lt 0 $ 
 C.  $ b\gt 0, c\gt 0 $ 
 D.  $ b\gt 0, c\lt 0 $ 

Rozwiązanie

Ustalenie znaku współczynnika $c$. Zacznijmy od prostszego współczynnika, a mianowicie współczynnika $c$. Z własności postaci ogólnej funkcji kwadratowej (czyli tej zapisanej w treści zadania) wynika, że o ile współczynnik $a$ decyduje o tym czy ramiona są skierowane do góry czy do dołu, o tyle współczynnik $c$ mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków dla $y=2$, to współczynnik $c=2$. W naszym przypadku parabola przecina oś igreków w dodatnim miejscu, a to oznacza, że $c\gt0$. Ustalenie znaku współczynnika $b$. Ze współczynnikiem $b$ nie wiążą się jakieś szczególne cechy, ale możemy poznać znak tego współczynnika korzystając z wierzchołka paraboli. Ze wzorów na współrzędną iksową paraboli (czyli współrzędną $p$) wynika, że: $$p=\frac{-b}{2a}$$ Współczynnik $a$ jest akurat znany i jest on równy $1$, bo przed $x^2$ we wzorze funkcji nie stoi żadna wartość. Współrzędna iksowa wierzchołka (czyli współrzędna $p$) jest dodatnia, co widzimy na rysunku. To by oznaczało, że: $$\frac{-b}{2a}\gt0 \\ \frac{-b}{2\cdot1}\gt0 \\ \frac{-b}{2}\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\ -b\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \\ b\lt0$$ Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności. To oznacza, że $b\lt 0, c\gt 0$.

Odpowiedź

A. $ b\lt 0, c\gt 0 $

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=21-\frac{7}{3}x$. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest

A. $ -9 $

B. $ -\frac{7}{3} $

C. $ 9 $

D. $ 21 $

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy przyrównać jej wzór do zera: $$21-\frac{7}{3}x=0 \\ 21=\frac{7}{3}x \quad\bigg/\cdot\frac{3}{7}x \\ x=\frac{63}{7} \\ x=9$$

Odpowiedź

C. $ 9 $

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ oraz $f(-1)=f(3)=1$. Współczynnik $b$ jest równy

A. $ -2 $

B. $ -1 $

C. $ 0 $

D. $ 3 $

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że dla $x=-1$ oraz dla $x=3$ funkcja przyjmuje wartość równą $1$. W związku z tym podstawiając te dane do wzoru funkcji powstaną nam dwa równania z których stworzymy układ równań: $$\begin{cases} 1=(-1)^2-1b+c \\ 1=3^2+3b+c \end{cases}$$ $$\begin{cases} 1=1-b+c \\ 1=9+3b+c \end{cases}$$ $$\begin{cases} -b+c=0 \\ 3b+c=-8 \end{cases}$$ Teraz odejmując te równania stronami otrzymamy: $$-4b=8 \\ b=-2$$

Odpowiedź

A. $ -2 $

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(x-3)(7-x)$. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $f$ należy do prostej o równaniu

A. $ y=-5 $

B. $ y=5 $

C. $ y=-4 $

D. $ y=4 $

Rozwiązanie

Obliczenie miejsc zerowych funkcji. Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe: $$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0 \\ x=3 \quad\lor\quad x=7$$ Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli. Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem $p$. Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym: $$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\ p=\frac{3+7}{2} \\ p=\frac{10}{2} \\ p=5$$ Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli. Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest $p=5$. To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem $q$). Zatem: $$q=(5-3)(7-5) \\ q=2\cdot2 \\ q=4$$ W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa $q=4$, to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej $y=4$.

Odpowiedź

D. $ y=4 $

Punkt $A=(2017,0)$ należy do wykresu funkcji $f$ określonej wzorem

 A.  $ f(x)=(x+2017)^2 $ 
 B.  $ f(x)=x^2-2017 $ 
 C.  $ f(x)=(x+2017)(x-2017) $ 
 D.  $ f(x)=x^2+2017 $ 

Rozwiązanie

Skoro punkt $A=(2017,0)$ należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji $x=2017$ powinniśmy otrzymać wynik $y=0$. Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając $x=2017$ otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu $4034^2$. Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość $2017^2-2017$ i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć $2017^2+2017$. Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą $0$, a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć $0$, a więc tam otrzymamy $4034\cdot0=0$.

Odpowiedź

C. $ f(x)=(x+2017)(x-2017) $

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$, o miejscach zerowych: $-3$ i $1$. Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest równy

A. $ 1 $

B. $ 2 $

C. $ 3 $

D. $ 4 $

Rozwiązanie

Współczynnik $c$ w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej odpowiada miejscu przecięcia się paraboli z osią $Oy$. Widzimy wyraźnie, że parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$, zatem współczynnik $c=3$.

Odpowiedź

C. $ 3 $

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorem $f(x)=ax^2+bx+c.$ Największa wartość funkcji $f$ jest równa $6$ oraz $f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}$. Oblicz wartość współczynnika $a$.

Odpowiedź

$a=-\frac{1}{2}$

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=(x-1)(x-9)$. Wynika stąd, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

 A.  $ \langle 5,+\infty ) $ 
 B.  $ (-\infty ,5\rangle $ 
 C.  $ (-\infty ,-5\rangle $ 
 D.  $ \langle -5,+\infty ) $ 

Rozwiązanie

Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera. $$(x-1)(x-9)=0 \\ x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\ x=1 \quad\lor\quad x=9$$ Wyznaczenie współrzędnej $x$ wierzchołka paraboli. Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem: $$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$ Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja $f$ jest rosnąca: Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy. Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami $x$ nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną $x_{W}$) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc $\langle5,+\infty)$.

Odpowiedź

A. $ \langle 5,+\infty ) $

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$, przy czym $f(0)=-2$ i $f(1)=0$. Wykres funkcji $g$ jest symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem początku układu współrzędnych. Funkcja $g$ jest określona wzorem

A. $ g(x)=2x+2 $

B. $ g(x)=2x-2 $

C. $ g(x)=-2x+2 $

D. $ g(x)=-2x-2 $

Rozwiązanie

Sporządzenie rysunku poglądowego. Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja $g(x)$ przecina oś $Oy$ w miejscu $A=(0,2)$. Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika $b$. Wyznaczenie wartości współczynnika $b$ funkcji $g(x)$. Funkcja $g(x)$ jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci $g(x)=ax+b$. Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników $a$ oraz $b$. Zacznijmy od współczynnika $b$, który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią $Oy$. Skoro prosta przecina oś $Oy$ na wysokości dwóch jednostek, to $b=2$. W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź. Ustalenie wartości współczynnika $a$ funkcji $g(x)$. Funkcja $g(x)$ jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik $a$ musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik $b=2$. W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: $g(x)=2x+2$.

Odpowiedź

A. $ g(x)=2x+2 $

Jeśli funkcja kwadratowa $f(x)=x^2+2x+3a$ nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba $a$ spełnia warunek

 A.  $ a\lt -1 $ 
 B.  $ -1\le a\lt 0 $ 
 C.  $ 0\le a\lt \frac{1}{3} $ 
 D.  $ a\gt \frac{1}{3} $ 

Rozwiązanie

Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno $\Delta\lt0$. Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych: Obliczenie delty. Współczynniki: $a=1,\,b=2,\,c=3a$ $$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$ Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr $a$. Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość $4-12a$ będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru $a$: $$4-12a\lt0 \\ -12a\lt-4 \\ 12a\gt4 \\ a\gt\frac{1}{3}$$ (Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)

Odpowiedź

D. $ a\gt \frac{1}{3} $

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=x^2-11x$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle -6,6\rangle $.

Odpowiedź

Analizowana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w miejscu który jest jej wierzchołkiem i jest ona równa $-30\frac{1}{4}$.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy liczba $f(-\sqrt{2})$ jest równa

 A.  $ -\frac{8}{5} $ 
 B.  $ -\frac{4\sqrt{2}}{3} $ 
 C.  $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $ 
 D.  $ -\frac{4}{3} $ 

Rozwiązanie

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości $x=-\sqrt{2}$ i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem: $$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

Odpowiedź

C. $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=-2(x+5)(x-11)$. Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca.

 A.  $ (-\infty ,3\rangle $ 
 B.  $ (-\infty ,5\rangle $ 
 C.  $ (-\infty ,11\rangle $ 
 D.  $ \langle 6,+\infty ) $ 

Rozwiązanie

Obliczenie miejsc zerowych funkcji. Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując $-2(x+5)(x-11)$ do zera: $$-2(x+5)(x-11)=0 \\ x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$ Obliczenie współrzędnej $x$ wierzchołka paraboli. Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik $a=-2$ stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną $x$ wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób: $$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$ To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale $(-\infty,3\rangle$.

Odpowiedź

A. $ (-\infty ,3\rangle $

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe $k$ i $l$ o równaniach $y=ax+b$ oraz $y=mx+n$. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem

 A.  $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$ 
 B.  $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$ 
 C.  $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$ 
 D.  $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$ 

Rozwiązanie

Ustalenie wartości współczynników $a$ oraz $m$. Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe ($a$ oraz $m$) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też $a\cdot m\gt0$. Ustalenie wartości współczynników $b$ oraz $n$. Współczynniki $b$ oraz $n$ mówią nam w którym miejscu na osi $y$ przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś $Oy$ w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik $b$ jest dodatni, natomiast $n$ jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem $b\cdot n\lt0$. Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Odpowiedź

B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$

Proste o równaniach $2x-3y=4$ i $5x-6y=7$ przecinają się w punkcie $P$. Stąd wynika, że

A. $ P=(1,2) $

B. $ P=(-1,2) $

C. $ P=(-1,-2) $

D. $ P=(1,-2) $

Rozwiązanie

Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu $P$) należy rozwiąząć prosty układ równań: \begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases} Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: $x=-1$. Znając współrzędną $x=-1$ możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną $y$: $$2\cdot(-1)-3y=4 \\ -2-3y=4 \\ -3y=6 \\ y=-2$$ To oznacza, że $P=(-1,-2)$.

Odpowiedź

C. $ P=(-1,-2) $

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

 A.  $ (-\infty,-2\rangle $ 
 B.  $ \langle -2,4 \rangle $ 
 C.  $ \langle 4,+\infty ) $ 
 D.  $ (-\infty,9\rangle $ 

Rozwiązanie

Funkcja ta dla argumentu $x=1$ przyjmuje swoją najwyższą wartość równą $9$. Ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział $(-\infty,9\rangle$.

Odpowiedź

D. $ (-\infty,9\rangle $

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$. Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle -1,2 \rangle $ jest równa

A. $ 2 $

B. $ 5 $

C. $ 8 $

D. $ 9 $

Rozwiązanie

Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą $5$ dla $x=-1$.

Odpowiedź

B. $ 5 $

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa

 A.  $ -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} $ 
 B.  $ -\frac{3}{5} $ 
 C.  $ \frac{3}{5} $ 
 D.  $ \frac{\sqrt[3]{3}}{2} $ 

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić $x=-\sqrt[3]{3}$, zatem: $$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10} \\ f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$

Odpowiedź

B. $ -\frac{3}{5} $

Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy

A. $ m=2 $

B. $ m=\frac{1}{2} $

C. $ m=\frac{1}{3} $

D. $ m=-2 $

Rozwiązanie

Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników $a$ musi być równy $-1$. Pierwsza prosta ma $a=\frac{2}{m-1}$, druga $a=m$, zatem: $$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\ 2m=-m+1 \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$

Odpowiedź

C. $ m=\frac{1}{3} $

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{2x-8}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$. Wówczas wartość funkcji $f(\sqrt{2})$ jest równa

A. $ 2-4\sqrt{2} $

B. $ 1-2\sqrt{2} $

C. $ 1+2\sqrt{2} $

D. $ 2+4\sqrt{2} $

Rozwiązanie

Aby obliczyć wartość $f(\sqrt{2})$ wystarczy tak naprawdę podstawić $x=\sqrt{2}$, zatem: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$ Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\ f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$

Odpowiedź

A. $ 2-4\sqrt{2} $

Wykres funkcji liniowej $y = 2x − 3$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych

A. $ (0,-3) $

B. $ (-3,0) $

C. $ (0,2) $

D. $ (0,3) $

Rozwiązanie

O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią $Oy$ decyduje współczynnik $b$, który w naszym przypadku jest równy $b=-3$. To oznacza, że wykres funkcji przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$.

Odpowiedź

A. $ (0,-3) $

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $y = f (x)$ ma współrzędne $(2, 2)$. Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g(x) = f(x + 2)$ ma współrzędne

A. $ (4,2) $

B. $ (0,2) $

C. $ (2,0) $

D. $ (2,4) $

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f(x+2)$ jest przekształcony względem funkcji $f(x)$ w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o $2$ miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek $f(x)$ był w punkcie $(2,2)$, to wierzchołek $g(x)$ będzie w punkcie $(0,2)$ w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Odpowiedź

B. $ (0,2) $

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem $f(x)=(m-1)x+3$ leży punkt $S=(5,-2)$. Zatem

A. $ m=1 $

B. $ m=2 $

C. $ m=-1 $

D. $ m=0 $

Rozwiązanie

Skoro punkt $S=(5,-2)$ należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr $m$. $$-2=(m-1)\cdot5+3 \\ -2=5m-5+3 \\ -2=5m-2 \\ 5m=0 \\ m=0$$

Odpowiedź

D. $ m=0 $

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)=2x+b$ ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja $g(x)=-3x+4$. Stąd wynika, że

A. $ b=-\frac{8}{3} $

B. $ b=\frac{4}{3} $

C. $ b=4 $

D. $ b=-\frac{3}{2} $

Rozwiązanie

Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji $g(x)$. Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu $x$ funkcja przyjmuje wartość równą $0$, czyli: $$-3x+4=0 \\ -3x=-4 \\ x=\frac{4}{3}$$ Wyznaczenie wartości współczynnika $b$. Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji $f(x)$ argumentu $x=\frac{4}{3}$ powinniśmy otrzymać wartość równą $0$, zatem: $$2x+b=0 \\ 2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\ \frac{8}{3}+b=0 \\ b=-\frac{8}{3}$$

Odpowiedź

A. $ b=-\frac{8}{3} $

Prosta $l$ o równaniu $y=m^2x+3$ jest równoległa do prostej $k$ o równaniu $y=(4m-4)x-3$. Zatem:

A. $ m=2 $

B. $ m=-2 $

C. $ m=-2-2\sqrt{2} $

D. $ m=2+2\sqrt{2} $

Rozwiązanie

Utworzenie równania z parametrem $m$. Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik $a$. To oznacza, że musi między nimi zajść równanie: $$m^2=4m-4$$ Rozwiązanie powstałego równania. Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem: $$m^2=4m-4 \\ m^2-4m+4=0 \\ (m-2)^2=0 \\ m-2=0 \\ m=2$$

Odpowiedź

B. $ m=-2 $

Proste o równaniach: $y=2mx-m^2-1$ oraz $y=4m^2x+m^2+1$ są prostopadłe dla

A. $ m=-\frac{1}{2} $

B. $ m=\frac{1}{2} $

C. $ m=1 $

D. $ m=2 $

Rozwiązanie

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych $a$ musi być równy $-1$. Zatem: $$2m\cdot4m^2=-1 \\ 8m^3=-1 \\ m^3=-\frac{1}{8} \\ m=-\frac{1}{2}$$

Odpowiedź

D. $ m=2 $

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej $f(x)=x^2-6x+3$ w przedziale $\langle 0,4\rangle $.

Odpowiedź

Najmniejszą wartością jest $-6$. Największą wartością jest $3$.

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.