Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to
Zrób rysunek pomocniczy
Z własności sześcianu wiemy, że przekątna sześcianu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więć $$\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \sin\alpha=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{3}$$Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \(10\sqrt{2}\). Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
Walec. $$P_b=2\pi rh$$ $$P=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością walca
W tym zadaniu wysokość walca to długość boku kwadratu $h=a$
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W związku z tym: $$a\sqrt{2}=10\sqrt{2} \\ a=10 .$$ Z treści zadania $$h = a = 10$$ Promień podstawy walca jest połową długości boku kwadratu, zatem: $$r=10:2 =5$$. Obliczamy pole powierzchni bocznej, korzystając ze wzoru: $$P_{b}=2\pi rH =2\pi\cdot5\cdot10 =100\pi$$Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \(27\pi\). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \(15\). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(\alpha\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa
Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
Walec. $$P_b=2\pi rh$$ $$P=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością walca
Kula. $$P=4\pi r^2$$ $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$ gdzie $r$ jest promieniem kuli
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy \(ABCD\) to
Graniastosłup ma \(14\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
Dany jest stożek o wysokości \(6\) i tworzącej \(3\sqrt{5}\). Objętość tego stożka jest równa
Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB=90^\circ |\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Długość przekątnej sześcianu jest równa \(6\). Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16\pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\). Wysokość tego walca jest równa
Walec. $$P_b=2\pi rh$$ $$P=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością walca
Wzór na pole powierzchni bocznej walca
$$P=16π \\ 2π\cdot2\cdot h=16π \\ 4π\cdot h=16π \quad\bigg/:4π \\ h=4$$Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA’B’C’D’\) jest romb \(ABCD\). Przekątna \(AC’\) tego graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ \), a przekątna \(BD’\) jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45^\circ \). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe \(140\). Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa
Promień \(AS\) podstawy walca jest równy wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy
Dany jest stożek o wysokości \(4\) i średnicy podstawy \(12\). Objętość tego stożka jest równa
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(6\). Promień podstawy stożka jest równy
Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy \(r\), a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha \). Wtedy wartość \(\sin \frac{\alpha }{2}\) jest równa
Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa \(11\). Podstawą tego ostrosłupa jest
Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa
Dany jest stożek o objętości \(8\pi \), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a, b, c\), gdzie \(a \lt b \lt c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ \) otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa
Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy \(4\) i wysokość jest równa \(6,\) ma długość
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości \(6\). Objętość tego stożka jest równa
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.