Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y.\) wskaż ten układ.

A. $ \begin{cases} y=-2x+8 \\ y=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2} \end{cases} $
B. $ \begin{cases} y=2x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \end{cases} $
C. $ \begin{cases} y=x-1 \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \end{cases} $
D. $ \begin{cases} y=3x-7 \\ y=-\frac{2}{3}x+4 \end{cases} $
Rozwiązanie Odczytujemy z wykresu punkt przecięcia $$ x = 3, y = 2$$ Metodą eliminacji podstawiamy do układów równań.
Odpowiedź
B. $ \begin{cases} y=2x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \end{cases} $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 8 (0 - 1)

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases} \) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że

A. $ b\lt -1 $
B. $ b=-1 $
C. $ -1\lt b\lt 1 $
D. $ b\ge 1 $
Rozwiązanie Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy: $$2x+0y=1+b \\ 2x=1+b \\ x=\frac{1+b}{2}$$ Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy: $$0x+2y=1-b \\ 2y=1-b \\ y=\frac{1-b}{2}$$ Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem: $$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0 \\ 1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0 \\ b\gt-1 \quad\land\quad b\gt-1$$ To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).
Odpowiedź
C. $ -1\lt b\lt 1 $

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 12 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \)

A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania.
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązanie Rozwiązanie układu równań. \begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \quad\bigg/:(-2) \end{cases}\begin{cases} 2x-3y=5 \\ 2x-3y=5 \end{cases} Interpretacja otrzymanego wyniku. W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.
Odpowiedź
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź
Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 18 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} y=-ax+2a \\ y=\frac{b}{3}x-2 \end{cases} \) nie ma rozwiązań dla

A. $ a=-1 $ i $b=-3$
B. $ a=1 $ i $b=3 $
C. $ a=1 $ i $b=-3 $
D. $ a=-1 $ i $b=3 $
Rozwiązanie Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ nie ma równań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają). Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem: $$-a=\frac{b}{3} \\ -3a=b \\ \frac{b}{a}=-3$$ Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\). Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem: $$2a\neq-2 \\ a\neq-1$$ To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).
Odpowiedź
C. $ a=1 $ i $b=-3 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 9 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
Rozwiązanie $$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5) \\ 3x-1=3\cdot(x+5) \\ 3x-1=3x+15 \\ -1=15$$ Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Odpowiedź
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Matura 2016 Maj. Zadanie 32 (0 - 4)

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50^\circ \). Oblicz kąty tego trójkąta.

Odpowiedź
\(26°, 76°, 78°\)

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 7 (0 - 1)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \(\begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} \) Wskaż ten rysunek.

A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź. \begin{cases} x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3x-2y=-4 \end{cases}\begin{cases} -3x-9y=15 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} Dodając to równanie stronami otrzymamy: $$-9y+(-2y)=15+(-4) \\ -11y=11 \\ y=-1$$ Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań: $$x+3\cdot(-1)=-5 \\ x-3=-5 \\ x=-2$$ Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2,-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.
Odpowiedź
A.

Matura 2015 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases} \) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A. zbiór nieskończony.
B. dokładnie 2 różne punkty.
C. dokładnie jeden punkt.
D. zbiór pusty.
Rozwiązanie Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\). Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\). \begin{cases} x-y=3 \quad\bigg/-x \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} -y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} y=-3+x \\ 4x+y=8 \quad\bigg/-4x \end{cases}\begin{cases} y=x-3 \\ y=-4x+8 \end{cases} Interpretacja otrzymanego wyniku. Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.
Odpowiedź
C. dokładnie jeden punkt.

Matura 2015 Maj. Zadanie 31 (0 - 2)

Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź
\(\frac{8}{17}\)