Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

W grupie liczącej \(29\) uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe

A. $ \frac{14}{15} $
B. $ \frac{1}{14} $
C. $ \frac{14}{29} $
D. $ \frac{15}{29} $
Wzór

Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Niech $\Omega$ będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A\subset\Omega$ jest równe $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},$$ gdzie $|A|$ oznacza liczbę elementów zbioru $A$, zaś $|\Omega|$ - liczbę elementów zbioru $\Omega$.

▸ Więcej wzorów z działu Rachunek prawdopodobienstwa
Rozwiązanie Losujemy jedną osobę spośród \(29\) uczniów, zatem \(|Ω|=29\). Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której wylosujemy dziewczynę. Skoro chłopców jest \(15\), to dziewczyn mamy \(29-15=14\), zatem \(|A|=14\). $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{29}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{14}{29} $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 33 (0 - 4)

Ze zbioru \(A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B = \{-1, 0, 1, 2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są - odpowiednio - współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{8}\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 25 (0 - 1)

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

A. $ \frac{1}{16} $
B. $ \frac{3}{8} $
C. $ \frac{1}{4} $
D. $ \frac{3}{4} $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. W każdym losowaniu możemy trafić na jedną z dwóch kul: czarną lub białą. Skoro więc losujemy kule czterokrotnie, to wszystkich możliwych kombinacji losowania mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\). Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie dokładnie trzech białych kul. To oznacza, że sprzyjającymi zdarzeniami będą: $$(b,b,b,c), (b,b,c,b), (b,c,b,b), (c,b,b,b)$$ Są to więc tylko cztery takie przypadki, zatem możemy zapisać, że \(|A|=4\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{1}{4} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 31 (0 - 2)

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od \(0\) do \(4\)) i liczbę uzyskanych reszek (również od \(0\) do \(4\)). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Za każdym razem rzucając monetą możemy otrzymać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. Skoro rzucamy monetą czterokrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych będzie \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2\). Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której orłów jest więcej niż reszek. Wypiszmy sobie te zdarzenia: $$(O,O,O,O), (O,O,O,R), (O,O,R,O), (O,R,O,O), (R,O,O,O)$$ Widzimy, że takich zdarzeń jest dokładnie pięć, więc możemy zapisać, że \(|A|=5\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{16}$$
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{5}{16}\)

Matura 2018 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

A. $ \frac{15}{35} $
B. $ \frac{1}{50} $
C. $ \frac{15}{50} $
D. $ \frac{35}{50} $
Rozwiązanie Kuponów wygrywających jest $50 - 15 = 35$
Odpowiedź
D. $ \frac{35}{50} $

Matura 2018 Maj. Zadanie 33 (0 - 4)

Dane są dwa zbiory: \(A = \{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Rozwiązanie
Liczba jest podzielna przez 3 jeśli suma cyfr jest podzialna przez 3. Wszystkich zdarzeń jest $$|A|\cdot |B| = 7\cdot 7 = 49.$$ Przedstawiamy sumę cyfr w tabelce i jeśli jest podzielna przez 3 wpisujemy tak: Na podstawie tabelki zliczamy zdarzenia sprzyjające. Jest ich $16$. $$P = \frac{16}{49}$$
Odpowiedź
$P = \frac{16}{49}$

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

Z pudełka, w którym jest tylko \(6\) kul białych i \(n\) kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{1}{3}\). Liczba kul czarnych jest równa

A. $ n=9 $
B. $ n=2 $
C. $ n=18 $
D. $ n=12 $
Rozwiązanie W pudełku jest \(6+n\) kul (n - liczba kul czarnych). Losujemy jedną kulę, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6+n\). Sprzyjającymi zdarzeniami wylosowanie kuli białej \(|A|=6\), a prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{1}{3}\). Otrzymujemy: $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \\ \frac{1}{3}=\frac{6}{6+n} \quad\bigg/\cdot(6+n) \\ \frac{1}{3}\cdot(6+n)=6 \\ 2+\frac{1}{3}n=6 \\ \frac{1}{3}n=4 \\ n=12$$
Odpowiedź
D. $ n=12 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Ze zbioru liczb \(\{1,2,4,5,10\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}\)

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 25 (0 - 1)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od \(20\), jest równe

A. $ \frac{1}{6} $
B. $ \frac{5}{36} $
C. $ \frac{1}{9} $
D. $ \frac{2}{9} $
Rozwiązanie

Zrób tabelkę i policz zdarzenia przyjające

Rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\). Sprzyjającymi zdarzeniami będą wszystkie te pary, których iloczyn daje wynik większy od \(20\). $$(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5), (4,6)$$ Sześć przypadków spełnia ten warunek, zatem \(|A|=6\). Prawdopodobieństwo wynosi: $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$
Odpowiedź
A. $ \frac{1}{6} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(24\) losujemy jedną liczbę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem \(24\). Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

A. $ \frac{1}{4} $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ \frac{1}{8} $
D. $ \frac{1}{6} $
Rozwiązanie Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Skoro losujemy jedną z dwudziestu czterech liczb, to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: \(|Ω|=24\). Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Zdarzeniem sprzyjającym będzie trafienie na liczbę, która jest dzielnikiem liczby \(24\). Wypiszmy więc jakie dzielniki ma liczba \(24\): $$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$ Widzimy wyraźnie, że jest to osiem różnych dzielników, zatem: \(|A|=8\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{1}{3} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 33 (0 - 2)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od \(40\) i podzielna przez \(3\). Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{9}\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 25 (0 - 1)

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe

A. $ \frac{1}{48} $
B. $ \frac{1}{24} $
C. $ \frac{1}{12} $
D. $ \frac{1}{3} $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. W pierwszym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orzeł \((O)\) lub reszka \((R)\). Podobnie jest w drugim rzucie. W trzecim rzucie (tym razem kostką) możemy otrzymać jeden z sześciu wyników (\(1,2,3,4,5,6\)). To oznacza, że wszystkich kombinacji mamy: $$|Ω|=2\cdot2\cdot6=24$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Jest tylko jedna możliwość otrzymania zdarzenia, które zostało opisane w treści zadania i tym zdarzeniem będzie \(OO6\). Zatem \(|A|=1\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1}{24}$$
Odpowiedź
B. $ \frac{1}{24} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 34 (0 - 2)

Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\).

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{4}{21}\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 21 (0 - 1)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

A. $ 0\le p\le 0{,}25 $
B. $ 0{,}25\le p\le 0{,}4 $
C. $ 0{,}4\le p\le 0{,}5 $
D. $ p\gt 0{,}5 $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Rzucamy trzykrotnie monetą. W każdym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orła lub reszki. W związku z tym z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. W naszym przypadku zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wypadł nam tylko i wyłącznie jeden orzeł. Takich kombinacji mamy dokładnie trzy: $$(ORR), (ROR), (RRO)$$ Zatem \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$ Wyznaczone prawdopodobieństwo mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi, czyli \(0,25\le p\le0,4\).
Odpowiedź
B. $ 0{,}25\le p\le 0{,}4 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 22 (0 - 1)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

A. $ 0\le p\le 0{,}2 $
B. $ 0{,}2\le p\le 0{,}35 $
C. $ 0{,}35\lt p\le 0{,}5 $
D. $ 0{,}5\lt p\le 1 $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Będziemy rzucać monetą trzykrotnie. W pierwszym rzucie może nam wypaść jedna z dwóch możliwości - orzeł lub reszka. W drugim rzucie ponownie mamy dwie możliwości, w trzecim to samo. To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych będzie: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Szukamy przypadków, kiedy wypadną nam dokładnie dwa orły (czyli nie mogą to być trzy orły). Zatem pasującymi zdarzeniami są: $$OOR, ORO, ROO$$ Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$ To oznacza, że pasującym przedziałem jest ten zapisany w trzeciej odpowiedzi.
Odpowiedź
C. $ 0{,}35\lt p\le 0{,}5 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 34 (0 - 4)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\). Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{801}\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

W grupie jest \(15\) kobiet i \(18\) mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe

A. $ \frac{1}{15} $
B. $ \frac{1}{33} $
C. $ \frac{15}{33} $
D. $ \frac{15}{18} $
Rozwiązanie Łącznie wszystkich osób jest \(15+18=33\). Skoro \(15\) z \(33\) osób stanowią kobiety, to prawdopodobieństwo wylosowania kobiety będzie równe \(\frac{15}{33}\).
Odpowiedź
C. $ \frac{15}{33} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się \(6\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(6\), a w drugim – \(8\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(8\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez \(11\).

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{8}\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

A. $ p=\frac{3}{8} $
B. $ p=\frac{1}{4} $
C. $ p=\frac{2}{3} $
D. $ p=\frac{1}{2} $
Rozwiązanie Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Skoro z pierwszego pojemnika losujemy jedną z dwóch kul, potem z drugiego także jedną z dwóch i z trzeciego ponownie jedną z dwóch, to wszystkich możliwych kombinacji będziemy mieć: $$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$ Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających. Wypiszmy sobie teraz wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli takie które spełniają warunki zadania. Dwie z trzech wylosowanych kul muszą być czerwone, więc w grę wchodzą jedynie zdarzenia: $$(c,c,n), (c,n,c), (n,c,c)$$ Mamy trzy takie zdarzenia, więc \(|A|=3\). Obliczenie prawdopodobieństwa. $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}$$
Odpowiedź
A. $ p=\frac{3}{8} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 33 (0 - 4)

Wśród \(115\) osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletówLiczba osób
ulgowe76
normalne41
Uwaga! \(27\) osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{5}{23}\)