Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 15 (0 - 1)

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(3\), a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) jest równa \(\sqrt{3}\). Zatem:

A. $ \alpha = 60^\circ $
B. $ \alpha \in (40^\circ, 60^\circ) $
C. $ \alpha \in (30^\circ, 40^\circ) $
D. $ \alpha = 30^\circ $
Wzór

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

$\alpha [^\circ]$ $\sin(\alpha)$
$\cos(\beta)$
$\mathrm{tg}\alpha $ $\beta[^\circ]$
00,00000,000090
10,01750,017589
20,03490,034988
30,05230,052487
40,06980,069986
50,08720,087585
60,10450,105184
70,12190,122883
80,13920,140582
90,15640,158481
100,17360,176380
110,19080,194479
120,20790,212678
130,22500,230977
140,24190,249376
150,25880,267975
160,27560,286774
170,29240,305773
180,30900,324972
190,32560,344371
200,34200,364070
210,35840,383969
220,37460,404068
230,39070,424567
240,40670,445266
250,42260,466365
260,43840,487764
270,45400,509563
280,46950,531762
290,48480,554361
300,50000,577460
310,51500,600959
320,52990,624958
330,54460,649457
340,55920,674556
350,57360,700255
360,58780,726554
370,60180,753653
380,61570,781352
390,62930,809851
400,64280,839150
410,65610,869349
420,66910,900448
430,68200,932547
440,69470,965746
450,70711,000045
460,71931,035544
470,73141,072443
480,74311,110642
490,75471,150441
500,76601,191840
510,77711,234939
520,78801,279938
530,79861,327037
540,80901,376436
550,81921,428135
560,82901,482634
570,83871,539933
580,84801,600332
590,85721,664331
600,86601,732130
610,87461,804029
620,88291,880728
630,89101,962627
640,89882,050326
650,90632,144525
660,91352,246024
670,92052,355923
680,92722,475122
690,93362,605121
700,93972,747520
710,94552,904219
720,95113,077718
730,95633,270917
740,96133,487416
750,96593,732115
760,97034,010814
770,97444,331513
780,97814,704612
790,98165,144611
800,98485,671310
810,98776,31389
820,99037,11548
830,99258,14437
840,99459,51446
850,996211,43015
860,997614,30074
870,998619,08113
880,999428,63632
890,999857,29001
901,0000-0

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $$\sin\alpha = \frac{a}{c}\quad \sin\beta = \frac{b}{c} $$ $$\cos\alpha = \frac{b}{c}\quad \cos\beta = \frac{a}{c} $$ $$\mathrm{tg}\alpha = \frac{a}{b}\quad \mathrm{tg}\beta = \frac{b}{a} $$

▸ Więcej wzorów z działu Trygonometria
Rozwiązanie

Zrób rysunek pomocniczy

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin\alpha\approx\frac{1,73}{3} \\ \sin\alpha\approx0,58.$$ Sprawdzamy tablicę wartości kąta sinus i szukamy w przybliżeniu \(0,58\). W tablicach możemy odczytać, że dla kąta \(36°\) sinus przyjmuje wartość \(0,5878\). Stąd też wiemy, że \(\alpha\in(30°, 40°)\).
Odpowiedź
C. $ \alpha \in (30^\circ, 40^\circ) $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Wtedy

A. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{16}{15} $
B. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{16} $
C. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{15} $
D. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{6}{20} $
Wzór

Związki między funkcjami tego samego kąta. $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ $$\textrm{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \text{ dla } \alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \quad k \text{ - całkowite}$$

▸ Więcej wzorów z działu Trygonometria
Rozwiązanie

Zapamiętaj: Sinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie.

$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ sin^2\alpha+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1 \\ sin^2\alpha+\frac{9}{25}=1 \\ sin^2\alpha=\frac{16}{25} \\ \sin\alpha=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad \sin\alpha=-\sqrt{\frac{16}{25}} \\ \sin\alpha=\frac{4}{5} \quad\lor\quad \sin\alpha=-\frac{4}{5}$$ Wartość ujemną odrzucamy , zatem zostaje nam \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\). \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) możemy zapisać, że: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \\ \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{5}:\frac{3}{5} \\ \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} \\ \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{3}$$ Zatem \(\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha\). $$\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{15}$$
Odpowiedź
A. $ \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{16}{15} $

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 15 (0 - 1)

Liczba \(1-\operatorname{tg} 40^\circ \) jest

A. ujemna.
B. dodatnia, ale mniejsza od $ 0{,}1 $
C. większa od $ 0{,}1 $, ale mniejsza od $0{,}5$
D. większa od $0{,}5$
Rozwiązanie Z tablic matematycznych możemy odczytać, że \(tg40°\approx0,8391\). W związku z tym: $$1-tg40°=1-0,8391=0,1609$$ To oznacza, że otrzymany wynik jest większy od \(0,1\), ale mniejszy od \(0,5\).
Odpowiedź
C. większa od $ 0{,}1 $, ale mniejsza od $0{,}5$

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 30 (0 - 2)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }\).

Rozwiązanie Równanie $ \sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2} $ podnosimy obustronnie do kwadratu $$ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha=2 $$ a następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy $ 1+2 \sin \alpha \cos \alpha=2,$ zatem $ \sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{2} $ Następnie korzystamy ze związku między funkcjami tego samego kąta $$ \operatorname{tg} \alpha+\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $$ $$=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$ $$=\frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$$ $$=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2 $$
Odpowiedź
\(2\)

Matura 2018 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\alpha\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

A. $ 27^\circ\lt\alpha\le 30^\circ $
B. $ 24^\circ\lt\alpha\le 27^\circ $
C. $ 21^\circ\lt\alpha\le 24^\circ $
D. $ 18^\circ\lt\alpha\le 21^\circ $
Wzór

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

$\alpha [^\circ]$ $\sin(\alpha)$
$\cos(\beta)$
$\mathrm{tg}\alpha $ $\beta[^\circ]$
00,00000,000090
10,01750,017589
20,03490,034988
30,05230,052487
40,06980,069986
50,08720,087585
60,10450,105184
70,12190,122883
80,13920,140582
90,15640,158481
100,17360,176380
110,19080,194479
120,20790,212678
130,22500,230977
140,24190,249376
150,25880,267975
160,27560,286774
170,29240,305773
180,30900,324972
190,32560,344371
200,34200,364070
210,35840,383969
220,37460,404068
230,39070,424567
240,40670,445266
250,42260,466365
260,43840,487764
270,45400,509563
280,46950,531762
290,48480,554361
300,50000,577460
310,51500,600959
320,52990,624958
330,54460,649457
340,55920,674556
350,57360,700255
360,58780,726554
370,60180,753653
380,61570,781352
390,62930,809851
400,64280,839150
410,65610,869349
420,66910,900448
430,68200,932547
440,69470,965746
450,70711,000045
460,71931,035544
470,73141,072443
480,74311,110642
490,75471,150441
500,76601,191840
510,77711,234939
520,78801,279938
530,79861,327037
540,80901,376436
550,81921,428135
560,82901,482634
570,83871,539933
580,84801,600332
590,85721,664331
600,86601,732130
610,87461,804029
620,88291,880728
630,89101,962627
640,89882,050326
650,90632,144525
660,91352,246024
670,92052,355923
680,92722,475122
690,93362,605121
700,93972,747520
710,94552,904219
720,95113,077718
730,95633,270917
740,96133,487416
750,96593,732115
760,97034,010814
770,97444,331513
780,97814,704612
790,98165,144611
800,98485,671310
810,98776,31389
820,99037,11548
830,99258,14437
840,99459,51446
850,996211,43015
860,997614,30074
870,998619,08113
880,999428,63632
890,999857,29001
901,0000-0

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $$\sin\alpha = \frac{a}{c}\quad \sin\beta = \frac{b}{c} $$ $$\cos\alpha = \frac{b}{c}\quad \cos\beta = \frac{a}{c} $$ $$\mathrm{tg}\alpha = \frac{a}{b}\quad \mathrm{tg}\beta = \frac{b}{a} $$

▸ Więcej wzorów z działu Trygonometria
Rozwiązanie Obliczamy sinus $$\sin \alpha = \frac{3}{8} = 0{,}375$$ i sprawdzamy tablicę wartości funkcji trygonometrycznych
Odpowiedź
C. $ 21^\circ\lt\alpha\le 24^\circ $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 13 (0 - 1)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Stąd wynika, że

A. $ \cos \alpha =\frac{24}{49} $
B. $ \cos \alpha =\frac{5}{7} $
C. $ \cos \alpha =\frac{25}{49} $
D. $ \cos \alpha =\frac{5\sqrt{6}}{7} $
Rozwiązanie Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ \left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\ \frac{4\cdot6}{49}+cos^2\alpha=1 \\ \frac{24}{49}+cos^2\alpha=1 \\ cos^2\alpha=\frac{25}{49} \\ \cos\alpha=\frac{5}{7} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\frac{5}{7}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym, zatem zostaje nam \(\cos\alpha=\frac{5}{7}\).
Odpowiedź
B. $ \cos \alpha =\frac{5}{7} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 15 (0 - 1)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sin \alpha \) jest równy

A. $ \frac{5}{17} $
B. $ \frac{12}{17} $
C. $ \frac{5}{13} $
D. $ \frac{12}{13} $
Rozwiązanie Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa. Z trygonometrii wiemy, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5} \\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12}{5}$$ Mnożąc to na krzyż otrzymamy: $$5\sin\alpha=12\cos\alpha$$ Obliczenie wartości cosinusa. Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). W poprzednim kroku udało nam się zapisać, że \(5\sin\alpha=12\cos\alpha\), czyli że \(\cos\alpha=\frac{5}{12}\sin\alpha\). W związku z tym: $$sin^2\alpha+\left(\frac{5}{12}\sin\alpha\right)^2+=1 \\ sin^2\alpha+\frac{25}{144}sin^2\alpha=1 \\ \frac{169}{144}sin^2\alpha=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\ sin^2\alpha=\frac{144}{169} \\ \sin\alpha=\frac{12}{13} \quad\lor\quad \sin\alpha=-\frac{12}{13}$$ Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(\alpha\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\).
Odpowiedź
D. $ \frac{12}{13} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 17 (0 - 1)

Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\). Wówczas miara \(\varphi\) kąta \(DBC\) spełnia warunek

A. $ 20^\circ \lt \varphi\lt 25^\circ $
B. $ 25^\circ \lt \varphi\lt 30^\circ $
C. $ 30^\circ \lt \varphi\lt 35^\circ $
D. $ 35^\circ \lt \varphi\lt 40^\circ $
Rozwiązanie Wprowadzenie poprawnych oznaczeń. Spójrzmy na kąt \(ABC\). Załóżmy sobie, że kąt \(ABC\) jest kątem \(\alpha\) i wiemy o tym kącie że jest dwukrotnie większy od poszukiwanego kąta \(φ\). Czyli: $$|\sphericalangle ABC|=\alpha=2φ$$ Obliczenie wartości tangensa. Teraz możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z tangensa: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{3} \\ \operatorname{tg}\alpha\approx1,67$$ Odczytanie z tablic miary kąta \(\alpha\). Z tablic matematycznych musimy odczytać dla jakiego kąta tangens przyjmuje wartość bliską \(1,67\). Z takich tablic wynika, że dla kąta \(59°\) tangens przyjmuje wartość \(1,6643\) i jest to najlepsze przybliżenie jakie możemy otrzymać, zatem możemy zapisać, że: $$\alpha\approx59°$$ Obliczenie miary kąta \(φ\). Wiemy, że kąt \(\alpha\) jest dwukrotnie większy od kąta \(φ\), zatem: $$φ\approx59°:2\approx29,5φ$$ W zwiążku z tym prawidłową odpowiedzią jest nierówność \(25°\lt φ \lt30°\).
Odpowiedź
B. $ 25^\circ \lt \varphi\lt 30^\circ $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 27 (0 - 2)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((\sin \alpha -\cos \alpha )^2\).

Odpowiedź
\(\frac{1}{4}\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

Jeżeli \(m=\sin 50^\circ \), to

A. $ m=\sin 40^\circ $
B. $ m=\cos 40^\circ $
C. $ m=\cos 50^\circ $
D. $ m=\operatorname{tg} 50^\circ $
Rozwiązanie Skorzystamy z jednego ze wzorów redukcyjnych: $$sin(90°-\alpha)=\cos\alpha \\ sin50°=sin(90°-40°)=cos40°$$
Odpowiedź
B. $ m=\cos 40^\circ $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(\sin \alpha -\cos \alpha \) jest równa

A. $ \frac{1}{5} $
B. $ \frac{3}{5} $
C. $ \frac{17}{25} $
D. $ \frac{1}{25} $
Rozwiązanie Obliczenie wartości cosinusa. W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ \left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\ \frac{16}{25}+cos^2\alpha=1 \\ cos^2\alpha=\frac{9}{25} \\ \cos\alpha=\frac{3}{5} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\frac{3}{5}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Obliczenie wartości wyrażenia \(\sin\alpha-\cos\alpha\). Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia: $$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$
Odpowiedź
A. $ \frac{1}{5} $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ \) jest równa

A. $ 2-\frac{3\sqrt{3}}{2} $
B. $ 2+\frac{\sqrt{3}}{2} $
C. $ 4-\frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} $
Rozwiązanie W tym zadaniu tak naprawdę musimy tylko odczytać z tablic poszczególne wartości i wykonać poprawnie działania na pierwiastkach i potęgach: $$(tg60°+tg45°)^2-sin60°= \\ =(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{2\cdot(3+2\sqrt{3}+1)}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{8+4\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =-\frac{8+3\sqrt{3}}{2}= \\ =4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Odpowiedź
D. $ 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} $

Matura 2016 Maj. Zadanie 17 (0 - 1)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy

A. $ \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26} $
B. $ \sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13} $
C. $ \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} $
D. $ \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13} $
Rozwiązanie Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa. Z trygonometrii wiemy, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem: $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3} \\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{3}$$ Mnożąc to na krzyż otrzymamy: $$3\sin\alpha=2\cos\alpha$$ Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem: $$3\sin\alpha=2\cos\alpha \\ \cos\alpha=\frac{3}{2}\sin\alpha$$ Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\ sin^2\alpha+\left(\frac{3}{2}\sin\alpha\right)^2=1 \\ sin^2\alpha+\frac{9}{4}sin^2\alpha=1 \\ \frac{13}{4}sin^2\alpha=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13} \\ sin^2\alpha=\frac{4}{13} \\ \sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$ (Z racji tego iż kąt \(\alpha\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2\alpha=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).
Odpowiedź
C. $ \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 16 (0 - 1)

Sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas

A. $ \cos \alpha =\frac{1}{4} $
B. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} $
C. $ \cos \alpha =\frac{7}{16} $
D. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{16} $
Rozwiązanie W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość sinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość cosinusa. $$sin^2+cos^2\alpha=1 \\ \left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\ \frac{9}{16}+cos^2\alpha=1 \\ cos^2\alpha=1-\frac{9}{16} \\ cos^2\alpha=\frac{7}{16} \\ \cos\alpha=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\ \cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$ Wartość ujemną musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zatem jedyną prawidłową odpowiedzią będzie \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}\).
Odpowiedź
B. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 17 (0 - 1)

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy

A. $ \frac{5}{2} $
B. $ \frac{2}{5} $
C. $ \frac{2}{\sqrt{29}} $
D. $ \frac{5}{\sqrt{29}} $
Rozwiązanie Sporządzenie rysunku poglądowego. Narysujmy sobie ten trójkąt by przede wszystkim dostrzec w którym miejscu znajdzie się większy z kątów ostrych: Cosinus zaznaczonego kąta będzie więc stosunkiem długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. $$\cos\alpha=\frac{2}{c}$$ Obliczenie długości przeciwprostokątnej. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: $$2^2+5^2=c^2 \\ 4+25=c^2 \\ c^2=29 \\ c=\sqrt{29}$$ Obliczenie wartości cosinusa. Możemy teraz wrócić do obliczenia wartości cosinusa, a tak naprawdę wystarczy już tylko podstawić obliczoną przed chwilą długość przeciwprostokątnej: $$\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}$$
Odpowiedź
C. $ \frac{2}{\sqrt{29}} $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 29 (0 - 2)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Odpowiedź
\(\sin\alpha\cdot \cos\alpha=\frac{2}{7}\)

Matura 2015 Maj. Zadanie 14 (0 - 1)

W układzie współrzędnych zaznaczono punkt \(P=(-4,5)\). Tangens kąta \(\alpha \) zaznaczonego na rysunku jest równy

A. $ -\frac{5}{4} $
B. $ -1 $
C. $ -\frac{4}{5} $
D. $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
Rozwiązanie Tangens kąta o wierzchołku w punkcie \((0,0)\), którego ramię pokrywa się z osią \(Ox\) można opisać wzorem \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}\), gdzie \(x\) oraz \(y\) to współrzędne dowolnego punktu leżącego na lewym ramieniu kąta. Najprościej będzie nam odczytać współrzędne punktu \(P=(-4,5)\), zatem \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\).
Odpowiedź
A. $ -\frac{5}{4} $

Matura 2015 Maj. Zadanie 15 (0 - 1)

Jeżeli \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha \), to

A. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} $
B. $ \cos \alpha =\frac{1}{2} $
C. $ \cos \alpha =1 $
D. $ \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} $
Rozwiązanie Najprościej jest rozwiązać to zadanie podstawiając pod tangesa \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), zatem: $$\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha \\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha \quad\bigg/\cdot \cos\alpha \\ \sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \quad\bigg/:\sin\alpha \\ 1=2\cos\alpha \quad\bigg/:2 \\ \cos\alpha=\frac{1}{2}$$
Odpowiedź
B. $ \cos \alpha =\frac{1}{2} $