Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Dane są funkcje \(f(x) = 3^x\) oraz \(g(x) = f(-x)\), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Punkt wspólny wykresów funkcji \(f\) i \(g\)

A. nie istnieje
B. ma współrzędne $(1, 0)$.
C. ma współrzędne $(0, 1)$.
D. ma współrzędne $(0, 0)$.
Rozwiązanie

Zrób rysunek

Punkt wspólny obliczymy ze wzoru: $$f(x) = 3^x = g(x) = f(-x) = 3^{-x}$$ $$3^x = 3^{-x}$$ Zauważmy, że równość zachodzi gdy $$x = -x $$ a to jest prawdziwe tylko dla $x=0$. Następnie dla $x=0$ $f(0) = 3^0 = 1$. Punkt przeciecia wykresów funkcji to $$P = (0,1)$$
Odpowiedź
C. ma współrzędne $(0, 1)$.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Punkt \( \bigl(1, \sqrt{3}\bigl)\) należy do wykresu funkcji \(y = 2\sqrt{3}x + b\). Współczynnik \(b\) jest równy

A. $ 7 $
B. $ 3\sqrt{3}$
C. $ -5$
D. $ -\sqrt{3} $
Rozwiązanie Podstawiamy \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) $$y=2\sqrt{3}x+b $$ $$\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b $$ odejmujemy stronami $-2\sqrt{3} $ $$b=-\sqrt{3}$$
Odpowiedź
D. $ -\sqrt{3} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Największą wartością funkcji \(y = -(x-2)^2 + 4\) w przedziale \(\langle 3, 5\rangle\) jest

A. $ 0 $
B. $ 5 $
C. $ 4 $
D. $ 3 $
Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

Funkcja kwadratowa dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku.

Odczytujemy z tablic postać kanoniczną funkcji kwadratowej i z treści zadania odczytujemy \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2,4)\). Współrzędna x=2 wierzchołka nie należy do \(\langle3,5\rangle\). Teraz musimy sprawdzić wartości na brzegach przedziału \(x=3\) oraz \(x=5\). Podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy: $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3 $$ $$ f(5)=-(5-2)^2+4=-9+4=-5.$$ Największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).
Odpowiedź
D. $ 3 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne -2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa

A. $ -8 $
B. $ -\frac{1}{2} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ 8 $
Rozwiązanie Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy: $$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2 \\ f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2 \\ f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2 \\ f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1 \\ f(2)=-\frac{2}{4} \\ f(2)=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
B. $ -\frac{1}{2} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 27 (0 - 2)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Wzór

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x-p)^2+q,$$ $\text{ gdzie } p = \frac{-b}{2a}, q=\frac{-\Delta}{4a}, \Delta = b^2-4ac$

▸ Więcej wzorów z działu Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie

I sposób

Ponieważ prosta o równaniu $x = 7$ jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, więc pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa $7$, czyli $$ -\frac{b}{2 a}=7, -\frac{b}{2}=7 $$ Stąd $b=−14$. Wykres funkcji przechodzi przez punkt $A = (0, −5)$, więc wyraz wolny $c$ we wzorze funkcji jest równy $c = −5 $.

II sposób

Ponieważ prosta o równaniu x = 7 jest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, więc wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej $$ f(x)=(x-7)^{2}+q $$ Punkt A = (0, −5) leży na tym wykresie, wiec f (0) = −5 , czyli $$ \begin{array}{c}{-5=(0-7)^{2}+q} \\ {-5=49+q} \\ {q=-54}\end{array} $$ Zatem $f ( x ) = ( x − 7 )^2 − 54 $. Przekształcając tę postać kanoniczną do postaci ogólnej, otrzymujemy $$f(x)=x^{2}-14 x+49-54$$ $$f(x)=x^{2}-14 x-5$$
Odpowiedź
Wartości współczynników b i c są równe: $$b = −14 , c = −5$$

Matura 2018 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x) = a^x\) (gdzie \(a \gt 0\) i \(a \ne 1\)), należy punkt \(P = (2, 9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x) = f(x) - 2\).

Rozwiązanie Punkt $P=(2,9)$ należy do wykresu $$9 = a^2 \iff a = 3 ( \text{ bo } a>0)$$ Zbiór wartości funcji $$g(x) = 3^x - 2,\quad ZW = (-2,\infty )$$
Odpowiedź
$ZW = (-2,\infty )$

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\). Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

A. $ b\lt 0, c\gt 0 $
B. $ b\lt 0, c\lt 0 $
C. $ b\gt 0, c\gt 0 $
D. $ b\gt 0, c\lt 0 $
Rozwiązanie Ustalenie znaku współczynnika \(c\). Zacznijmy od prostszego współczynnika, a mianowicie współczynnika \(c\). Z własności postaci ogólnej funkcji kwadratowej (czyli tej zapisanej w treści zadania) wynika, że o ile współczynnik \(a\) decyduje o tym czy ramiona są skierowane do góry czy do dołu, o tyle współczynnik \(c\) mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków dla \(y=2\), to współczynnik \(c=2\). W naszym przypadku parabola przecina oś igreków w dodatnim miejscu, a to oznacza, że \(c\gt0\). Ustalenie znaku współczynnika \(b\). Ze współczynnikiem \(b\) nie wiążą się jakieś szczególne cechy, ale możemy poznać znak tego współczynnika korzystając z wierzchołka paraboli. Ze wzorów na współrzędną iksową paraboli (czyli współrzędną \(p\)) wynika, że: $$p=\frac{-b}{2a}$$ Współczynnik \(a\) jest akurat znany i jest on równy \(1\), bo przed \(x^2\) we wzorze funkcji nie stoi żadna wartość. Współrzędna iksowa wierzchołka (czyli współrzędna \(p\)) jest dodatnia, co widzimy na rysunku. To by oznaczało, że: $$\frac{-b}{2a}\gt0 \\ \frac{-b}{2\cdot1}\gt0 \\ \frac{-b}{2}\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\ -b\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \\ b\lt0$$ Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności. To oznacza, że \(b\lt 0, c\gt 0\).
Odpowiedź
A. $ b\lt 0, c\gt 0 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 7 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=21-\frac{7}{3}x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest

A. $ -9 $
B. $ -\frac{7}{3} $
C. $ 9 $
D. $ 21 $
Rozwiązanie Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy przyrównać jej wzór do zera: $$21-\frac{7}{3}x=0 \\ 21=\frac{7}{3}x \quad\bigg/\cdot\frac{3}{7}x \\ x=\frac{63}{7} \\ x=9$$
Odpowiedź
C. $ 9 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) oraz \(f(-1)=f(3)=1\). Współczynnik \(b\) jest równy

A. $ -2 $
B. $ -1 $
C. $ 0 $
D. $ 3 $
Rozwiązanie Z treści zadania wynika, że dla \(x=-1\) oraz dla \(x=3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(1\). W związku z tym podstawiając te dane do wzoru funkcji powstaną nam dwa równania z których stworzymy układ równań: $$\begin{cases} 1=(-1)^2-1b+c \\ 1=3^2+3b+c \end{cases}$$ $$\begin{cases} 1=1-b+c \\ 1=9+3b+c \end{cases}$$ $$\begin{cases} -b+c=0 \\ 3b+c=-8 \end{cases}$$ Teraz odejmując te równania stronami otrzymamy: $$-4b=8 \\ b=-2$$
Odpowiedź
A. $ -2 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 11 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu

A. $ y=-5 $
B. $ y=5 $
C. $ y=-4 $
D. $ y=4 $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych funkcji. Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe: $$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0 \\ x=3 \quad\lor\quad x=7$$ Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli. Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem \(p\). Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym: $$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\ p=\frac{3+7}{2} \\ p=\frac{10}{2} \\ p=5$$ Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli. Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=5\). To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem \(q\)). Zatem: $$q=(5-3)(7-5) \\ q=2\cdot2 \\ q=4$$ W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa \(q=4\), to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej \(y=4\).
Odpowiedź
D. $ y=4 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 12 (0 - 1)

Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem

A. $ f(x)=(x+2017)^2 $
B. $ f(x)=x^2-2017 $
C. $ f(x)=(x+2017)(x-2017) $
D. $ f(x)=x^2+2017 $
Rozwiązanie Skoro punkt \(A=(2017,0)\) należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji \(x=2017\) powinniśmy otrzymać wynik \(y=0\). Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając \(x=2017\) otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu \(4034^2\). Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość \(2017^2-2017\) i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć \(2017^2+2017\). Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą \(0\), a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć \(0\), a więc tam otrzymamy \(4034\cdot0=0\).
Odpowiedź
C. $ f(x)=(x+2017)(x-2017) $

Matura 2017 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), o miejscach zerowych: \(-3\) i \(1\). Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

A. $ 1 $
B. $ 2 $
C. $ 3 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej odpowiada miejscu przecięcia się paraboli z osią \(Oy\). Widzimy wyraźnie, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\), zatem współczynnik \(c=3\).
Odpowiedź
C. $ 3 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 29 (0 - 4)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).

Odpowiedź
\(a=-\frac{1}{2}\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

A. $ \langle 5,+\infty ) $
B. $ (-\infty ,5\rangle $
C. $ (-\infty ,-5\rangle $
D. $ \langle -5,+\infty ) $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera. $$(x-1)(x-9)=0 \\ x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\ x=1 \quad\lor\quad x=9$$ Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli. Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem: $$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$ Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja \(f\) jest rosnąca: Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy. Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną \(x_{W}\)) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc \(\langle5,+\infty)\).
Odpowiedź
A. $ \langle 5,+\infty ) $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\). Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem

A. $ g(x)=2x+2 $
B. $ g(x)=2x-2 $
C. $ g(x)=-2x+2 $
D. $ g(x)=-2x-2 $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0,2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\). Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).
Odpowiedź
A. $ g(x)=2x+2 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek

A. $ a\lt -1 $
B. $ -1\le a\lt 0 $
C. $ 0\le a\lt \frac{1}{3} $
D. $ a\gt \frac{1}{3} $
Rozwiązanie Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(\Delta\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych: Obliczenie delty. Współczynniki: \(a=1,\,b=2,\,c=3a\) $$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$ Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\). Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\): $$4-12a\lt0 \\ -12a\lt-4 \\ 12a\gt4 \\ a\gt\frac{1}{3}$$ (Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)
Odpowiedź
D. $ a\gt \frac{1}{3} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \).

Odpowiedź
Analizowana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w miejscu który jest jej wierzchołkiem i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 9 (0 - 1)

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa

A. $ -\frac{8}{5} $
B. $ -\frac{4\sqrt{2}}{3} $
C. $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $
D. $ -\frac{4}{3} $
Rozwiązanie Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem: $$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} \\ f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Odpowiedź
C. $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 10 (0 - 1)

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.

A. $ (-\infty ,3\rangle $
B. $ (-\infty ,5\rangle $
C. $ (-\infty ,11\rangle $
D. $ \langle 6,+\infty ) $
Rozwiązanie Obliczenie miejsc zerowych funkcji. Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując \(-2(x+5)(x-11)\) do zera: $$-2(x+5)(x-11)=0 \\ x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$ Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli. Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik \(a=-2\) stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną \(x\) wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób: $$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$ To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,3\rangle\).
Odpowiedź
A. $ (-\infty ,3\rangle $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 23 (0 - 1)

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem

A. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
C. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
D. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
Rozwiązanie Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\). Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\). Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\). Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\). Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$

Matura 2016 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że

A. $ P=(1,2) $
B. $ P=(-1,2) $
C. $ P=(-1,-2) $
D. $ P=(1,-2) $
Rozwiązanie Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań: \begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases} Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\). Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\): $$2\cdot(-1)-3y=4 \\ -2-3y=4 \\ -3y=6 \\ y=-2$$ To oznacza, że \(P=(-1,-2)\).
Odpowiedź
C. $ P=(-1,-2) $

Matura 2016 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. $ (-\infty,-2\rangle $
B. $ \langle -2,4 \rangle $
C. $ \langle 4,+\infty ) $
D. $ (-\infty,9\rangle $
Rozwiązanie Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu. Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty,9\rangle\).
Odpowiedź
D. $ (-\infty,9\rangle $

Matura 2016 Maj. Zadanie 11 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1,2 \rangle \) jest równa

A. $ 2 $
B. $ 5 $
C. $ 8 $
D. $ 9 $
Rozwiązanie Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(5\) dla \(x=-1\).
Odpowiedź
B. $ 5 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa

A. $ -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} $
B. $ -\frac{3}{5} $
C. $ \frac{3}{5} $
D. $ \frac{\sqrt[3]{3}}{2} $
Rozwiązanie Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić \(x=-\sqrt[3]{3}\), zatem: $$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1} \\ f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10} \\ f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$
Odpowiedź
B. $ -\frac{3}{5} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

A. $ m=2 $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=\frac{1}{3} $
D. $ m=-2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem: $$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\ 2m=-m+1 \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
C. $ m=\frac{1}{3} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 10 (0 - 1)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa

A. $ 2-4\sqrt{2} $
B. $ 1-2\sqrt{2} $
C. $ 1+2\sqrt{2} $
D. $ 2+4\sqrt{2} $
Rozwiązanie Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$ Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\ f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$
Odpowiedź
A. $ 2-4\sqrt{2} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych

A. $ (0,-3) $
B. $ (-3,0) $
C. $ (0,2) $
D. $ (0,3) $
Rozwiązanie O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\).
Odpowiedź
A. $ (0,-3) $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne

A. $ (4,2) $
B. $ (0,2) $
C. $ (2,0) $
D. $ (2,4) $
Rozwiązanie Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2,2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0,2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ (0,2) $

Matura 2015 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem

A. $ m=1 $
B. $ m=2 $
C. $ m=-1 $
D. $ m=0 $
Rozwiązanie Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\). $$-2=(m-1)\cdot5+3 \\ -2=5m-5+3 \\ -2=5m-2 \\ 5m=0 \\ m=0$$
Odpowiedź
D. $ m=0 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 10 (0 - 1)

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że

A. $ b=-\frac{8}{3} $
B. $ b=\frac{4}{3} $
C. $ b=4 $
D. $ b=-\frac{3}{2} $
Rozwiązanie Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\). Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli: $$-3x+4=0 \\ -3x=-4 \\ x=\frac{4}{3}$$ Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\). Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem: $$2x+b=0 \\ 2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\ \frac{8}{3}+b=0 \\ b=-\frac{8}{3}$$
Odpowiedź
A. $ b=-\frac{8}{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. $ m=2 $
B. $ m=-2 $
C. $ m=-2-2\sqrt{2} $
D. $ m=2+2\sqrt{2} $
Rozwiązanie Utworzenie równania z parametrem \(m\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie: $$m^2=4m-4$$ Rozwiązanie powstałego równania. Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem: $$m^2=4m-4 \\ m^2-4m+4=0 \\ (m-2)^2=0 \\ m-2=0 \\ m=2$$
Odpowiedź
B. $ m=-2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

A. $ m=-\frac{1}{2} $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=1 $
D. $ m=2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem: $$2m\cdot4m^2=-1 \\ 8m^3=-1 \\ m^3=-\frac{1}{8} \\ m=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
D. $ m=2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 29 (0 - 2)

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).

Odpowiedź
Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\).