Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa

A. $ 2^{\frac{1}{6}} $
B. $ 2^{\frac{1}{5}} $
C. $ 2^{\frac{1}{3}} $
D. $ 2^{\frac{2}{3}} $
Wzór

Niech $m$, $n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: dla $a \neq 0:$ $$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ oraz } a^0=1,$$ dla $a\ge 0$: $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m},$$ dla $a>0$ $$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$$

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie

Zamień pierwiastek na potęgę

$$\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\sqrt{2^\frac{1}{3}} $$ $$=(2^\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}= 2^{\frac{1}{6}}$$
Odpowiedź
A. $ 2^{\frac{1}{6}} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Dane są liczby \(x=4{,}5\cdot 10^{-8}\) oraz \(y=1{,}5\cdot 10^{2}\). Wtedy iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy

A. $ 3\cdot 10^{-10} $
B. $ 3\cdot 10^{-6} $
C. $ 6{,}75\cdot 10^{-10} $
D. $ 6{,}75\cdot 10^{-4} $
Wzór

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie $$\frac{x}{y}=\frac{4,5\cdot10^{-8}}{1,5\cdot10^{2}}=\frac{4,5}{1,5}\cdot\frac{10^{-8}}{10^{2}} $$ $$=3\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}$$
Odpowiedź
A. $ 3\cdot 10^{-10} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 8 (0 - 1)

Liczba \(\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\) jest równa

A. $ 0 $
B. $ 2^{20}-2 $
C. $ 2^{19} $
D. $ 4-2^{10} $
Wzór

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie Wykonując działania na potęgach możemy zapisać, że: $$\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}=\frac{(2^3)^{20}-2\cdot(2^2)^{20}}{2^{20}\cdot (2^2)^{10}}= \\ \frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{20}\cdot2^{20}}=\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{40}}= \\ \frac{2^{40}\cdot(2^{20}-2)}{2^{40}}=2^{20}-2$$
Odpowiedź
B. $ 2^{20}-2 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

A. $ \frac{3}{2} $
B. $ \frac{9}{4} $
C. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ \frac{3}{2\sqrt[3]{21}} $
Wzór

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie $$\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}} $$ $$= \sqrt[3]{\frac{7}{3} \frac{81}{56}}$$ $$ = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$$
Odpowiedź
A. $ \frac{3}{2} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 3 (0 - 1)

Dane są liczby \(a=3{,}6\cdot 10^{-12}\) oraz \(b=2{,}4\cdot 10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy

A. $ 8{,}64\cdot 10^{-32} $
B. $ 8{,}64\cdot 10^{32} $
C. $ 1{,}5\cdot 10^{-8} $
D. $ 1{,}5\cdot 10^{8} $
Wzór

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby $a$ definiujemy jej $n$-tą potęgę: $$a^n = \underbrace{a \cdot \dots \cdot a}_{\text{n razy}}$$

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $$a^r\cdot a^s = a^{r+s},$$ $$(a^r)^s = a^{r\cdot s},$$ $$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},$$ $$(a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r,$$ $$\left(\frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$ Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

▸ Więcej wzorów z działu Potegi i pierwiastki
Rozwiązanie $$ \frac{3{,}6\cdot 10^{-12}}{2{,}4\cdot 10^{-20}} = \frac{3{,}6}{2{,}4}10^{-12+20} = 1{,}5 \cdot 10^{8}$$
Odpowiedź
D. $ 1{,}5\cdot 10^{8} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(9^9\cdot 81^2\) jest równa

A. $ 81^4 $
B. $ 81 $
C. $ 9^{13} $
D. $ 9^{36} $
Rozwiązanie Wykonując działania na potęgach otrzymamy: $$9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot(9)^{2\cdot2}=9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}$$
Odpowiedź
C. $ 9^{13} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 3 (0 - 1)

Suma \(16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}\) jest równa

A. $ 4^{24} $
B. $ 4^{25} $
C. $ 4^{48} $
D. $ 4^{49} $
Rozwiązanie Nie mamy żadnych specjalnych wzorów na dodawanie potęg, ale możemy zauważyć, że czterokrotnie dodano tą samą liczbę, czyli \(16^{24}\). W związku z tym: $$16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}=4\cdot16^{24}=4\cdot(4^2)^{24}= \\ =4\cdot4^{48}=4^1\cdot4^{48}=4^{49}$$
Odpowiedź
D. $ 4^{49} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 6 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \((b-a)^2\) dla \(a=2\sqrt{3}\) i \(b=\sqrt{75}\) jest równa

A. $ 9 $
B. $ 27 $
C. $ 63 $
D. $ 147 $
Rozwiązanie Podstawiając pod \(a\) oraz \(b\) liczby z treści zadania otrzymamy: $$(b-a)^2=(\sqrt{75}-2\sqrt{3})^2=(\sqrt{25\cdot3}-2\sqrt{3})^2= \\ =(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2=(3\sqrt{3})^2=9\cdot3=27$$
Odpowiedź
B. $ 27 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 2 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

A. $ 3 $
B. $ 2 $
C. $ \sqrt[3]{52} $
D. $ 2\sqrt[3]{2} $
Rozwiązanie Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem: $$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$
Odpowiedź
C. $ \sqrt[3]{52} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa

A. $ 4^4 $
B. $ 20^{16} $
C. $ 20^5 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy liczbę \(20\) rozbić na iloczyn \(4\cdot5\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Całość krok po kroku będzie wyglądać następująco: $$\require{cancel}\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{(4\cdot5)^4}=\frac{4^5\cdot\cancel{5^4}}{4^4\cdot\cancel{5^4}}=\frac{4^5}{4^4}= \\ =4^5:4^4=4^{5-4}=4^1=4$$
Odpowiedź
D. $ 4 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 1 (0 - 1)

Liczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa

A. $ 42^{36} $
B. $ 42^7 $
C. $ 6 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie $$\require{cancel} \frac{7^6\cdot6^7} {42^6}=\frac{7^6\cdot6^7}{(7\cdot6)^6}=\frac{\cancel{7^6}\cdot6^7}{\cancel{7^6}\cdot6^6}= \\ =6^7:6^6=6^{7-6}=6^1=6$$
Odpowiedź
C. $ 6 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa

A. $ \sqrt[6]{3} $
B. $ \sqrt[4]{3} $
C. $ \sqrt[3]{3} $
D. $ \sqrt{3} $
Rozwiązanie Aby obliczyć ten przykład to najprościej jest zamienić wszystkie pierwiastki na odpowiednie potęgi: $$\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\left(3^{1}\cdot3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}= \\ =3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$
Odpowiedź
D. $ \sqrt{3} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 1 (0 - 1)

Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy

A. $ a^{-3{,}9} $
B. $ a^{-2} $
C. $ a^{-1{,}3} $
D. $ a^{1{,}3} $
Rozwiązanie Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, stąd też całość możemy rozpisać jako: $$\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6}:a^{1,3}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}$$
Odpowiedź
A. $ a^{-3{,}9} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 3 (0 - 1)

Liczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa

A. $ 45^{40} $
B. $ 45^9 $
C. $ 9^4 $
D. $ 5^4 $
Rozwiązanie Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem: $$\require{cancel} \frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\ =5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$
Odpowiedź
D. $ 5^4 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 4 (0 - 1)

Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa

A. $ \sqrt{\frac{16}{63}} $
B. $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $
C. $ 1 $
D. $ \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $
Rozwiązanie Wykonanie obliczeń na pierwiastkach. $$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$ Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy. Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(3\sqrt{7}\), zatem: $$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}= \\ =\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{16}{3\sqrt{7}} $