Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Rozwiązaniem równiania \(\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}\) jest liczba

A. $ -2 $
B. $ 2$
C. $ 4$
D. $ -4$
Rozwiązanie

Pamiętaj o dziedzinie funkcji

Dziedzina funkcji: nie dzielimy przez zero (mianownik różny od zera) $$3(x+2)\neq0 $$ $$x\neq-2$$ Mnożymy na krzyż: $$\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}$$ $$9\cdot(x-2)=3(x+2) $$ $$9x-18=3x+6$$ $$6x=24 $$ $$x=4$$
Odpowiedź
C. $ 4$

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 3 (0 - 1)

Wskaż liczbę spełniającą nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)\gt 0\).

A. $ 5 $
B. $ 16 $
C. $ -4 $
D. $ -2 $
Rozwiązanie Motodą eliminacji podstawiamy kolejno każdą z odpowiedzi: Odp. A. \(x=5\) \((4-5)(5+3)(5+4)\gt0 \\ -1\cdot8\cdot9\gt0 \\ -72\gt0\) Nierówność jest fałszywa. Odp. B. \(x=16\) \((4-16)(16+3)(16+4)\gt0 \\ -12\cdot19\cdot20\gt0 \\ -4560\gt0\) Nierówność jest fałszywa. Odp. C. \(x=-4\) \((4-(-4)(-4+3)(-4+4)\gt0 \\ 8\cdot(-1)\cdot0\gt0 \\ 0\gt0\) Nierówność jest fałszywa. Odp. D. \(x=-2\) \((4-(-2))(-2+3)(-2+4)\gt0 \\ 6\cdot1\cdot2\gt0 \\ 12\gt0\) Nierówność jest prawdziwa.
Odpowiedź
D. $ -2 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 6 (0 - 1)

Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)

A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
D. nie ma rozwiązań.
Rozwiązanie

Zacznij od wyznaczenia dziedziny.

Dziedzina funkcji $$2x+1\neq0 \\ 2x\neq-1 \\ x\neq-\frac{1}{2}$$ To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\). Rozwiązanie równania. Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika: $$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1) \\ x\cdot(2x+1)-1=0 \\ 2x^2+x-1=0$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe \(a=2,\,b=1,\,c=-1\) $$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$. Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).
Odpowiedź
A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

Matura 2018 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}\gt \frac{1}{3}\) jest przedział

A. $ \Biggl( \frac{1}{6}, +\infty \Biggl) $
B. $ \Biggl( \frac{2}{3}, +\infty \Biggl) $
C. $ \Biggl( -\infty ,\frac{1}{6} \Biggl) $
D. $ \Biggl( -\infty ,\frac{2}{3} \Biggl) $
Rozwiązanie $$\frac{1-2x}{2}\gt \frac{1}{3}$$ $$3-6x\gt 2$$ $$ 1 \gt 6x $$ $$ \frac{1}{6} \gt x $$
Odpowiedź
C. $ \Biggl( -\infty ,\frac{1}{6} \Biggl) $

Matura 2018 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 3x \gt 5\).

Rozwiązanie $$2x^{ 2} - 3x > 5$$ $$2x^{ 2} - 3x - 5 > 0$$ Liczymy pierwiastki z Delty ($\Delta = 49$) $$x_1 = -1, x_2 = \frac{5}{2} $$ Ramiona skierowane w góre i przedziały otwarte: $$ x \in (-\infty,-1) \cup (\frac{5}{2},\infty)$$
Odpowiedź
$x \in ( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 5 } { 2 } , + \infty \right)$

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\ne -2\), jest liczba należąca do przedziału

A. $ (-2,1) $
B. $ \langle 1,+\infty ) $
C. $ (-\infty ,-5) $
D. $ \langle -5,-2) $
Rozwiązanie $$\frac{x+1}{x+2}=3 \quad\bigg/\cdot(x+2) \\ x+1=3(x+2) \\ x+1=3x+6 \\ -2x=5 \\ x=-2,5$$ To oznacza, że rozwiązanie równania należy do przedziału \(x\in\langle-5,-2)\).
Odpowiedź
D. $ \langle -5,-2) $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2+x-6\le 0\).

Odpowiedź
\(x\in\left\langle-2, \frac{3}{2}\right\rangle\)

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \((x^2-6)(3x+2)=0\).

Odpowiedź
\(x=\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{6} \lor x=-\frac{2}{3}\)

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 10 (0 - 1)

Równanie \(x(x-3)(x^2+25)=0\) ma dokładnie

A. cztery rozwiązania: $ x=0, x=3, x=5, x=-5 $
B. trzy rozwiązania: $ x=3, x=5, x=-5 $
C. dwa rozwiązania: $ x=0, x=3 $
D. jedno rozwiązanie: $ x=3 $
Rozwiązanie Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, zatem aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym: $$x(x-3)(x^2+25)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-25$$ Z racji tego iż nie ma możliwości by liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu dała wynik ujemny, to z równania \(x^2=-25\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0 \lor x=3\).
Odpowiedź
C. dwa rozwiązania: $ x=0, x=3 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \((x-\frac{1}{2})x\gt 3(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\).

Odpowiedź
\(x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Równość \((x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\) jest

A. fałszywa dla każdej liczby $ x $
B. prawdziwa dla $ x=-\sqrt{2} $
C. prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $
D. prawdziwa dla $ x=-1$
Rozwiązanie Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\). W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\). Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\). Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że: $$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \\ \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \\ x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \\ x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$ No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).
Odpowiedź
C. prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)\gt 0\) nie należy liczba:

A. $ 1 $
B. $ -1 $
C. $ 3 $
D. $ -3 $
Rozwiązanie Do powyższej nierówności możemy podstawić po kolei każdą z odpowiedzi i sprawdzić tym samym, która z nich nie będzie należeć do zbioru rozwiązań. Można też po prostu rozwiązać taką nierówność, dzieląc obie strony przez \((x^4+1)\). Możemy tak zrobić i być pewni, że nie zmieni się znak nierówności, bo wartość \((x^4+1)\) jest zawsze dodatnia, zatem: $$(x^4+1)(2-x)\gt0 \quad\bigg/:(x^4+1) \\ 2-x\gt0 \\ -x\gt-2 \quad\bigg/:(-1) \\ x\lt2$$ Jedyną liczbą spośród podanych odpowiedzi, która nie spełnia tej nierówności jest \(3\).
Odpowiedź
D. $ -3 $

Matura 2017 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\)

A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
D. ma dokładnie pięć rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Rozwiązanie Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie: $$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\ x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$ Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).
Odpowiedź
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

Matura 2017 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(8x^2-72x\le 0\).

Odpowiedź
\(x\in\langle0,9\rangle\)

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\) jest

A. $ -14 $
B. $ -13 $
C. $ 13 $
D. $ 14 $
Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności. Na początku musimy rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, a więc: $$\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt0 \quad\bigg/-\sqrt{7} \\ \frac{x}{5}=-\sqrt{7} \quad\bigg/\cdot5 \\ x=-5\sqrt{7}$$ Zaokrąglenie wyniku i wskazanie poprawnej odpowiedzi. Na kalkulatorze możemy obliczyć, że \(-5\sqrt{7}\approx-13,23\). Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest większa od \(-13,23\). Taką liczbą jest oczywiście \(-13\), tak więc prawidłowa była druga odpowiedź.
Odpowiedź
B. $ -13 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\)

Odpowiedź
\(x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle2,+\infty)\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 7 (0 - 1)

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \((x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0\) wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

A. $ 12 $
B. $ 10 $
C. $ 6 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Wskazanie rozwiązań równania. Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem: $$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\ x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\ x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$ Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb. Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).
Odpowiedź
C. $ 6 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 8 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(\frac{x-7}{x}=5\), gdzie \(x\ne 0\) jest liczba należąca do przedziału

A. $ (-\infty ,-2) $
B. $ \langle -2,-1) $
C. $ \langle -1,0) $
D. $ (0,+\infty ) $
Rozwiązanie $$\frac{x-7}{x}=5 \\ x-7=5x \\ -7=4x \\ x=-\frac{7}{4} \\ x=-1\frac{3}{4}$$ Otrzymany wynik mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi.
Odpowiedź
B. $ \langle -2,-1) $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\ne -1\) i \(x\ne 0\).

Odpowiedź
\(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

A. $ a=3 $
B. $ a=1 $
C. $ a=-2 $
D. $ a=-3 $
Rozwiązanie Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo: $$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2} \\ 8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2} \\ 17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2} \\ L=P$$ Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy: $$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9 \\ (2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2 \\ a=3$$
Odpowiedź
A. $ a=3 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x\lt -2\), jest

A. $ 1 $
B. $ -1 $
C. $ 2 $
D. $ -2 $
Rozwiązanie Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy: A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\) B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\) C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\) D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\) Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\).
Odpowiedź
C. $ 2 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt 3x^2-6x\).

Odpowiedź
\(x\in(0,2)\)

Matura 2016 Maj. Zadanie 28 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Odpowiedź
\(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 8 (0 - 1)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest

A. $ -2 $
B. $ -1 $
C. $ 0 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Na samym początku musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wartości i rozwiązać tę nierówność: $$2(x-2)\le4(x-1)+1 \\ 2x-4\le4x-4+1 \\ 2x-4\le4x-3 \\ -2x-4\le-3 \\ -2x\le1 \quad\bigg/:(-2) \\ x\ge-\frac{1}{2}$$ Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce! Wynika ona z tego, że wykonywaliśmy dzielenie przez liczbę ujemną. Musimy teraz określić jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-\frac{1}{2}\). Tą liczbą będzie oczywiście \(0\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Odpowiedź
C. $ 0 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(x^2(x +1) = x^2−8\) jest

A. $ -9 $
B. $ -2 $
C. $ 2 $
D. $ 7 $
Rozwiązanie $$x^2(x+1)=x^2-8 \\ x^3+x^2=x^2-8 \\ x^3=-8 \\ x=-2$$
Odpowiedź
B. $ -2 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 2\).

Odpowiedź
\(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 28 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\).

Odpowiedź
\(x\in\langle2,3\rangle\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla

A. $ m=-5 $
B. $ m=1 $
C. $ m=4 $
D. $ m=5 $
Rozwiązanie Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia. $$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5}) \\ 5m=5^2-(\sqrt{5})^2 \\ 5m=25-5 \\ 5m=20 \\ m=4$$
Odpowiedź
C. $ m=4 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa

A. $ 21 $
B. $ -1 $
C. $ -21 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości wszystkich pierwiastków równania. Nasze równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej. Aby wartość takiego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam "wyzerować" to równanie, a więc któryś z nawiasów musi być równy zero. To oznacza, że rozwiązaniami równania (a więc potocznie rzecz ujmując jego pierwiastkami) będą: $$x+3=0 \quad\lor\quad x+7=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x=-3 \quad\lor\quad x=-7 \quad\lor\quad x=11$$ Obliczenie sumy pierwiastków. $$S=-3+(-7)+11=1$$
Odpowiedź
D. $ 1 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 7 (0 - 1)

Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\)

A. ma dokładnie dwa rozwiązania $ x=0 $, $x=1$
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie $ x=-1 $
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie $ x=0 $
D. ma dokładnie jedno rozwiązanie $ x=1 $
Rozwiązanie Zapisanie założeń do zadania. Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik. Rozwiązanie równania. $$\frac{x-1}{x+1}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+1) \\ x-1=(x-1)\cdot(x+1) \\ x-1=x^2-1^2 \\ x-1=x^2-1 \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x=1$$ To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Odpowiedź
A. ma dokładnie dwa rozwiązania $ x=0 $, $x=1$

Matura 2015 Maj. Zadanie 12 (0 - 1)

Ile liczb całkowitych \(x\) spełnia nierówność \(\frac{2}{7}\lt \frac{x}{14}\lt \frac{4}{3}\)?

A. $ 17 $
B. $ 16 $
C. $ 15 $
D. $ 14 $
Rozwiązanie Najprościej jest wymnożyć wszystkie liczby przez \(14\), otrzymując w ten sposób wartość \(x\) wewnątrz zapisu. To pozwoli szybko sprawdzić ile liczb całkowitych spełni wskazaną nierówność: $$\frac{2}{7}\lt\frac{x}{14}\lt\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot14 \\ 4\lt x\lt18\frac{2}{3}$$ Liczb całkowitych, które spełnią tą nierówność (czyli \(5, 6, 7...16, 17, 18\)) jest więc \(14\).
Odpowiedź
D. $ 14 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt (x+3)(x-2)\).

Odpowiedź
\(x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)