Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Linę o długości \(100\) metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

A. $ 41\frac{2}{3} $ metra.
B. $ 33\frac{1}{3} $ metra.
C. $ 60 $ metrów.
D. $ 25 $ metrów.
Rozwiązanie Skoro stosunek długości lin wynosi \(3:4:5\) to możemy zapisać, że kawałki te mają długości \(3x,4x,5x\). W związku z tym: $$3x+4x+5x=100 \\ 12x=100 \\ x=\frac{100}{12} \\ x=\frac{25}{3}[m]$$ Nas interesuje długość najdłuższego boku, czyli tego co ma długość \(5x\), zatem: $$5x=5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}[m]$$
Odpowiedź
A. $ 41\frac{2}{3} $ metra.

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż \(2017\)?

A. $ 2016 $
B. $ 2017 $
C. $ 1016 $
D. $ 1017 $
Rozwiązanie Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2017\) to: $$1000,1001,1002,...,2015,2016$$ Ile jest tych liczb? Jak wykonamy odejmowanie \(2016-1000\) to otrzymamy zły wynik. Wydaje się to nielogiczne, ale zastanówmy się co by było, gdyby zadanie brzmiało: "ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych od \(1002\)?". My wiemy że są tylko dwie takie liczby: \(1000\) oraz \(1001\). Gdybyśmy wtedy wykonali działanie \(1001-1000\) to także wyszłaby nam nieprawda. Jak więc do tego zadania podejść poprawnie? Wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(2017\) jest \(2016\), bo są to liczby od \(1\) do \(2016\). Od tej puli \(2016\) liczb naturalnych musimy odrzucić \(999\) liczb, które nie są czterocyfrowe (od \(1\) do \(999\)) i wtedy dowiemy się ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2017\). Zatem: $$2016-999=1017$$
Odpowiedź
D. $ 1017 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Liczba \(5^8\cdot 16^{-2}\) jest równa:

A. $ 10^8 $
B. $ \left(\frac{5}{2}\right)^8 $
C. $ 10 $
D. $ \frac{5}{2} $
Rozwiązanie Pamiętając o tym, że \(16=2^4\), a także korzystając ze wzorów \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) oraz \(a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób: $$5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot(2^4)^{-2}=5^8\cdot2^{-8}= \\ 5^8\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{5^{8}}{2^{8}}=\left(\frac{5}{2}\right)^8$$
Odpowiedź
A. $ 10^8 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

A. $ 3 $
B. $ 2 $
C. $ \sqrt[3]{52} $
D. $ 2\sqrt[3]{2} $
Rozwiązanie Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem: $$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$
Odpowiedź
C. $ \sqrt[3]{52} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa \(195\). Najmniejszą z tych liczb jest

A. $ 37 $
B. $ 38 $
C. $ 39 $
D. $ 40 $
Rozwiązanie Jeśli najmniejszą z tych liczb oznaczymy jako \(n\), to: $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=195 \\ 5n+10=195 \\ 5n=185 \\ n=37$$
Odpowiedź
A. $ 37 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \(3\)?

A. $ 12 $
B. $ 24 $
C. $ 29 $
D. $ 30 $
Rozwiązanie I sposób - z wykorzystaniem ciągów arytmetycznych. To chyba najbardziej profesjonalny sposób. Liczby podzielne przez \(3\) tworzą ciąg arytmetyczny, którego \(r=3\), \(a_{1}=12\) (bo \(12\) jest pierwszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(3\)) oraz \(a_{n}=99\). Musimy teraz obliczyć ile wyrazów ma ten ciąg, tak więc skorzystamy z następującego wzoru: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ 99=12+(n-1)\cdot3 \\ 87=3n-3 \\ 90=3n \\ n=30$$ II sposób - z wykorzystaniem mnożenia i dzielenia. Tak naprawdę każdą liczbę podzielną przez \(3\) możemy zapisać jako iloczyny kolejnych liczb naturalnych: $$3=3\cdot1 \\ 6=3\cdot2 \\ ... \\ 96=3\cdot32 \\ 99=3\cdot33$$ Liczb podzielnych mniejszych od \(100\) jest więc \(33\). Musimy od tego odjąć jeszcze trzy sztuki, które dają wyniki jednocyfrowe (\(3,6,9\)) i w ten sposób obliczyliśmy, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(3\) jest \(33-3=30\).
Odpowiedź
D. $ 30 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź
Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 1 (0 - 1)

Liczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa

A. $ 42^{36} $
B. $ 42^7 $
C. $ 6 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie $$\require{cancel} \frac{7^6\cdot6^7} {42^6}=\frac{7^6\cdot6^7}{(7\cdot6)^6}=\frac{\cancel{7^6}\cdot6^7}{\cancel{7^6}\cdot6^6}= \\ =6^7:6^6=6^{7-6}=6^1=6$$
Odpowiedź
C. $ 6 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 4 (0 - 1)

Różnica \(50001^2 - 49999^2\) jest równa

A. $ 2\ 000\ 000 $
B. $ 200\ 000 $
C. $ 20\ 000 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia: $$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b) \\ 50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999) \\ 50001^2-49999^2=100\,000\cdot2 \\ 50001^2-49999^2=200\,000$$
Odpowiedź
B. $ 200\ 000 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 5 (0 - 1)

Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in \{2,3,4\}\) jest równa

A. $ 2 $
B. $ -24 $
C. $ 0 $
D. $ -12 $
Rozwiązanie Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że: $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$ Powyższe wyrażenie będzie więc tym mniejsze im \(x\) będzie mniejszy oraz tym mniejsze im \(y\) będzie większy. Zatem pod iksa musimy podstawić jak najmniejszą wartość, czyli \(x=2\), natomiast pod igreka jak najwyższą, czyli \(y=4\). Wartość tego wyrażenia będzie zatem równa: $$2^2-4^2=4-16=-12$$
Odpowiedź
D. $ -12 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 24 (0 - 1)

Dane są dwie sumy algebraiczne \(3x^3-2x\) oraz \(-3x^2-2\). Iloczyn tych sum jest równy

A. $ -9x^5+4x $
B. $ -9x^6+6x^3-6x^2+4x $
C. $ -9x^5+6x^3-6x^2+4x $
D. $ -9x^6+4x $
Rozwiązanie Naszym zadaniem jest wymnożenie jednej sumy przez drugą, zatem: $$(3x^3-2x)\cdot(-3x^2-2)= \\ =-9x^5-6x^3+6x^3+4x=-9x^5+4x$$
Odpowiedź
A. $ -9x^5+4x $

Matura 2016 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy

A. $ a^{-3{,}9} $
B. $ a^{-2} $
C. $ a^{-1{,}3} $
D. $ a^{1{,}3} $
Rozwiązanie Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, stąd też całość możemy rozpisać jako: $$\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6}:a^{1,3}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}$$
Odpowiedź
A. $ a^{-3{,}9} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa

A. $ \frac{2}{3} $
B. $ 1 $
C. $ \frac{6}{7} $
D. $ \frac{27}{6} $
Rozwiązanie Podstawiamy do wzoru dane z treści zadania, otrzymując: $$\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2}{\frac{3}{2}+2}=\frac{3}{\frac{3}{2}+\frac{4}{2}}= \\ =\frac{3}{\frac{7}{2}}=3:\frac{7}{2}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{6}{7} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa

A. $ 45^{40} $
B. $ 45^9 $
C. $ 9^4 $
D. $ 5^4 $
Rozwiązanie Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem: $$\require{cancel} \frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\ =5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$
Odpowiedź
D. $ 5^4 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa

A. $ \sqrt{\frac{16}{63}} $
B. $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $
C. $ 1 $
D. $ \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $
Rozwiązanie Wykonanie obliczeń na pierwiastkach. $$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$ Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy. Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(3\sqrt{7}\), zatem: $$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}= \\ =\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), $b=\log{\frac{1}{4}}64$, $c=\log{\frac{1}{3}}27$. Iloczyn \(abc\) jest równy

A. $ 3 $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ -\frac{1}{3} $
D. $ -9 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości liczb \(b\) oraz \(c\): $$b=\log_{\frac{1}{4}}64=-3 \\ c=\log_{\frac{1}{3}}27=-3$$ Obliczenie wartości wyrażenia \(abc\). $$abc=-\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
C. $ -\frac{1}{3} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź
\(\frac{8}{17}\)