Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Proste o równaniach \(y = (3m - 4)x + 2\) oraz \(y = (12 - m)x + 3m\) są równoległe, gdy

A. $ m = 4 $
B. $ m = 3 $
C. $ m = -4 $
D. $ m = -3 $
Wzór

Para prostych. Dwie proste o równaniach kierunkowych $$y = a_1 x + b_1,\quad y = a_2 x + b_2$$ spełniają jeden z następujących warunków: $$\text{- są równoległe, gdy } a_1 = a_2$$ $$\text{- są prostopadłe, gdy } a_1 a_2 = -1$$ $$\text{- tworzą kąt ostry } \varphi \text { i } \mathrm{tg}\varphi =\frac{a_1 - a_2}{1 +a_1 a_2}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są sobie równe

Porównujemy współczynniki $$3m-4=12-m \\ 4m=16 \\ m=4$$
Odpowiedź
A. $ m = 4 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Punkt \(A = (-3, 2)\) jest końcem odcinka \(AB\), a punkt \(M = (4, 1)\) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka \(AB\) jest równa

A. $ 2\sqrt{5} $
B. $ 4\sqrt{5} $
C. $ 5\sqrt{2} $
D. $ 10\sqrt{2} $
Wzór

Odcinek. Długość odcinka o końcach w punktach $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$ dana jest wzorem: $$|AB| = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2}.$$ Współrzędne środka odcinka $AB$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right) $$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie

I sposób

Obliczamy długość odcinka \(AM\) korzystając ze wzoru: $$|AM|=\sqrt{(x_{M}-x_{A})^2+(y_{M}-y_{A})^2} \\ |AM|=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-2)^2} \\ |AM|=\sqrt{(4+3)^2+(-1)^2} \\ |AM|=\sqrt{7^2+(-1)^2} \\ |AM|=\sqrt{49+1} \\ |AM|=\sqrt{50} \\ |AM|=\sqrt{25\cdot2} \\ |AM|=5\sqrt{2}$$ Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AB\) to znaczy, że odcinek \(AM\) stanowi połowę długości odcinka \(AB\). W związku z tym: $$|AB|=2\cdot|AM| \\ |AB|=2\cdot5\sqrt{2} \\ |AB|=10\sqrt{2}$$

II sposób

Możemy też ze wzoru na środek odcinka policzyć drugi koniec a następnie długość.
Odpowiedź
D. $ 10\sqrt{2} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 31 (0 - 2)

Punkty \(A = (2, 4)\), \(B = (0, 0)\), \(C = (4, -2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Odpowiedź
\(y=\frac{1}{3}x\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 17 (0 - 1)

Okrąg o środku \(S_1=(2,1)\) i promieniu \(r\) oraz okrąg o środku \(S_2=(5,5)\) i promieniu \(4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy

A. $ r=1 $
B. $ r=2 $
C. $ r=3 $
D. $ r=4 $
Rozwiązanie Obliczenie długości między środkami okręgów. Znamy współrzędne obydwu punktów. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zatem zapisać, że: $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{S_{2}}-x_{S_{1}})^2+(y_{S_{2}}-y_{S_{1}})^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{3^2+4^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{9+16} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{25} \\ |S_{1}S_{2}|=5$$ Obliczenie długości promienia małego okręgu. Z rysunku widzimy, że odcinek \(S_{1}S_{2}\) jest sumą długości promieni małego i dużego okręgu. Skoro promień dużego okręgu ma miarę \(R=4\), to: $$|S_{1}S_{2}|=r+R \\ 5=r+R \\ 5=r+4 \\ r=1$$
Odpowiedź
A. $ r=1 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 34 (0 - 4)

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

Odpowiedź
\(B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\)

Matura 2018 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Punkt \(K = (2, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM| = |LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N = (4, 3).\) Zatem

A. $ L = (5, 3) $
B. $ L = (6, 4) $
C. $ L = (3, 5) $
D. $ L = (4, 6) $
Wzór

Odcinek. Długość odcinka o końcach w punktach $A = ( x_A , y_A )$ , $B = ( x_B , y_B )$ dana jest wzorem: $$|AB| = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2}.$$ Współrzędne środka odcinka $AB$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right) $$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie Z treści zadania wynika, ze punkt $N$ jest środkiem odcinka $|KL|$. Oznaczmy $L = (x,y)$ $$ \frac{2+x}{2} = 4 , \frac{2+y}{2} = 3$$ $$ 2+x = 8 , 2+y = 6$$ $$x = 6, y = 4$$
Odpowiedź
B. $ L = (6, 4) $

Matura 2018 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Proste o równaniach \(y = (m + 2)x + 3\) oraz \(y = (2m - 1)x - 3\) są równoległe, gdy

A. $ m = 2 $
B. $ m = 3 $
C. $ m = 0 $
D. $ m = 1 $
Wzór

Para prostych. Dwie proste o równaniach kierunkowych $$y = a_1 x + b_1,\quad y = a_2 x + b_2$$ spełniają jeden z następujących warunków: $$\text{- są równoległe, gdy } a_1 = a_2$$ $$\text{- są prostopadłe, gdy } a_1 a_2 = -1$$ $$\text{- tworzą kąt ostry } \varphi \text { i } \mathrm{tg}\varphi =\frac{a_1 - a_2}{1 +a_1 a_2}.$$

▸ Więcej wzorów z działu Geometria analityczna
Rozwiązanie

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są sobie równe

$$ m+2 = 2m-1$$ $$ m = 3 $$
Odpowiedź
B. $ m = 3 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 32 (0 - 5)

W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Rozwiązanie Dla trójkąta prostokąt $ABC$ gdzie $A = (4,3)$, $B=(10,5)$, $C = (x,2x+3)$ zachodzi tw. Pitagorasa: $$ |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 $$ $$ (10-4)^2 + (5-3)^2 + (x-10)^2+(2x+3-5)^2 = (x-4)^2 + (2x+3-3)^2 $$ $$ 36+ 4 + x^2-20x + 100 + 4x^2 -8x +4 = x^2-8x + 16 + 4x^2 $$ $$ 40 -20x + 100 -8x +4 = -8x + 16 $$ $$ -20x = -128 $$ $$ x = \frac{128}{20} = \frac{32}{5} $$ $$ y = 2\frac{32}{5} + 3 = \frac{79}{5} $$
Odpowiedź
$C = (\frac{32}{5} ,\frac{79}{5} )$

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 17 (0 - 1)

Punkty \(B=(-2,4)\) i \(C=(5,1)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe

A. $ 29 $
B. $ 40 $
C. $ 58 $
D. $ 74 $
Rozwiązanie Obliczenie długości boku kwadratu. Skoro punktu \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odległość między tymi punktami jest równa długości boku kwadratu. Korzystając zatem ze wzoru na długość odcinka wyjdzie nam, że: $$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\ |BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} \\ |BC|=\sqrt{(5+2)^2+(-3)^2} \\ |BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2} \\ |BC|=\sqrt{49+9} \\ |BC|=\sqrt{58}$$ Obliczenie pola kwadratu. Skoro bok kwadratu jest równy \(\sqrt{58}\), to znaczy że: $$P=|BC|^2 \\ P=(\sqrt{58})^2 \\ P=58$$
Odpowiedź
C. $ 58 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(Ox\). Prosta \(k\) ma równanie

A. $ x-4=0 $
B. $ x-y=0 $
C. $ y+4=0 $
D. $ x+y=0 $
Rozwiązanie Jeżeli prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) to musi ona wyglądać w ten sposób: Widzimy wyraźnie, że prosta \(k\) wyraża się równaniem \(x=4\). Takiej odpowiedzi nie mamy, ale przenosząc czwórkę na lewą stronę otrzymamy \(x-4=0\) i to jest poszukiwane przez nas równanie.
Odpowiedź
A. $ x-4=0 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ \) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\) (zobacz rysunek). Prosta \(l\) ma równanie

A. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} $
B. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3} $
C. $ y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3} $
D. $ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3} $
Rozwiązanie Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\). Nasza prosta będzie wyrażać się wzorem \(y=ax+b\). Musimy teraz ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi iksów. W związku z tym: $$a=tg30° \\ a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Ustalenie wartości współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina się z osią igreków. Widzimy, że prosta przecina oś igreków dla \(y=-\sqrt{3}\), zatem \(b=-\sqrt{3}\). To oznacza, że prosta \(l\) wyrażona jest równaniem \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\).
Odpowiedź
A. $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 18 (0 - 1)

Prosta przechodząca przez punkt \(A=(-10,5)\) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu

A. $ y=-2x+4 $
B. $ y=\frac{1}{2}x $
C. $ y=-\frac{1}{2}x+1 $
D. $ y=2x-4 $
Rozwiązanie Zapisanie równania prostej. Równanie prostej możemy opisać wzorem \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. Skoro nasza prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, to znaczy że przecina oś igreków dla \(y=0\). Stąd też płynie wniosek, że współczynnik \(b=0\), zatem równanie naszej prostej możemy zapisać jako \(y=ax\). Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\). Podstawiając do równania \(y=ax\) współrzędne punktu \(A\) obliczymy wartość współczynnika kierunkowego \(a\): $$y=ax \\ 5=a\cdot(-10) \\ a=-\frac{5}{10} \\ a=-\frac{1}{2}$$ Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej prostopadłej. Wiemy już, że nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem druga prosta będzie mieć ten współczynnik równy: $$a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1 \\ a=2$$ Teraz jak spojrzymy na odpowiedzi to widzimy, że tylko jedna prosta ma w swoim równaniu współczynnik \(a=2\) i jest to prosta z czwartej odpowiedzi.
Odpowiedź
D. $ y=2x-4 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 19 (0 - 1)

Punkty \(A=(-21,11)\) i \(B=(3,17)\) są końcami odcinka \(AB\). Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi \(Ox\) układu współrzędnych jest odcinek \(A’B’\). Środkiem odcinka \(A’B’\) jest punkt o współrzędnych

A. $ (-9,-14) $
B. $ (-9,14) $
C. $ (9,-14) $
D. $ (9,14) $
Rozwiązanie Wyznaczenie współrzędnych punktów \(A'\) oraz \(B'\). Jeżeli jakiś punkt poddamy symetrii osiowej względem osi iksów, to współrzędna iksowa tego punktu nie zmieni się, natomiast współrzędna igrekowa zmieni swój znak na przeciwny. W związku z tym: $$A'=(-21,-11) \\ B'=(3,-17)$$ Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(A'B'\). Środek odcinka \(A'B'\) możemy opisać wzorem: $$S=\left(\frac{x_{A'}+x_{B'}}{2},\frac{y_{A'}+y_{B'}}{2}\right)$$ Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową: $$x_{S}=\frac{x_{A'}+x_{B'}}{2} \\ x_{S}=\frac{-21+3)}{2} \\ x_{S}=\frac{-18}{2} \\ x_{S}=-9 \\ \quad \\ y_{S}=\frac{y_{A'}+y_{B'}}{2} \\ y_{S}=\frac{-11+(-17)}{2} \\ y_{S}=\frac{-11-17}{2} \\ y_{S}=\frac{-28}{2} \\ y_{S}=-14$$ To oznacza, że środek odcinka \(A'B'\) ma współrzędne \(S=(-9,-14)\).
Odpowiedź
A. $ (-9,-14) $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 33 (0 - 4)

Punkty \(A=(-2,-8)\) i \(B=(14,-8)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB|=|AC|\). Wysokość \(AD\) tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-7\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego trójkąta.

Odpowiedź
\(C=\left(\frac{38}{5},\frac{24}{5}\right)\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Na rysunku przedstawiona jest prosta \(k\) o równaniu \(y=ax\), przechodząca przez punkt \(A=(2,-3)\) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt \(\alpha \) nachylenia tej prostej od osi \(Ox\). Zatem

A. $ a=-\frac{2}{3} $
B. $ a=-\frac{3}{2} $
C. $ a=\frac{2}{3} $
D. $ a=\frac{3}{2} $
Rozwiązanie Nasz kąt ma swój wierzchołek w początku układu współrzędnych oraz jedno z jego ramion pokrywa się z osią iksów. W takiej sytuacji możemy skorzystać ze wzoru znajdującego w tablicach matematycznych: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$$ \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta \(k\) będąca ramieniem zaznaczonego kąta. W naszym przypadku podstawimy więc współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-3\): $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$
Odpowiedź
B. $ a=-\frac{3}{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie

A. $ y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2} $
B. $ y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2} $
C. $ y=4x-12 $
D. $ y=4x+12 $
Rozwiązanie Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć: $$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4) \\ a=4$$ To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\). Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej. Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. $$y=4x+b \\ 4=4\cdot(-2)+b \\ 4=-8+b \\ b=12$$ Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).
Odpowiedź
D. $ y=4x+12 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. $ A=(-1,7) $
B. $ B=(2,-3) $
C. $ C=(3,2) $
D. $ D=(5,3) $
Rozwiązanie I sposób - wyznaczając równanie okręgu. Wyznaczenie równania okręgu. To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Podstawiając współrzędne \(S=(2,3)\) i promień \(r=5\) otrzymamy: $$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \\ (x-2)^2+(y-3)^2=25$$ Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu. Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając \(A=(-1,7)\) otrzymamy: $$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \\ (-3)^2+4^2=25 \\ 9+16=25 \\ 25=25 \\ L=P$$ To oznacza, że punkt \(A\) leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów. II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków. Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków \(SA\), \(SB\), \(SC\) oraz \(SD\), a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem \(S\) stworzy odcinek o długości \(5\) (bo \(r=5\)). $$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \\ |SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \\ |SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\ |SA|=\sqrt{9+16} \\ |SA|=\sqrt{25} \\ |SA|=5$$
Odpowiedź
A. $ A=(-1,7) $

Matura 2017 Maj. Zadanie 32 (0 - 5)

Dane są punkty \(A=(-4,0)\) i \(M=(2,9)\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=-2x+10\). Wierzchołek \(B\) trójkąta \(ABC\) to punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) układu współrzędnych, a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia prostej \(k\) z prostą \(AM\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Odpowiedź
\(P=34\frac{5}{7}\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 14 (0 - 1)

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1,2m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?

A. $ y=2x+5 $
B. $ y=2x+6 $
C. $ y=2x+7 $
D. $ y=2x+8 $
Rozwiązanie Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\). $$y=2x+b \\ 2m+5=2(m-1)+b \\ 2m+5=2m-2+b \\ b=7$$
Odpowiedź
C. $ y=2x+7 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Okręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

A. $ 8 $
B. $ 6 $
C. $ 5 $
D. $ \frac{5}{2} $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Jeśli dość dokładnie narysujemy ten szkic to tak naprawdę już z samego rysunku będziemy w stanie odczytać długość promienia, zwłaszcza że punkt styczności wypadnie w równym punkcie \(A=(6,0)\). Skąd wiemy, że akurat w tym punkcie wypadnie punkt styczności? Skoro promienie mają być sobie równe, to punkt styczności będzie tak naprawdę środkiem odcinka \(S_{1}S_{2}\) (możemy go wyznaczyć albo matematycznie, albo nawet linijką jeśli inaczej nie potrafimy). To jest jednak taki alternatywny sposób (gdybyśmy nie umieli tego obliczyć nieco bardziej matematycznie). My natomiast spróbujmy policzyć to zadanie z wykorzystaniem wzoru na odległość między dwoma punktami. Obliczenie odległości między \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\). Zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami mamy: $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{(9-3)^2+(-4-4)^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{36+64} \\ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{100} \\ |S_{1}S_{2}|=10$$ Obliczenie długości promienia. Z rysunku bardzo wyraźnie wynika, że odległość między środkami \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\) jest równa sumie długości promieni. W treści zadania mamy informację, że długości tych promieni są równe, więc oznaczając każdy z nich jako \(r\) otrzymamy: $$r+r=10 \\ 2r=10 \\ r=5$$
Odpowiedź
C. $ 5 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 5)

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3,-3)\) oraz \(C=(2,7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).

Odpowiedź
\(B=(7,4\frac{1}{2})\) oraz \(|AB|=12\frac{1}{2}\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 17 (0 - 1)

Prosta określona wzorem \(y=ax+1\) jest symetralną odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-3,2)\) i \(B=(1,4)\). Wynika stąd, że

A. $ a=-\frac{1}{2} $
B. $ a=\frac{1}{2} $
C. $ a=-2 $
D. $ a=2 $
Rozwiązanie Zanim przejdziemy do obliczeń to omówmy sobie co tak naprawdę musimy obliczyć. Mamy podane współrzędne punktu \(A\) i \(B\), które tworzą odcinek w układzie współrzędnych. Przez ten odcinek poprowadzono prostą symetralną (czyli tak naprawdę prostopadłą do tego odcinka, która przechodzi przez jego środek). Naszym zadaniem jest obliczenie współczynnika kierunkowego \(a\) tej prostej symetralnej. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\). Zanim obliczymy współczynnik kierunkowy symetralnej, to potrzebny nam będzie współczynnik kierunkowy prostej na której znajduje się odcinek \(AB\). Obliczymy go za pomocą wzoru: $$m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\ m=\frac{4-2}{1-(-3)} \\ m=\frac{2}{4} \\ m=\frac{1}{2}$$ Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(y=ax+1\). Tak jak wcześniej ustaliliśmy - skoro jest to symetralna odcinka \(AB\), to znaczy że jest to prosta prostopadła. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem: $$a\cdot m=-1 \\ a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\ a=-2$$
Odpowiedź
C. $ a=-2 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 23 (0 - 1)

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem

A. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
C. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\gt 0$
D. $ a\cdot m\lt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$
Rozwiązanie Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\). Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\). Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\). Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\). Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ a\cdot m\gt 0 $ i $b\cdot n\lt 0$

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 27 (0 - 2)

Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

Odpowiedź
\(P=2\frac{2}{3}\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że

A. $ P=(1,2) $
B. $ P=(-1,2) $
C. $ P=(-1,-2) $
D. $ P=(1,-2) $
Rozwiązanie Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań: \begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases} Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\). Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\): $$2\cdot(-1)-3y=4 \\ -2-3y=4 \\ -3y=6 \\ y=-2$$ To oznacza, że \(P=(-1,-2)\).
Odpowiedź
C. $ P=(-1,-2) $

Matura 2016 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

A. $ m=2 $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=\frac{1}{3} $
D. $ m=-2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem: $$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\ 2m=-m+1 \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
C. $ m=\frac{1}{3} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 21 (0 - 1)

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że

A. $ a=5 $ i $b=5$
B. $ a=-1 $ i $b=2$
C. $ a=4 $ i $b=10$
D. $ a=-4 $ i $b=-2$
Rozwiązanie Skorzystamy tutaj ze wzoru na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka: $$M=(x_{M},y_{M})=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie z tego wzoru wartości \(x_{A}\) (bo jest ona opisana niewiadomą \(a\)) oraz wartości \(y_{B}\) (która jest opisana niewiadomą \(b\)). Obliczenie wartości niewiadomej \(a\). $$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\ 3=\frac{a+7}{2} \\ 6=a+7 \\ a=-1$$ Obliczenie wartości niewiadomej \(b\). $$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\ 4=\frac{6+b}{2} \\ 8=6+b \\ b=2$$
Odpowiedź
B. $ a=-1 $ i $b=2$

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 20 (0 - 1)

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A = (−4,3)\) oraz \(B = (8,7)\), jest równy

A. $ a=3 $
B. $ a=-1 $
C. $ a=\frac{5}{6} $
D. $ a=\frac{1}{3} $
Rozwiązanie Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(A=(x_{A},y_{A})\) oraz \(B=(x_{B},y_{B})\) możemy opisać następującym równaniem: $$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$ Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy: $$(y-3)(8-(-4))-(7-3)(x-(-4))=0 \\ (y-3)(8+4)-(7-3)(x+4)=0 \\ (y-3)\cdot12-4\cdot(x+4)=0 \\ 12y-36-4x-16=0 \\ 12y-4x-52=0 \\ 12y=4x+52 \\ y=\frac{4}{12}x+\frac{52}{12} \\ y=\frac{1}{3}x+4\frac{1}{3}$$ To oznacza, że współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej jest równy \(a=\frac{1}{3}\).
Odpowiedź
D. $ a=\frac{1}{3} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 21 (0 - 1)

Punkt \(S = (2,−5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A = (−4,3)\) i \(B = (8,b)\). Wtedy

A. $ b=-13 $
B. $ b=-2 $
C. $ b=-1 $
D. $ b=6 $
Rozwiązanie Współrzędne środka \(S=(x_{S},y_{S})\) odcinka o końcach \(A=(x_{A},y{A})\) oraz \(B=(x_{B},y{B})\) możemy wyliczyć za pomocą wzorów: $$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\ y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$ Nas tak naprawdę interesuje tylko współrzędna \(y\), bo to tam pojawia się niewiadoma \(b\), której wartość musimy policzyć, zatem: $$-5=\frac{3+b}{2} \\ -10=3+b \\ b=-13$$
Odpowiedź
A. $ b=-13 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 32 (0 - 4)

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A = (−2, 2)\), \(B = (6, − 2)\), \(C = (10,6)\).

Odpowiedź
\(y=-3x+16\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 18 (0 - 1)

Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. $ m=2 $
B. $ m=-2 $
C. $ m=-2-2\sqrt{2} $
D. $ m=2+2\sqrt{2} $
Rozwiązanie Utworzenie równania z parametrem \(m\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie: $$m^2=4m-4$$ Rozwiązanie powstałego równania. Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem: $$m^2=4m-4 \\ m^2-4m+4=0 \\ (m-2)^2=0 \\ m-2=0 \\ m=2$$
Odpowiedź
B. $ m=-2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 19 (0 - 1)

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

A. $ m=-\frac{1}{2} $
B. $ m=\frac{1}{2} $
C. $ m=1 $
D. $ m=2 $
Rozwiązanie Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem: $$2m\cdot4m^2=-1 \\ 8m^3=-1 \\ m^3=-\frac{1}{8} \\ m=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
D. $ m=2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 20 (0 - 1)

Dane są punkty \(M=(-2,1)\) i \(N=(-1,3)\). Punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(MN\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

A. $ K'=\left ( 2,-\frac{3}{2} \right ) $
B. $ K'=\left ( 2,\frac{3}{2} \right ) $
C. $ K'=\left ( \frac{3}{2},2 \right ) $
D. $ K'=\left ( \frac{3}{2},-2 \right ) $
Rozwiązanie Obliczenie współrzędnych punktu \(K\). Skorzystamy tutaj z następującego wzoru, do którego musimy podstawić współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\): $$K=\left(\frac{x_{m}+x_{n}}{2},\frac{y_{m}+y_{n}}{2}\right) \\ K=\left(\frac{-2+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right) \\ K=\left(\frac{-3}{2},\frac{4}{2}\right) \\ K=\left(-\frac{3}{2},2\right)$$ Wskazanie współrzędnych punktu \(K'\). Aby wyznaczyć współrzędne punktu symetrycznego względem początku układu współrzędnych musimy zmienić znaki zarówno współrzędnej \(x\) jak i \(y\). Skoro \(K=\left(-\frac{3}{2},2\right)\), to \(K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)\)
Odpowiedź
B. $ K'=\left ( 2,\frac{3}{2} \right ) $

Matura 2015 Maj. Zadanie 30 (0 - 2)

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Odpowiedź
\(P=(-7,0)\), więc pierwszą współrzędną jest \(x=-7\).