Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle \), gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\). Stąd wynika, że

Rozwiązanie

I sposób

Pierwszą liczbą całkowitą, która jest większa od -10 jest -9. Jak będziemy sumować to zauważmy, że $$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$ W zadaniu suma liczb całkowitych jest równa \(21\). Suma od -9 do 9 jest równa 0, to idąc dalej, czyli dodając \(10\) oraz \(11\) otrzymamy \(21\), więc k = 11.

II sposób

Możemy użyć wzory na sumę ciągu arytmetycznego

Odpowiedź

B. $ k=11 $

Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

Rozwiązanie

Potrzeby jest kalkulator

Dzielimy na kalkulatorze \(224\) przez \(1111\) i otrzymujemy: $$224:1111=0,20162016...=0,(2016)$$ Okres ułamka składa się z czterech liczb, dlatego czwartą, ósmą, dwunastą, szesnastą i w konsekwencji dwudziestą liczbą po przecinku jest 6.

Odpowiedź

D. $ 6 $

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry \(0\) i \(2\), jest równa

Rozwiązanie

Ustalmy na ile sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby. Pierwszą cyfrę możemy wpisać na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) Drugą cyfrę możemy wpisać także na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) Trzecią cyfrę możemy wpisać również na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) Czwartą cyfrę możemy wpisać na \(3\) sposoby: \(\{4,6,8\}\), bo musi być to liczba parzysta W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia możemy takich liczb utworzyć: $$8\cdot8\cdot8\cdot3$$

Odpowiedź

A. $ 8\cdot 8\cdot 8\cdot 3 $

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?

Rozwiązanie

$$1000,1005,1010, ... ,2000,2005,2010,2015$$

Odpowiedź

D. $ 204 $

Linę o długości \(100\) metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

Rozwiązanie

Skoro stosunek długości lin wynosi \(3:4:5\) to możemy zapisać, że kawałki te mają długości \(3x,4x,5x\). W związku z tym: $$3x+4x+5x=100 \\ 12x=100 \\ x=\frac{100}{12} \\ x=\frac{25}{3}[m]$$ Nas interesuje długość najdłuższego boku, czyli tego co ma długość \(5x\), zatem: $$5x=5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}[m]$$

Odpowiedź

A. $ 41\frac{2}{3} $ metra.

Buty, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów?

Rozwiązanie

Obliczenie wysokości obniżki. $$220zł-176zł=44zł$$ Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów. Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli: $$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

Odpowiedź

B. $ 20 $

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź

Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

Słoń waży \(5\) ton, a waga mrówki jest równa \(0{,}5\) grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

Rozwiązanie

Sprowadzenie mas do wspólnej jednostki. Obie masy musimy sprowadzić do wspólnej jednostki. Aby się nie pomylić to chyba najbezpieczniej będzie sprowadzić je do kilogramów. $$5t=5000kg=5\cdot10^3kg \\ 0,5g=0,0005kg=5\cdot10^{-4}kg$$ Obliczenie ilorazu wagi słonia i mrówki. Teraz musimy podzielić przez siebie te dwie masy: $$\require{cancel} \frac{\cancel{5}\cdot10^3\cancel{kg}}{\cancel{5}\cdot10^{-4}\cancel{kg}}=10^4:10^{-3}=10^{4-(-3)}=10^{7}$$

Odpowiedź

B. $ 10^7 $

Do pewnej liczby \(a\) dodano \(54\). Otrzymaną sumę podzielono przez \(2\). W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby \(a\). Zatem

Rozwiązanie

Treść zadania możemy przedstawić w formie następującego równania: $$(a+54):2=2a \\ a+54=4a \\ 3a=54 \\ a=18$$

Odpowiedź

B. $ a=18 $

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?

Odpowiedź

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	1	2	3	4	5	6
przyrost (w cm)	10	10	7	8	8	7

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Odpowiedź

Średni roczny przyrost wyniósł w zaokrągleniu \(8cm\). Błąd względny przybliżenia wyniósł \(4\%\).

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log \frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\) cm.

Odpowiedź

\(A=10^{2,2}cm\). Amplituda jest większa niż \(100cm\).

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

Rozwiązanie

Przeanalizujmy sobie na ile różnych sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby: Pierwsza cyfra: Skoro liczba ma być czterocyfrowa, ma być większa od \(3000\) i może zawierać tylko cyfry \(1\), \(2\) oraz \(3\), to na pewno na pierwszym miejscu tej liczby musi stać trójka. Na pierwsze miejsce możemy więc wpisać cyfrę tylko na jeden sposób. Druga cyfra: Tutaj możemy wpisać cyfrę na trzy sposoby, bo mamy aż trzy możliwości: \(1\), \(2\) lub \(3\). Trzecia cyfra: Tutaj także możemy wpisać cyfrę na trzy różne sposoby. Czwarta cyfra: Tutaj ponownie mamy trzy różne możliwości. Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć: $$|Ω|=1\cdot3\cdot3\cdot3=27$$

Odpowiedź

D. $ 27 $

Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź

\(\frac{8}{17}\)