Skumaj 2018 | Zadania | Wzory | Matury | Arkusze
Matury | Zadania | Wzory

Skumaj, Matura Podstawowa 2019, Zadanie + Wzór = Rozwiązanie!

Do zadań dołączone są wzory. Kartę z tymi wzorami dostaniesz na maturze.

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla

A. $ a=\sqrt{13} $
B. $ a=1 $
C. $ a=0 $
D. $ a=\sqrt{13}+1 $
Wzór

Dla dowolnych liczb $a$, $b$: $$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$( a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$( a + b )^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$( a - b )^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

▸ Więcej wzorów z działu Wzory skroconego mnozenia
Rozwiązanie

Użyj wzoru skróconego mnożenia

I sposób

$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$ porównujemy z prawą stroną równania: $$13+4\sqrt{3}=a^2+4\sqrt{3}+12$$ $$a = 1$$

II sposób

Metodą eliminacji podstaw kolejne odpowiedzi pod $a$ i sprawdź, która jest poprawna.
Odpowiedź
B. $ a=1 $

Matura 2018 Sierpień. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\Bigl(x^3 + 27\Bigl)\Bigl(x^2 - 16\Bigl) = 0\).

Wzór

W szczególności: $$a^2 - b^2 = ( a - b )( a + b ),$$ $$a^2 - 1 = ( a - 1)( a + 1),$$ $$a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + ab + b^2 ),$$ $$a^3 - 1 = ( a - 1) ( a^2 + a + 1),$$ $$a^3 + b^3 = ( a + b ) ( a^2 - ab + b^2 ),$$ $$a^3 + 1 = ( a + 1) ( a^2 - a + 1),$$ $$a^n - 1 = ( a - 1) (1 + a + \dots + a^{n -1} )$$

▸ Więcej wzorów z działu Wzory skroconego mnozenia
Rozwiązanie

Wzory skróconego mnożenia

Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym: $$(x^3+27)(x^2-16)=0 \\ x^3+27=0 \quad\lor\quad x^2-16=0 \\ x^3=-27 \quad\lor\quad x^2=16 \\ x=-3 \quad\lor\quad x=4 \quad\lor\quad x=-4$$
Odpowiedź
\(x=-3 \lor x=4 \lor x=-4\)

Matura 2018 Czerwiec. Zadanie 1 (0 - 1)

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

A. $ 4 $
B. $ 1 $
C. $ \sqrt{2} $
D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $
Wzór

Dla dowolnych liczb $a$, $b$: $$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$( a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$( a + b )^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$( a - b )^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

▸ Więcej wzorów z działu Wzory skroconego mnozenia
Rozwiązanie

Wykorzystaj wzory skróconego mnożenia

I sposób

$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1 \\ x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1 \\ x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1 \\ x=\sqrt{2}+1$$ Na podstawie wzóru skróconego mnożenia: $$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$ Teraz podstawiamy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\) $$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$

II sposób

Możemy od razu podstawić do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale trzeba uważać, żeby nie pomylić się w rachunkach
Odpowiedź
A. $ 4 $

Matura 2018 Maj. Zadanie 27 (0 - 2)

Rozwiąż równanie \(\bigl(x^3 + 125 \bigl)\bigl(x^2 - 64\bigl) = 0\).

Rozwiązanie $$\left( x ^ { 3} + 125\right) \left( x ^ { 2} - 64\right) = 0 $$ $$\left( x ^ { 3} + 5^3\right) \left( x ^ { 2} - 8^2\right) = 0 $$ $$ (x+5)(x^2-5x+5^2)(x-8)(x+8) = 0 $$ $$ (x+5)(x^2-5x+5^2)(x-8)(x+8) = 0 $$ Dla $x^2-5x+25$ Delta jest ujemna. Zbiór rozwiązań $$x \in \{-8, -5, 8 \}$$
Odpowiedź
$x \in \{-8, -5, 8 \}$

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 1 (0 - 1)

Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa

A. $ \frac{73}{9} $
B. $ \frac{71}{9} $
C. $ -\frac{73}{9} $
D. $ -\frac{71}{9} $
Rozwiązanie Podstawiając do wyrażenia liczby z treści zadania otrzymamy: $$a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}=-8-\left(\frac{1}{3}\right)^2=-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}$$
Odpowiedź
C. $ -\frac{73}{9} $

Matura 2017 Sierpień. Zadanie 5 (0 - 1)

Liczba (\(2\sqrt{7}-5)^2\cdot (2\sqrt{7}+5)^2 \) jest równa

A. $ 9 $
B. $ 3 $
C. $ 2809 $
D. $ 28-20\sqrt{7} $
Rozwiązanie Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że: $$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Odpowiedź
A. $ 9 $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 5 (0 - 1)

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \(x^6-2x^3-3\) jest równe

A. $ (x^3+1)(x^2-3) $
B. $ (x^3-3)(x^3+1) $
C. $ (x^2+3)(x^4-1) $
D. $ (x^4+1)(x^2-3) $
Rozwiązanie Możemy wymnożyć każdą z odpowiedzi i sprawdzić kiedy otrzymamy wyrażenie z treści zadania: Odp. A. \((x^3+1)(x^2-3)=x^5-3x^3+x^2-3\) Odp. B. \((x^3-3)(x^3+1)=x^6+x^3-3x^3-3=6x^3-2x^3-3\) Odp. C. \((x^2+3)(x^4-1)=x^6-x^2+3x^4-3=x^6+3x^4-x^2-3\) Odp. D. \((x^4+1)(x^2-3)=x^6-3x^4+x^2-3\) Pożądany wynik otrzymaliśmy tylko w odpowiedzi B.
Odpowiedź
B. $ (x^3-3)(x^3+1) $

Matura 2017 Czerwiec. Zadanie 27 (0 - 2)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((\sin \alpha -\cos \alpha )^2\).

Odpowiedź
\(\frac{1}{4}\)

Matura 2017 Maj. Zadanie 5 (0 - 1)

Równość \((x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\) jest

A. fałszywa dla każdej liczby $ x $
B. prawdziwa dla $ x=-\sqrt{2} $
C. prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $
D. prawdziwa dla $ x=-1$
Rozwiązanie Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\). W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\). Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\). Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że: $$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \\ \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \\ x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \\ x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$ No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).
Odpowiedź
C. prawdziwa dla $ x=\sqrt{2} $

Matura 2017 Maj. Zadanie 8 (0 - 1)

Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\)

A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
D. ma dokładnie pięć rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Rozwiązanie Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie: $$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\ x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$ Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).
Odpowiedź
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 4 (0 - 1)

Różnica \(50001^2 - 49999^2\) jest równa

A. $ 2\ 000\ 000 $
B. $ 200\ 000 $
C. $ 20\ 000 $
D. $ 4 $
Rozwiązanie W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia: $$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b) \\ 50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999) \\ 50001^2-49999^2=100\,000\cdot2 \\ 50001^2-49999^2=200\,000$$
Odpowiedź
B. $ 200\ 000 $

Matura 2016 Czerwiec. Zadanie 24 (0 - 1)

Dane są dwie sumy algebraiczne \(3x^3-2x\) oraz \(-3x^2-2\). Iloczyn tych sum jest równy

A. $ -9x^5+4x $
B. $ -9x^6+6x^3-6x^2+4x $
C. $ -9x^5+6x^3-6x^2+4x $
D. $ -9x^6+4x $
Rozwiązanie Naszym zadaniem jest wymnożenie jednej sumy przez drugą, zatem: $$(3x^3-2x)\cdot(-3x^2-2)= \\ =-9x^5-6x^3+6x^3+4x=-9x^5+4x$$
Odpowiedź
A. $ -9x^5+4x $

Matura 2016 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

A. $ a=3 $
B. $ a=1 $
C. $ a=-2 $
D. $ a=-3 $
Rozwiązanie Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo: $$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2} \\ 8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2} \\ 17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2} \\ L=P$$ Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy: $$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9 \\ (2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2 \\ a=3$$
Odpowiedź
A. $ a=3 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 6 (0 - 1)

Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o

A. $ 50 $
B. $ 10 $
C. $ 5 $
D. $ 25 $
Rozwiązanie Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia: $$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$ Porównując to do wyrażenia \(a^2+10a\) widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o \(25\).
Odpowiedź
D. $ 25 $

Matura 2015 Sierpień. Zadanie 30 (0 - 2)

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2\).

Odpowiedź
Udowodniono wyłączając przed nawias odpowiednie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Matura 2015 Maj. Zadanie 4 (0 - 1)

Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla

A. $ m=-5 $
B. $ m=1 $
C. $ m=4 $
D. $ m=5 $
Rozwiązanie Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia. $$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5}) \\ 5m=5^2-(\sqrt{5})^2 \\ 5m=25-5 \\ 5m=20 \\ m=4$$
Odpowiedź
C. $ m=4 $