Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 24 (0 - 1)

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena65432
Liczba ocen23551
Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa

A. $ 3 $
B. $ 3{,}5 $
C. $ 4 $
D. $ 4{,}5 $
Wzór

Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ danych liczbowych $a_1 \le a_2 \le a_3 \le … \le a_n$ jest:
dla $n$ nieparzystych: $$a_{\frac{n+1}{2}} \text{ (środkowy wyraz ciągu)}$$ dla $n$ parzystych: $$\frac{1}{2}\left(a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1}\right)$$

▸ Więcej wzorów z działu Parametry danych statystycznych
Rozwiązanie

Mediana to wartość środkowa

I sposób

Układamy oceny w kolejności rosnącej $$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$ Łącznie mamy \(2+3+5+5+1=16\). Z wzoru na medianę mamy średnią ósmej i dziewiątej oceny, zatem: $$m=\frac{4+4}{2} =\frac{8}{2} =4$$

II sposób

Układamy oceny w kolejności rosnącej $$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$ Skreślamy kolejno po jednej ocenie z prawej i lewej, aż zostaną nam $$4, 4$$ średnia tych 2 ocen to oczywiście 4.
Odpowiedź
C. $ 4 $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 22 (0 - 1)

Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

A. $ 0{,}5 $
B. $ 1 $
C. $ 2 $
D. $ 2{,}5 $
Rozwiązanie Obliczenie liczby książek przeczytanych przez ankietowanych. Zgodnie z informacjami w tabelce liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa: $$23\cdot0+14\cdot1+28\cdot2+17\cdot3+11\cdot4+7\cdot5= \\ =0+14+56+51+44+35=200$$ Obliczenie średniej arytmetycznej. Skoro \(100\) osób przeczytało \(200\) książek, to średnia liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa: $$\frac{200}{100}=2$$
Odpowiedź
C. $ 2 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 23 (0 - 1)

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,…,2}\_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,…,4}\_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

A. $ 2 $
B. $ 1 $
C. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $
D. $ \sqrt{2} $
Wzór

Wariancja i odchylenie standardowe.
Wariancją $n$ danych liczbowych $a_1, a_2,\ldots,a_n$ o średniej arytmetycznej $\overline{a}$ jest liczba: $$\sigma^2=\frac{(a_1-\overline{a})^2+(a_2-\overline{a})^2+\ldots+(a_n-\overline{a})^2}{n}$$ $$= \frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}{n}-(\overline{a})^2$$ Odchylenie standardowe $\sigma$ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

▸ Więcej wzorów z działu Parametry danych statystycznych
Rozwiązanie Najpierw liczymy średnią $$\bar{a} = \frac{2\cdot m + 4 \cdot m}{2m} = 3 $$ i podstawiamy do wzoru na $\sigma^2$ $$ \sigma^2 = \frac{m\cdot(2-3)^2 + m\cdot (4-3)^2}{2m } = \frac{m\cdot(-1)^2 + m\cdot (1)^2}{2m } = \frac{m+m}{2m} = 1, \sigma = 1$$
Odpowiedź
B. $ 1 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 23 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

A. $ 8 $
B. $ 9 $
C. $ 10 $
D. $ 16 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości \(x\). Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że: $$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9 \\ \frac{x+56}{8}=9 \\ x+56=72 \\ x=16$$ Uporządkowanie wszystkich wyrazów. Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej): $$2,4,6,8,10,12,14,16$$ Wyznaczenie mediany. Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem: $$m=\frac{8+10}{2} \\ m=\frac{18}{2} \\ m=9$$
Odpowiedź
B. $ 9 $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Ze zbioru liczb \(\{1,2,4,5,10\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź
\(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 24 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: \(3,5,7,9,x,15,17,19\) jest równa \(11\). Wtedy

A. $ x=1 $
B. $ x=2 $
C. $ x=11 $
D. $ x=13 $
Rozwiązanie Ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy ułożyć następujące równanie: $$\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11 \\ \frac{75+x}{8}=11 \quad\bigg/\cdot8 \\ 75+x=88 \\ x=13$$
Odpowiedź
D. $ x=13 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 23 (0 - 1)

Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem

A. $ x=-51 $
B. $ x=-6 $
C. $ x=10 $
D. $ x=29 $
Rozwiązanie Kluczem do rozwiązania tego zadania jest stworzenie poprawnego równania. Bardzo wiele osób tutaj popełnia spory błąd, dlatego omówmy to sobie dość dokładnie. Skoro wartość drugiej średniej będzie większa o \(2\), to aby postawić znak równości między tymi średnimi to musimy dodać dwójkę do pierwszej z nich. Przykładowo gdyby chcieć to pokazać na liczbach, to jeżeli \(\overline{x_{1}}=10\) oraz \(\overline{x_{2}}=12\), to prawidłowe będzie równanie \(\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}}\). Mając na uwadze powyższą sugestię możemy to zapisać w taki sposób: $$\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}} \\ \frac{4+7+8+x}{4}+2=\frac{4+7+8+x+2}{5} \\ \frac{19+x}{4}+2=\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot20 \\ 5\cdot(19+x)+40=4\cdot(21+x) \\ 95+5x+40=84+4x \\ x=84-95-40 \\ x=-51$$
Odpowiedź
A. $ x=-51 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 22 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x−1,\ 3x,\ 5x+1\) i \(7x\) jest równa \(72\). Wynika stąd, że

A. $ x=9 $
B. $ x=10 $
C. $ x=17 $
D. $ x=18 $
Rozwiązanie Z treści zadania układamy następujące równanie: $$\frac{(x-1)+(3x)+(5x+1)+(7x)}{4}=72 \\ 16x=288 \\ x=18$$
Odpowiedź
D. $ x=18 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 25 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

A. $ 26 $
B. $ 27 $
C. $ 28 $
D. $ 29 $
Rozwiązanie Ułożenie poprawnego równania i wyznaczenie wartości \(x\). Zgodnie z treścią zadania prawdziwa jest następująca równość: $$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2} \\ \frac{128+x}{6}=\frac{x}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\ 128+x=3x \\ 2x=128 \\ x=64$$ Obliczenie mediany. Aby obliczyć naszą medianę musimy przede wszystkim ustawić nasze liczby w ciągu niemalejącym, bo tylko w ten sposób jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie: $$16,25,27,29,31,64$$ Z racji tego, że mamy parzystą liczbę wyrazów, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów: $$m=\frac{27+29}{2}=\frac{56}{2}=28$$
Odpowiedź
C. $ 28 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 26 (0 - 2)

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata123456
przyrost (w cm)10107887
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Odpowiedź
Średni roczny przyrost wyniósł w zaokrągleniu \(8cm\). Błąd względny przybliżenia wyniósł \(4\%\).

Matura 2015 Maj. Zadanie 24 (0 - 1)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,9\) jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,9,x.\) Wynika stąd, że

A. $ x=3 $
B. $ x=5 $
C. $ x=6 $
D. $ x=0 $
Rozwiązanie Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie: $$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6} \\ \frac{30}{5}=\frac{30+x}{6} \\ 6=\frac{30+x}{6} \\ 36=30+x \\ x=6$$
Odpowiedź
C. $ x=6 $