Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\Bigl(x^3 + 27\Bigl)\Bigl(x^2 - 16\Bigl) = 0\).

Wzór

W szczególności: $$a^2 - b^2 = ( a - b )( a + b ),$$ $$a^2 - 1 = ( a - 1)( a + 1),$$ $$a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + ab + b^2 ),$$ $$a^3 - 1 = ( a - 1) ( a^2 + a + 1),$$ $$a^3 + b^3 = ( a + b ) ( a^2 - ab + b^2 ),$$ $$a^3 + 1 = ( a + 1) ( a^2 - a + 1),$$ $$a^n - 1 = ( a - 1) (1 + a + \dots + a^{n -1} )$$

▸ Więcej wzorów z działu Wzory skroconego mnozenia
Rozwiązanie

Wzory skróconego mnożenia

Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym: $$(x^3+27)(x^2-16)=0 \\ x^3+27=0 \quad\lor\quad x^2-16=0 \\ x^3=-27 \quad\lor\quad x^2=16 \\ x=-3 \quad\lor\quad x=4 \quad\lor\quad x=-4$$
Odpowiedź
\(x=-3 \lor x=4 \lor x=-4\)

Matura 2018 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\bigl(x^3 + 125 \bigl)\bigl(x^2 - 64\bigl) = 0\).

Rozwiązanie $$\left( x ^ { 3} + 125\right) \left( x ^ { 2} - 64\right) = 0 $$ $$\left( x ^ { 3} + 5^3\right) \left( x ^ { 2} - 8^2\right) = 0 $$ $$ (x+5)(x^2-5x+5^2)(x-8)(x+8) = 0 $$ $$ (x+5)(x^2-5x+5^2)(x-8)(x+8) = 0 $$ Dla $x^2-5x+25$ Delta jest ujemna. Zbiór rozwiązań $$x \in \{-8, -5, 8 \}$$
Odpowiedź
$x \in \{-8, -5, 8 \}$

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \((x^2-6)(3x+2)=0\).

Odpowiedź
\(x=\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{6} \lor x=-\frac{2}{3}\)

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 10 (0 - 1)

Równanie \(x(x-3)(x^2+25)=0\) ma dokładnie

A. cztery rozwiązania: $ x=0, x=3, x=5, x=-5 $
B. trzy rozwiązania: $ x=3, x=5, x=-5 $
C. dwa rozwiązania: $ x=0, x=3 $
D. jedno rozwiązanie: $ x=3 $
Rozwiązanie Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, zatem aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym: $$x(x-3)(x^2+25)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-25$$ Z racji tego iż nie ma możliwości by liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu dała wynik ujemny, to z równania \(x^2=-25\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0 \lor x=3\).
Odpowiedź
C. dwa rozwiązania: $ x=0, x=3 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \((x-\frac{1}{2})x\gt 3(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\).

Odpowiedź
\(x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\)

A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
D. ma dokładnie pięć rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Rozwiązanie Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie: $$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\ x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$ Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).
Odpowiedź
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

Matura 2016 Sierpień. Zadanie 26 (0 - 2)

Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\)

Odpowiedź
\(x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle2,+\infty)\)

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 7 (0 - 1)

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \((x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0\) wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

A. $ 12 $
B. $ 10 $
C. $ 6 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie Wskazanie rozwiązań równania. Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem: $$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\ x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\ x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$ Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb. Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).
Odpowiedź
C. $ 6 $

Matura 2016 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x\lt -2\), jest

A. $ 1 $
B. $ -1 $
C. $ 2 $
D. $ -2 $
Rozwiązanie Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy: A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\) B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\) C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\) D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\) Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\).
Odpowiedź
C. $ 2 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 9 (0 - 1)

Rozwiązaniem równania \(x^2(x +1) = x^2−8\) jest

A. $ -9 $
B. $ -2 $
C. $ 2 $
D. $ 7 $
Rozwiązanie $$x^2(x+1)=x^2-8 \\ x^3+x^2=x^2-8 \\ x^3=-8 \\ x=-2$$
Odpowiedź
B. $ -2 $

Matura 2015 Maj. Zadanie 6 (0 - 1)

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa

A. $ 21 $
B. $ -1 $
C. $ -21 $
D. $ 1 $
Rozwiązanie Obliczenie wartości wszystkich pierwiastków równania. Nasze równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej. Aby wartość takiego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam "wyzerować" to równanie, a więc któryś z nawiasów musi być równy zero. To oznacza, że rozwiązaniami równania (a więc potocznie rzecz ujmując jego pierwiastkami) będą: $$x+3=0 \quad\lor\quad x+7=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\ x=-3 \quad\lor\quad x=-7 \quad\lor\quad x=11$$ Obliczenie sumy pierwiastków. $$S=-3+(-7)+11=1$$
Odpowiedź
D. $ 1 $